工程測量第一章工程測量的基本知識

第一章工程測量的基本知識傳動系學習目標:1.了解測量工作的基本內(nèi)容。2.理解地球形狀和大小,測量工作應遵循的原則,地球曲率對測量工作的影響。3.掌握地面點位置的表示方法,測量誤差的基本知識。1.1地球的形狀和大?。ㄒ唬┐蟮厮疁拭娴厍虮砻媸菢O其不規(guī)則的,山地、丘陵、平原、盆地、海洋等起伏變化非常之大。由于地球的自轉(zhuǎn)運動、地球上任一點都同時受到兩個力的作用,即離心力和地球引力,它們的合力即為重力,重力的作用線稱為鉛垂線。鉛垂線是測量工作的基準線。處于靜止狀態(tài)的水面稱為水準面。任務(wù)一工程測量概述假想把這個靜止的平均海平面延伸,穿過大陸和島嶼所形成的閉合曲面稱為大地水準面。由于大地水準面的形狀和大地體的大小均接近地球的自然表面的形狀和大小,因此可選取大地水準面作為測量工作的基準面。

☆大地水準面和鉛垂線是測量外業(yè)工作的基準面和基準線。任務(wù)一工程測量概述

圖1-1大地水準面的確定任務(wù)一工程測量概述（二）參考橢球面以大地水準面是一個略有起伏的不規(guī)則的物理表面,無法用數(shù)學公式精確表達出來,因而也就無法進行測量數(shù)據(jù)的處理。

為了便于正確地計算,測量上選用一個大小和形狀都非常接近于大地體的旋轉(zhuǎn)橢球體作為地球的參考形狀和大小,這個旋轉(zhuǎn)橢球體稱為參考橢球體,又稱地球橢球。

它是一個規(guī)則的曲面體,可以用較簡單的數(shù)學公式來表達。它的大小和形狀可以用長半徑a(或短半徑b)和扁率α來表示,如圖1-1b所示。其中扁率α的計算式為α=（a-b）/b

任務(wù)一工程測量概述

我國1980年以后,國家大地坐標系采用國際大地測量協(xié)會與地球物理協(xié)會在1975年推薦的IUGG—1975地球橢球為基準,其參數(shù)為:a=6378140m,α=1∶298.257由于旋轉(zhuǎn)橢球體的扁率較小,所以在測量精度要求不高的情況下,可以把地球近似地當做圓球,其半徑R采用地球半徑的平均值6371km。

任務(wù)一工程測量概述1.2測量工作的基本內(nèi)容

測量工作的實質(zhì)是確定地面點的位置。一個點的位置由其平面坐標(x,y)和高程H三個數(shù)值來確定。

在實際工作中,常常不是直接測量點的坐標和高程,而是觀測坐標和高程已知的點與坐標、高程未知的待定點之間的幾何位置關(guān)系,然后計算出待定點的坐標和高程。

任務(wù)一工程測量概述地面點A、B是已知點。為了得到P1、P2點的坐標和高程,可先觀測出水平角β1、β2,水平距離S1、S2以及高差、,再根據(jù)已知點B的坐標、方向A→B和B點的高程HB,便可推算出P1和P2點的位置。

圖1-2地面點位的確定

任務(wù)一工程測量概述地面點間的位置關(guān)系是以水平距離、水平角度和高差來確定的,所以距離測量、角度和高差測量是測量工作的三項基本工作。

1.3測量工作的基本原則

地物、地貌按其形狀和大小均可看做是由一些特征點的位置所決定的,這類特征點又稱為碎部點。

測定碎部點的平面位置和高程一般分兩步進行。第一步是控制測量,如圖1-3所示,先在測區(qū)內(nèi)選擇若干具有控制作用的點A、B、C……,作為控制點,并精確測出這些點的平面位置和高程?？刂泣c不僅要求測量精度高,而且要經(jīng)過統(tǒng)一嚴密的數(shù)據(jù)處理,在測量中起著控制誤差累積的作用。

任務(wù)一工程測量概述

圖1-3測量工作的程序任務(wù)一工程測量概述第二步進行碎部測量,根據(jù)控制點的坐標,測定周圍碎部點的平面位置和高程。例如,在控制點A上測出房屋的角點M、N等的數(shù)據(jù),然后根據(jù)所測數(shù)據(jù),按一定比例及相應符號描繪到圖上,即得到所測地區(qū)的地形圖。這種“從整體到局部”、“先控制后碎部”的方法是組織測量工作應遵循的基本原則,它可以減少誤差的累積,保證測圖的精度,而且可以分幅測繪,加快測圖進度。

任務(wù)一工程測量概述另外,測量中應嚴格進行檢核工作,做到“前一步測量工作未作檢核,不進行下一步測量工作”,這是組織測量工作應遵循的又一個原則,它可以防止錯誤發(fā)生,保證測量成果的正確性。

上述測量工作的組織原則,也適用于建筑物的測設(shè)工作。如圖1-3所示,欲將圖上設(shè)計好的建筑物P、Q、R在實地標定出來作為施工的依據(jù),也應先進行控制測量,然后將儀器安置在控制點A和F上,根據(jù)測設(shè)數(shù)據(jù),進行建筑物的測設(shè)。

任務(wù)一工程測量概述2.1確定地面點的方法測量工作的基本任務(wù)是確定地面點的位置,為此測量上要采用投影的方法加以處理,即一點在空間的位置需要三個量來確定,這三個量通常采用該點在基準面上的投影位置和該點沿投影方向到基準面的距離來表示,如圖所1-4示。這種確定地面點位的方法又與一定的坐標系統(tǒng)相對應。

任務(wù)二地面點位的確定

圖1-4地面點位的確定圖

任務(wù)二地面點位的確定

(一)大地坐標系

大地坐標系是以參考橢球面為基準面,地面點在參考橢球面上的投影位置用經(jīng)度L、緯度B和大地高H表示。如圖1-5所示,NS為橢球的旋轉(zhuǎn)軸,N表示北極,S表示南極。通過橢球旋轉(zhuǎn)軸的平面稱為子午面,其中通過格林尼治天文臺的子午面稱為首子午面。子午面與橢球面的交線稱為子午線。某點的大地經(jīng)度就是通過該點的子午面與首子午面的夾角。通過橢球中心且與橢球旋轉(zhuǎn)軸正交的平面稱為赤道面,它與橢球面相截所得的曲線稱為赤道。其他平面與橢球旋轉(zhuǎn)軸正交,但不通過球心,這些平面與橢球面相截所得的曲線稱為緯線。

任務(wù)二地面點位的確定

圖1-5大地坐標系

任務(wù)二地面點位的確定國際規(guī)定,通過格林尼治天文臺的子午面為零子午面,向東經(jīng)度為正,向西為負,其域值為0°~180°。大地緯度就是在橢球面上的P點作一與橢球體相切的平面,然后過P點作一垂直于此平面的直線,這條直線稱為P點的法線,它與赤道面的交角就是P點的大地緯度。向北,稱為北緯;向南,稱為南緯,其域值為0°~90°。橢球體面上的大地高為零。沿法線在橢球體面外為正,在橢球體面內(nèi)為負。我國版圖處于東經(jīng)74°~135°,北緯3°~54°之間,如北京的坐標為北緯40°,東經(jīng)116°,用B=40°N,L=116°E表示。

任務(wù)二地面點位的確定(二)高斯平面直角坐標系

以上介紹的是大地坐標系,它是以橢球面和法線為基準,將地面觀測元素歸算至橢球面進行計算的。在實際進行測量時,量距、測角或高程都是在水準面上以鉛垂線為準,因此所測得的數(shù)據(jù)若以大地坐標表示,必須精確地換算成大地坐標系。實踐證明,在它上面進行計算是相當復雜和煩瑣的,若將其直接用于工程建設(shè)規(guī)劃、設(shè)計、施工等,則很不方便。任務(wù)二地面點位的確定為了便于測量計算和生產(chǎn)實踐,要將橢球面上大地坐標按一定數(shù)學法則歸算到平面上,并在平面直角坐標系中采用人們熟知的簡單計算公式計算平面坐標。由橢球面上的大地坐標向平面直角坐標轉(zhuǎn)化時采用地圖投影理論,我國采用高斯—克呂格投影,簡稱高斯投影。任務(wù)二地面點位的確定高斯投影是設(shè)想一個橫橢圓柱套在參考橢球的外面,如圖1-6a所示,橫橢圓柱的軸線通過橢球心O,并與地軸NS垂直,這時橢球面上某一子午線正好與橫橢圓柱面相切,這條子午線稱為中央子午線。然后在橢球面上的圖形與橢圓柱面上的圖形保持等角的條件下,沿橢球柱的N、S點母線將橢球切開,并展成平面,即為高斯投影平面。

任務(wù)二地面點位的確定

圖1-6高斯平面直角坐標系任務(wù)二地面點位的確定

至此便完成了橢球面向平面的轉(zhuǎn)換工作。在此高斯投影平面上,中央子午線經(jīng)投影面展開成一條直線,以此直線作為縱軸,即x軸;赤道是一條與中央子午線相垂直的直線,將它作為橫軸,即y軸;兩直線的交點作為原點O,就組成了高斯平面直角坐標系統(tǒng),如圖1-6b所示。

任務(wù)二地面點位的確定高斯投影的經(jīng)緯線圖形有以下特點：1）投影后的中央子午線為直線，無長度變化。其余的經(jīng)線投影為凹向中央子午線的對稱曲線，長度較球面上的相應經(jīng)線略長。2）赤道的投影也為一直線，并與中央子午線正交。其余的緯線投影為凸向赤道的對稱曲線。3）經(jīng)緯線投影后仍然保持相互垂直的關(guān)系，說明投影后的角度無變形。

高斯投影雖然不存在角度變形,但存在長度變形,除中央子午線外都要發(fā)生變形。離開中央子午線越遠,投影后變形越大,這種變形將會影響測圖和施工精度。為了把投影后長度變形控制在允許的范圍內(nèi),測量時采用分帶投影的辦法來解決這一問題。這種方法是將地球劃分成若干投影帶

。

任務(wù)二地面點位的確定把投影區(qū)域限制在中央子午線兩旁的狹窄區(qū)域內(nèi),這個區(qū)域的范圍常選用6°或3°。這樣就能把長度變形限制在一定的范圍內(nèi)。國際上統(tǒng)一把橢球體分成許多6°或3°帶形,并且依次編號。

任務(wù)二地面點位的確定

圖1-7投影帶的劃分

任務(wù)二地面點位的確定6°帶投影從英國格林尼治子午線起算,自西向東,每隔經(jīng)差6°投影一次,將地球劃分成經(jīng)差相等的60個帶,并從西向東進行編號,帶號用阿拉伯數(shù)字1、2、3、…、60表示。位于各帶中央的子午線,稱為該帶的中央子午線。

第一個6°帶的中央子午線的經(jīng)度為3°,任意帶的中央子午線經(jīng)度為=6N-3(1-2)式中N——帶號; ——6°帶中央子午線經(jīng)度。

任務(wù)二地面點位的確定當要求變形更小時,還可以按經(jīng)差3°或1.5°劃分投影帶。3°帶是在6°帶的基礎(chǔ)上劃分的,其中央子午線在奇數(shù)帶時與6°帶中央子午線重合,每隔3°為一帶,共120帶,

各帶中央子午線經(jīng)度為=3n(1-3)式中n——3°帶的帶號; ——3°帶中央子午線經(jīng)度。

任務(wù)二地面點位的確定在高斯平面直角坐標系中,縱坐標的正負方向以赤道為界,向北為正,向南為負;橫坐標以中央子午線為界,向東為正,向西為負。由于我國位于北半球,所有縱坐標x均為正,而各帶的橫坐標y有正有負。如圖1-8,為了使用方便,使橫坐標y不出現(xiàn)負值,規(guī)定將縱坐標軸向西平移500km,作為使用坐標,即相當于在實際縱坐標y值上加500km。例如,yA=123210m,yB=-103524m,各加500km后,分別成yA=623210m,yB=396476m。

任務(wù)二地面點位的確定

圖1-8高斯平面直角坐標系

任務(wù)二地面點位的確定每一個6°帶都有其相應的平面直角坐標系。為了表明某點位于哪一個6°帶,規(guī)定在橫坐標y值前面加上帶號,如A點在20帶時應表示為yA=20623210m。我國幅員遼闊,含有11個6°帶,即在13~23帶范圍;21個3°帶,即在25~45帶范圍。北京位于6°帶的第20帶,中央子午線經(jīng)度為117°

任務(wù)二地面點位的確定（三）假定平面直角坐標系在小范圍內(nèi)進行測量工作(測區(qū)半徑小于10km)時,可以將大地水準面當做水平面看待,即可直接在大地水準面上建立平面直角坐標系和沿鉛垂線投影地面點位。為使坐標系內(nèi)的點位坐標不出現(xiàn)負值,可在測區(qū)的西南角以外選定坐標原點。過原點的子午線即為x軸;通過原點并與子午線相垂直的直線即為y軸,如圖所示。建立坐標系后,可假定測區(qū)西南角A點的坐標值為:xA=1000m,yA=2000m。這樣,整個測區(qū)的假定坐標均為正值,以便于使用。任務(wù)二地面點位的確定

圖1-9假定平面直角坐標系

任務(wù)二地面點位的確定（四）地面點的高程

地面點的高程是指地面點至某一高程基準面的垂直距離。高程基準面選擇不同,會有不同的高程系統(tǒng)。測量上常用的高程基準面有參考橢球面和大地水準面兩種。其相應的高程為大地高和絕對高程或海拔高。絕對高程（海拔高）：某點沿鉛垂線方向到大地水準面的距離。相對高程：某點距假定水準面的鉛垂距離。高差：地面兩點間的高程之差用h表示。任務(wù)二地面點位的確定如圖1-10所示,A、B為地面上的兩個點,HA、HB為A、B至大地水準面的鉛垂距離,即為A點和B點的絕對高程或海拔高。如圖所示,地面點A、B到任意水準面的鉛垂距離稱為假定高程或相對高程。圖中,H'A、H'B為相對高程。兩個地面點之間的高程差稱為高差,用h表示,hAB為地面點A與B之間的高差,其計算公式為hAB=HB-HA=H'B-H'A

任務(wù)二地面點位的確定

圖1-10高程與高差

任務(wù)二地面點位的確定我國的絕對高程是以青島驗潮站歷年記錄的黃海平均海水面為基準面,其高度作為高程零點,并在青島觀象山建立水準原點。目前我國采用“1985年高程基準”,青島水準原點的高程為72.260m,全國各地高程以它為基準進行測算。但1987年以前使用的是“1956年高程基準”,其高程為72.289m,因此利用舊的高程測量成果時,要注意高程基準的統(tǒng)一和換算。當測區(qū)附近沒有從基準面起算的水準點時,可采用假定高程系統(tǒng),以任意假定水準面為起算高程的基準面。任務(wù)二地面點位的確定2.2地球曲率對測量工作的影響問題是在多大范圍內(nèi)可將曲面作為平面,而所產(chǎn)生的誤差不超過工程地形圖和施工放樣的精度要求。下面僅就地球曲率對距離和高程的影響進行分析,據(jù)以限制其使用范圍。為簡便起見,將地球作為圓球看待,取其平均半徑為6371km。

任務(wù)二地面點位的確定(一)對距離的影響如圖1-11所示,設(shè)地面兩點A、B在水平面上的投影分別為a、b',其長度為D';在大地水準面上的投影分別為a、b,其弧長為D,D所對圓心角為θ,地球半徑為R,D'與D之差為ΔD。

ΔD=D'-D=Rtanθ-Rθ=R(tanθ-θ)(1-5)

已知tanθ=θ+θ3+θ5+…,因θ角很小,取其前兩項代入(1-5)式,設(shè)θ=,得

ΔD=或=(1-6)

任務(wù)二地面點位的確定

圖1-11地球曲率對距離或高程的影響任務(wù)二地面點位的確定將地球半徑R=6371km和不同的D值代入(1-6)式,計算結(jié)果如表1-1所示。從表中所列數(shù)值可看出,隨著距離的增加,曲面上的弧長與水平面上的長度之差增大,在弧長為10km時所產(chǎn)生的長度之差為其長度的1/1200000。

而目前測量工作中最精密的距離丈量的容許誤差為其長度的1/1000000。由此可得出結(jié)論:在半徑為10km的測區(qū)內(nèi)進行測量工作時,可以把大地水準面當做水平面看待。

任務(wù)二地面點位的確定

任務(wù)二地面點位的確定(二)對高程的影響

如圖1-11所示,地面點B的高程從大地水準面起算時為HB,從水平面起算時為H'B。由于起算面不同,引起高程誤差Δh。

(R+Δh)2=R2+D'2

由于D'與D相差甚小,可用D代替D',同時Δh與R相比也可略去Δh,故上式可寫為

現(xiàn)以R=6371km和不同的弧長D代入(1-7)式,計算結(jié)果如表1-2所示。任務(wù)二地面點位的確定從表1-2可看出,用水平面代替大地水準面,對高程有較大的影響。距離為200m時就有0.31cm的高程誤差,已超過誤差允許范圍。因此,就高程測量而言,即使距離較短,也應考慮地球曲率對高程的影響。

任務(wù)二地面點位的確定3.1測量誤差概述測量工作的實踐表明,當對某一量進行多次觀測時,不論測量儀器多么精密,觀測進行得多么仔細,測量結(jié)果總是存在著差異。例如,往返丈量某一距離若干次,或反復觀測某一角度,每次觀測結(jié)果都不會一致,這就是因為觀測結(jié)果中存在誤差的緣故。

任務(wù)三測量誤差的基本知識觀測誤差的產(chǎn)生,主要是由于觀測儀器的構(gòu)造不可能十分完善;觀測者感覺器官的鑒別能力有限;測量作業(yè)是在不斷運動變化著的外界條件(如風、溫度、亮度等)下進行的。因為任何測量工作都離不開上述三個客觀條件,故觀測誤差的產(chǎn)生是不可避免的。上述三個方面,通常稱為觀測條件。觀測條件相同的各次觀測,稱為等精度觀測;觀測條件不同的各次觀測,稱為不等精度觀測。

任務(wù)三測量誤差的基本知識

(一)測量誤差的分類

按觀測誤差性質(zhì)的不同,可將其分為粗差、系統(tǒng)誤差、偶然誤差三大類。

1.粗差

粗差是一種大量級的觀測誤差,是由于觀測者疏忽大意,操作不當;或受外界干擾等原因造成的。例如,照錯了目標,讀錯或記錯了數(shù)據(jù)等。粗差實際上是一種錯誤,在觀測成果中是不允許存在的,由于它將嚴重影響觀測成果的質(zhì)量,因此要求測量工作者要具有高度的責任心和良好的工作作風,盡量避免粗差的發(fā)生。

任務(wù)三測量誤差的基本知識通過重復觀測、嚴格檢核與驗算等方式均可發(fā)現(xiàn)粗差。國家的測繪機構(gòu)制定的各類測量規(guī)范和細則,一般也能起到防止粗差出現(xiàn)和發(fā)現(xiàn)粗差的作用。

含有粗差的觀測值都不能采用,一旦發(fā)現(xiàn)粗差,該觀測值必須舍棄或重測。

任務(wù)三測量誤差的基本知識2.系統(tǒng)誤差

在相同的觀測條件下,對某量進行一系列的觀測,若誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小均相同,或按一定的規(guī)律變化。這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。例如用名義長度為30m,而實際長度為30.004m的鋼卷尺量距,每量一尺段就有-0.004m的系統(tǒng)誤差,它是一個常數(shù);又如水準儀雖經(jīng)檢校,視準軸與水準管軸之間仍會存在i角誤差,觀測時在水準尺上的讀數(shù)便會產(chǎn)生D?i″/ρ″誤差。

任務(wù)三測量誤差的基本知識系統(tǒng)誤差具有累積性,對測量結(jié)果影響甚大,但它的符號和大小有一定的規(guī)律,應當設(shè)法消除或減弱其影響。具體措施如下:

(1)校正儀器。如對水準儀的視準軸不平行于水準軸的校正,經(jīng)緯儀照準部水準管軸不垂直于豎軸或度盤偏心的誤差對測量水平角的影響的校正等。

(2)采用適當?shù)挠^測方法。如角度測量中的正、倒鏡觀測,盤左、盤右讀數(shù),分不同時間段觀測;三角高程測量中的對向觀測;水準測量中的中間水準測量法,分上、下午進行往返觀測等。

任務(wù)三測量誤差的基本知識(3)計算改正。如對測距觀測值進行必要的尺長改正、溫度改正、氣壓改正、頻率改正等。

(4)系統(tǒng)誤差補償。即把系統(tǒng)誤差作為一種未知參數(shù)來處理。如果用某種標準對觀測值進行判斷,發(fā)現(xiàn)有系統(tǒng)誤差存在,但對其數(shù)值的大小和符號不能確定,這時可采用設(shè)置未知數(shù)的方法,使它與其他未知數(shù)一起通過計算求出來,這種方法稱為系統(tǒng)誤差補償。

任務(wù)三測量誤差的基本知識3.偶然誤差

在相同的觀測條件下,對某量進行一系列的觀測,如誤差出現(xiàn)的符號和大小均不一致,且從表面上看沒有任何規(guī)律性,這種誤差稱為偶然誤差。當不存在粗差和系統(tǒng)誤差的情況下,偶然誤差實際上就是觀測值與真值之差,即

Δ=L-X(1-8)

式中Δ——偶然誤差;

L——觀測值;

X——真值。

任務(wù)三測量誤差的基本知識偶然誤差亦稱隨機誤差,其符號和大小雖然在表面上無規(guī)律,但決不能說這些事實和現(xiàn)象的產(chǎn)生是無緣無故的。例如鋼卷尺量距時在尺上估讀的小數(shù)(有時偏大,有時偏小)就屬于偶然誤差。表面上是偶然性在起作用,實際上卻始終是受其內(nèi)部隱蔽著的規(guī)律所支配,問題是如何把這種隱蔽的規(guī)律揭示出來。任務(wù)三測量誤差的基本知識

(二)偶然誤差的特性

大量的實踐證明,如果對某量進行多次觀測,在只含有偶然誤差的情況下,偶然誤差列呈現(xiàn)出統(tǒng)計學上的規(guī)律性。觀測的次數(shù)愈多,這種規(guī)律愈明顯。例如,對三角形的三個內(nèi)角進行觀測,因觀測有誤差,內(nèi)角觀測值之和Σ不等于180°,其差值Δ為閉合差,又稱為真誤差。

現(xiàn)觀測了358個三角形,將每個三角形內(nèi)角和真誤差的大小按一定區(qū)間統(tǒng)計如表1-3所示。

任務(wù)三測量誤差的基本知識

任務(wù)三測量誤差的基本知識由表中可以看出:

(1)小誤差的個數(shù)比大誤差的個數(shù)多;

(2)絕對值相等的正負誤差的個數(shù)大致相等;

(3)最大誤差不超過24″。

任務(wù)三測量誤差的基本知識人們通過反復實踐和認識,總結(jié)出偶然誤差列具有如下特性:

(1)在一定的觀測條件下,偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度;

(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會要多;

(3)絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的機會相等;

(4)同一量的等精度觀測,其偶然誤差的算術(shù)平均值,隨著觀測次數(shù)的增加而趨近于零,即

任務(wù)三測量誤差的基本知識為了更直觀地表示偶然誤差的正、負大小的分布情況,可根據(jù)表1-3數(shù)據(jù)作圖1-12。圖中以偶然誤差的大小表示橫坐標,以誤差出現(xiàn)于各區(qū)間的頻率除以區(qū)間為縱坐標,每一個誤差區(qū)間上的長方條面積代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的頻率。該圖在統(tǒng)計學中稱為頻率直方圖。

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圖1-12偶然誤差的分布圖

任務(wù)三測量誤差的基本知識顯然,圖1-12中矩形面積的總和等于1。每一矩形的面積大小,表示在該區(qū)間內(nèi)偶然誤差出現(xiàn)的頻率k/n。例如圖中有陰影的一個矩形面積,即表示誤差出現(xiàn)在+6″~+9″之間的頻率。

橫坐標軸表示偶然誤差,所以各矩形上部包圍的一個折線就能比較形象地表示出偶然誤差的分布規(guī)律。當誤差區(qū)間取得足夠小,觀測次數(shù)足夠多時,該誤差折線就趨向于一條對稱于縱坐標軸的連續(xù)曲線,稱為誤差分布曲線。在數(shù)理統(tǒng)計中,這條曲線稱為“正態(tài)分布密度曲線”,如圖1-13所示。高斯根據(jù)偶然誤差的統(tǒng)計特性,推導出該曲線的方程式為

任務(wù)三測量誤差的基本知識

圖1-13誤差正態(tài)分布曲線任務(wù)三測量誤差的基本知識高斯根據(jù)偶然誤差的統(tǒng)計特性,推導出該曲線的方程式為

y=f(Δ)稱為分布密度,式中m稱為中誤差。

由于偶然誤差本身的特性,不能用計算改正或改變觀測方法的辦法來簡單地加以消除,只能根據(jù)偶然誤差的理論來改進觀測方法和合理地處理觀測數(shù)據(jù),以減小偶然誤差對測量成果的影響。

任務(wù)三測量誤差的基本知識3.2衡量精度的標準

(一)中誤差

衡量觀測結(jié)果精度的標準有許多種,測量工作中通常采用中誤差。

設(shè)在等精度條件下對某未知量進行了n次觀測,其觀測值為l1,l2,…,ln,真誤差相應為Δ1,Δ2,…,Δn,則觀測精度可用下式來表示

任務(wù)三測量誤差的基本知識上式中,m稱為觀測值的中誤差,亦稱均方誤差,即每個觀測值都具有這個精度,在概率統(tǒng)計中常用σ表示。

中誤差的大小不同,其偶然誤差的概率分布密度曲線也不同。如圖1-14所示,設(shè)>,則說明相應于m1的偶然誤差列比相應于m2的偶然誤差列更密集在原點兩側(cè)。由于分布密度曲線與橫軸之間的面積都等于1,故的曲線所截縱軸的位置比的曲線高,說明m1所對應觀測值的精度比m2所對應觀測值的精度高。任務(wù)三測量誤差的基本知識

圖1-14不同精度的誤差曲線圖任務(wù)三測量誤差的基本知識(二)相對誤差

真誤差Δ及中誤差m都是絕對誤差。衡量測量成果的精度,有時單用絕對誤差還不能完全表達精度的優(yōu)劣。例如,分別丈量長度為100m和200m兩段距離,其中誤差皆為±0.002m。顯然,我們不能認為這兩段距離的丈量精度是相同的。為了更客觀地衡量精度,還必須引入相對誤差的概念。相對誤差就是絕對誤差的絕對值與相應測量結(jié)果之比,通常以分子為1的分式來表示。相對中誤差可表示為

式中m——為長度D值的中誤差。任務(wù)三測量誤差的基本知識上述兩段距離的相對誤差為

在上例中用相對中誤差來衡量觀測精度,就可知后者的精度比前者高。

在這里應該指出,經(jīng)緯儀角度測量、水準測量等不能用相對誤差的概念來衡量精度,因為其誤差與觀測值本身的大小無關(guān)。

任務(wù)三測量誤差的基本知識(三)容許誤差

由偶然誤差的第一個特性可知,在一定的觀測條件下,偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。觀測值的中誤差只是衡量精度的一個標準。它并不代表某一個別觀測值的真誤差的大小。但是中誤差與被衡量值的真誤差之間,存在著一定的統(tǒng)計學上的關(guān)系。根據(jù)誤差理論和大量的實踐證明,在一列等精度觀測誤差中,絕對值大于中誤差的偶然誤差出現(xiàn)個數(shù)約為30%,絕對值大于兩倍中誤差出現(xiàn)的個數(shù)約為5%,絕對值大于三倍中誤差的出現(xiàn)個數(shù)僅為3‰。任務(wù)三測量誤差的基本知識因此,在觀測次數(shù)不多的情況下,可認為大于三倍中誤差的偶然誤差實際上是不可能出現(xiàn)的。故常以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值,稱為極限誤差,即

Δ極=3m(1-13)

在實際工作中,有的測量規(guī)范要求觀測值不容許存在較大的誤差時,常以兩倍中誤差為誤差的容許值,稱為容許誤差,即

Δ允=2m(1-14)

如果觀測值中出現(xiàn)了超過2m的誤差,就可以認為該觀測值不可靠,應舍去不用。任務(wù)三測量誤差的基本知識3.3誤差傳播定律及其應用

在實際工作中,某些未知量不可能或不便于直接進行觀測。而需要由另外一些直接觀測值用間接的方法計算出來。例如,欲求某一點的坐標(x、y),則是通過觀測該點與已知點間的水平距離和水平角來進行計算。顯然,在此種情況下,未知量是各個獨立直接觀測值的函數(shù)。因此,所求未知量的中誤差與觀測值的中誤差之間必有一定的關(guān)系,闡述這種關(guān)系的定律,稱為誤差傳播定律。任務(wù)三測量誤差的基本知識(一)誤差傳播定律

設(shè)Z是獨立觀測量x1,x2,...,xn的函數(shù),即

Z=f(x1,x2,…,xn)(1-15)

其中函數(shù)Z的中誤差為mZ,各獨立觀測量x1,x2,...,xn的中誤差分別為m1,m2,...,mn。根據(jù)式(1-8),設(shè)

xi=li-Δi(1-16)

式中l(wèi)i——各獨立觀測量xi相應的觀測值;

Δi——各觀測值li的偶然誤差。

任務(wù)三測量誤差的基本知識將式(1-16)代入式(1-15),則有

Z=f(l1-Δ1,l2-Δ2,…,ln-Δn)

用泰勒級數(shù)展開成線性函數(shù)的形式,并整理成

等式的右邊第二項就是函數(shù)Z的誤差ΔZ的表達式,即

各獨立觀測量xi都觀測了k次,則函數(shù)的誤差ΔZ的平方和展開式為

任務(wù)三測量誤差的基本知識因為Δi、Δj(i≠j)均為獨立觀測值的偶然誤差,其乘積ΔiΔj也必然具有偶然誤差的特性。根據(jù)偶然誤差特性4,有

所以當觀測次數(shù)k足夠多時,式(1-18)可以簡寫成

根據(jù)式,有任務(wù)三測量誤差的基本知識任務(wù)三測量誤差的基本知識式(1-23)就是一般函數(shù)的誤差傳播定律的表達式。利用式(1-23)可以推導出一些典型函數(shù)的誤差傳播定律,常用函數(shù)的計算公式見表1-4。任務(wù)三測量誤差的基本知識(二)誤差傳播定律的應用

誤差傳播定律在測繪領(lǐng)域的應用十分廣泛,不僅可以求得觀測值函數(shù)的中誤差,還可以研究確定容許誤差,或事先分析觀測可能達到的精度等。

應用誤差傳播定律時,首先應根據(jù)問題的性質(zhì),列出正確的觀測值函數(shù)關(guān)系式,再利用誤差傳播公式求解,下面舉例說明其應用。任務(wù)三測量誤差的基本知識【例1-1】在視距測量中,當視線水平時讀得的視距間隔l=1.35m±1.2mm,試求水平距離D及其中誤差mD。

【解】視線水平時,水平距離D為

D=kl=100×1.35m=135.00m

根據(jù)誤差傳播定律的倍數(shù)關(guān)系式,可求得mD為

mD=100ml=±100×1.2mm=±120mm=±0.12m

水平距離的最終結(jié)果可以寫成D=(135.00±0.12)m。任務(wù)三測量誤差的基本知識【例1-2】對一個三角形三個內(nèi)角進行觀測,已觀測α、β兩內(nèi)角,觀測值分別為α=72°34'12″±5.0″,β=56°46'18″±4.0″。求另一個內(nèi)角γ的角值及其中誤差mγ。

任務(wù)三測量誤差的基本知識【例1-3】坐標增量計算公式Δx=Dcosα,觀測值D=152.60m±0.06m,α=106°30'15″±8″,求Δx的中誤差mx。

任務(wù)三測量誤差的基本知識【例1-4】普通水準測量中,視距為75m時在標尺上讀數(shù)的中誤差mh≈±2mm(包括照準誤差、氣泡居中誤差及水準標尺刻畫誤差等)。若以3倍中誤差作為容許誤差,試求普通水準測量觀測n站所得高差閉合差的容許誤差。

【解】設(shè)每一測站進行觀測時前后視距相等,每測站高差為hi=ai-bi(i=1,2,…,n),則每一測站觀測高差的中誤差m為

觀測n站所得高差h=h1+h2+…+hn,高差閉合差fh=h-h0,h0是已知量,可認為其中誤差等于零。則閉合差f的中誤差為

任務(wù)三測量誤差的基本知識每一測站是等精度觀測,所以m1=m2=…=mn=m,因此

以3倍中誤差為容許誤差,則高差閉合差的容許誤差為

考慮到其他影響因素的存在,在普通水準測量中,實際的高差閉合差容許誤差是±12mm。任務(wù)三測量誤差的基本知識【例1-5】對某三角形Δabc內(nèi)角進行n次等精度觀測,三角形閉合差fi=ai+bi+ci-180°(i=1,2,…,n),試求一測回角值的中誤差mβ。

任務(wù)三測量誤差的基本知識本章