初中數(shù)學滬科版八年級下冊一元二次方程本章復習與測試【省一等獎】

中物理滬科版數(shù)學八年級下冊第17章一元二次方程單元小結(jié)概念解法根的判別式根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的應(yīng)用直接開平方法配方法公式法因式分解法一元二次方程能使一元二次方程左右兩邊相等的只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程ax2+bx+c=0

（a≠0，）b，c為任意實數(shù)一元二次方程的解（或根）2、一元二次方程的一般形式是什么？1、什么是一元二次方程？3、什么是一元二次方程的解（或根）？未知數(shù)的值叫做知識點1一元二次方程的定義對應(yīng)練習1、判斷下列方程中，哪些是關(guān)于x的一元二次方程？(1)(2)4x2+3x-2=(2x-1)2(3)x3-x+4=0(4)x2-2y-3=0(5)(m+1)x2+3x+1=0(6)2x2=0一元二次方程必須滿足三個條件③

方程兩邊都是整式①只含有一個未知數(shù)（元）②未知數(shù)的次數(shù)是2×××××√對應(yīng)練習2、若方程是關(guān)于x的一元二次方程，求m的值.

解：∵是關(guān)于x的一元二次方程∴

m2-7=2m-3≠0解得m=-3

所以既要保證未知數(shù)的最高次數(shù)是2，又要保證二次項系數(shù)不等于0.注意：因為所給方程是關(guān)于x的一元二次方程，對應(yīng)練習3、已知關(guān)于x的方程(k2-1)x2+(k+1)x-2=0.(1)當k為何值時是一元一次方程？解：(1)由題意得解得k=1k2-1=0k+1≠0∴

當k=1時，原方程是一元一次方程(2)當k為何值時是一元二次方程？(2)由題意得解得k≠±1k2-1≠0∴

當k≠±1時，原方程是一元二次方程4、已知關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一個根是0，求m的值.∵0是方程(m-2)x2+3x+m2-4=0的一個根解：∴m2-4=0解得m=±2又∵方程(m-2)x2+3x+m2-4=0是關(guān)于x的一元二次方程∴m-2≠0，即m≠2∴m的值為-2.對應(yīng)練習

因此，求一元二次方程中的字母的值時，

只需把已知方程的根代入原方程就可以求出字母的值.注意：方程的根就是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，5、（2018揚州中考）若m是方程2x2-3x-1=0的一個根，求6m2-9m+2015的值.∵m是方程2x2-3x-1=0的一個根解：∴

2m2-3m-1=0

∴

2m2-3m=1

∴

6m2-9m+2015=

3（2m2-3m）+2015=

3×1+2015=

2018對應(yīng)練習6、已知實數(shù)a是一元二次方程x2-2020x+1=0的一個根，求代數(shù)式對應(yīng)練習的值.∵

實數(shù)a是方程x2-2020x+1=0的一個根解：∴

a2-2020a+1=0

∴

a2+1=2020a，

∴

a2-2020a=-1=

a2-2019a-a

=

a2-2020a

=

-1

7、m是方程x2+x-1=0的根，求m3+2m2+2015的值.

∵m是方程x2+x-1=0的一個根解：∴

m2+m-1=0

∴

m2+m=1

∴

m3+2m2+2015=

m3+m2+m2+2015=

m(m2+1)+m2+2015=

m+m2+2015對應(yīng)練習=

2016=

1+20151、解一元二次方程的方法有哪些？④因式分解法①開平方法②配方法③公式法2、解一元二次方程的基本思想是什么？轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，把一個一元二次方程“降次”，我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想.”知識點2一元二次方程的解法即解：移項，得開平方，得∴原方程的根是或?qū)?yīng)練習用直接開平方法解下列方程.①開平方法

①把原方程化成或這種形式；用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟.③解一元一次方程，求出方程的根.

②開平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降為一次；(p≥0）適用范圍：

形如或的一元二次方程.(p≥0）對應(yīng)練習用配方法解下列方程.(1)2x2-3x-1=0解：二次項系數(shù)化為1，得移項，得配方，得即開平方，得∴

原方程的根式當二次項系數(shù)1，且一次項系數(shù)是偶數(shù)時，用

較簡單對應(yīng)練習用配方法解下列方程.(2)x2+2x-9999=0解：移項，得配方，得即開平方，得∴

原方程的根是x2+2x=9999x2+2x+1=9999+1(x+1)2=10000x+1=±100x1=99，x2=-101配方法②配方法用配方法解一元二次方程的步驟:①把方程化為一般形式，②移項，③配方，④開方，⑤寫出一元二次方程的兩個根.且使二次項系數(shù)為1；把常數(shù)項移到方程的右邊；方程兩邊同時加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方；當方程右邊是非負數(shù)時，

用直接開平方法解方程.適用范圍：所有一元二次方程當二次項系數(shù)1，且一次項系數(shù)是偶數(shù)時，用

較簡單配方法對應(yīng)練習用公式法解下列方程.解：∵a=2，c=-1∴b2-4ac=將原方程化成標準形式，得∴

b=2，22-4×2×(-1)=12＞0∴

③公式法(a≠0，且b2-4ac≥0)（b2-4ac≥0）

的求根公式.這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0

代入求根公式求解；用公式法解一元二次方程的一般步驟：①把一元二次方程化為一般形式

ax2+bx+c=0(a≠0)②確定方程中a，b，c的值③求出b2-4ac的值④若b2-4ac≥0，若b2-4ac<0

時，則把a，b，c及b2-4ac的值方程無實數(shù)根.適用范圍：所有一元二次方程5(2x-1)=(1-2x)(x+3)對應(yīng)練習用因式分解法解下列方程.∴

把方程左邊因式分解，得

(2x-1)[5+(x+3)]＝02x-1=0解：或x+8=0∴

x1=，x2=-8移項，得5(2x-1)-(1-2x)(x+3)=0即

(2x-1)(x+8)＝0④因式分解法②將方程的左邊因式分解；用因式分解法解一元二次方程的基本步驟①將方程變形，使方程的右邊為零；③根據(jù)若a·b=0，則a=0或b=0，將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程；④寫出原方程的解.適用范圍：方程左邊易于分解，右邊等于零；理論依據(jù)：ab=0a=0或b=01、四種解法中，最簡便的解法的是

最后選擇配方法.在沒有規(guī)定方法的前提下解一元一次方程時，優(yōu)先考慮直接開平方法和因式分解法，然后考慮公式法，直接開平方法和因式分解法.歸納總結(jié)2、解一元二次方程方法的選擇順序：3、當二次項系數(shù)1，且一次項系數(shù)是偶數(shù)時，用

較簡單.配方法

①x2-3x+1=0②3x2-1=0③-3t2+t=0④x2-4x=2⑤2x2－x=0⑥5(m+2)2=8⑦3y2-y-1=0⑧2x2+4x-1=0⑨(x-2)2=2(x-2)

適合運用直接開平方法

；適合運用因式分解法

；適合運用公式法

；適合運用配方法

.

②③①④⑥⑤⑨⑦⑧

題中某個含原未知數(shù)x的式子，x2+1xxx2+1=拓展提升

+52分析：觀察這個分式的特點，這種方法叫做因此，我們可以通過換元法來解.可以發(fā)現(xiàn)兩個分式互為倒數(shù).即先用一個新的未知數(shù)y替換

先解出y，再去解x，換元法.1、解分式方程：x2+1xxx2+1=1、解分式方程：+52解：設(shè)y=，xx2+1則

xx2+1=1y原方程可化為y+=521y方程兩邊同乘以

2y，整理，得2y2-5y+2=0解這個方程，得y1=

，y2=212即xx2+112=，xx2+12=拓展提升

化簡，得x2+1xxx2+1=1、解分式方程：+52(1)化簡，得xx2+112=22x2-x+2=0∵

△=b2-4ac=(-1)2-4×2×2=-15<0∴

這個方程沒有實數(shù)根(2)xx2+1=x2-2x+1=0解這個方程得x1=x2=1經(jīng)檢驗：x1=x2=1是原方程的根綜上所述：

這個方程的根為x1=x2=1拓展提升

2、求代數(shù)式2x2-6x+7的最小值.解：∵2x2-6x+7=

2(x2-3x)+7又∵

∴

∴

2x2-6x+7的最小值是

≥≥0拓展提升

3、求代數(shù)式4-x2+2x的最大值.解：∵4-x2+2x=-x2+2x+4=-（x2-2x）+4=-（x2-2x+1-1）+4）=-[(x-1)2-1]+4=-(x-1)2+5又∵-(x-1)2≤0∴-(x-1)2+5∴

4-x2+2x

的最大值是5≤5拓展提升

由b2-4ac

來確定.

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的即△=b2-4ac.

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的情況我們把

b2-4ac叫做根的判別式，通常用符號“△”來表示，

一般地，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），特別指出：

特別指出：反過來，有兩個不相等的實數(shù)根；有兩個相等的實數(shù)根；沒有實數(shù)根.當?≥0時，有兩個實數(shù)根.?＞0；?=0；?＜0.當方程有兩個實數(shù)根時，?≥0.當?＝0時，當?＜0時，當?＞0時，當方程沒有實數(shù)根時，當方程有兩個相等的實數(shù)根時，當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，知識點3一元二次方程的根的判別式(1)25y2+4=20y對應(yīng)練習1、不解方程，判別下列方程根的情況：解：∵

△=b2-4ac=4×25×4(-20)2-=0原方程有兩個相等的實數(shù)根.∴把原方程化為標準形式，得25y2-20y+4=0利用一元二次方程根的判別式時，注意：一定要把方程化為標準形式.(2)對應(yīng)練習1、不解方程，判別下列方程根的情況：解：∵

△=b2-4ac=4×2×1-=-5原方程沒有的實數(shù)根.∴＜02、[中考·涼山州]關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有實數(shù)根，求m的取值范圍？解：∵

關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有實數(shù)根∴m-2≠0，且?≥0即m-2≠0，且22-4(m-2)≥0解得且m≠2m≤3對應(yīng)練習對應(yīng)練習3、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0.求證：不論m為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.證明：∵

△=b2-4ac=(4m+1)2-不論m為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.∴4(2m-1)=16m2+8m+1-8m+4=16m2+5＞0∵

方程m2x2+(2m+1)x+1=0有實數(shù)根1、關(guān)于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有實數(shù)根，求m的取值范圍.解：①當m=0時，此方程為一元一次方程，②當m≠0時，方程有實數(shù)根.此方程為一元二次方程.∴?=(2m+1)2-4m2≥0解得且m≠0綜上所述，當時，

關(guān)于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有實數(shù)根拓展提升

一元二次方程的根與系數(shù)之間存在什么關(guān)系.那么這就是根與系數(shù)的關(guān)系，如果ax2+bx+c=0(a≠0)

的兩個根為

x1，x2

,

x1+x2=

，x1x2=ba-ca韋達定理.通常稱為1、利用韋達定理的前提條件是注意：方程要有實數(shù)根，

?=b2-4ac即≥02、利用韋達定理時，要先把一元二次方程化為一般形式.知識點4一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系解法一：∵方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2∴解得∴

原方程為

解得x1=2，綜上所述：方程的另一個根是-3,k的值是-2.1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.鞏固練習22-2(k+1)+3k=0k=-2x2+x-6=0x2=-3∴

方程的另一個根是－31、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.解法二：設(shè)方程的另一個根為x2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得2

＋x2

2x2

解方程組，得x2=-3k=-2綜上所述：方程的另一個根是-3,k的值是-2.對應(yīng)練習=k+1=3k對應(yīng)練習2、設(shè)a，b是方程x2+x-2015=0的兩個實數(shù)根，求a2+2a+b的值.解：∵

a是方程x2+x-2015=0的根∴

a2+a-2015=0

∴

a2+a=2015又∵

a，b是方程x2+x-2015=0的兩個實數(shù)根∴由韋達定理可得a+b=-1∴

a2+2a+b=a2+a+a+b=2015-1=2014對應(yīng)練習3、已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根.(1)求k的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立？若存在求出K的值；若不存在，請說明理由.解:(1)∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根.∴?≥0，且4k≠0即(-4k)2-4×4k×(k+1)≥0，且4k≠0解得k<0對應(yīng)練習3、已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根.(1)求K的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立？若存在求出K的值；若不存在，請說明理由.

一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和，方法分析：在計算與方程的根有關(guān)的代數(shù)式和等式時，兩根之積的形式，常用代數(shù)式變形方法總匯1、x12+x22

=（x1+x2）2

-2x1x22、（x1-x2）2

=（x1+x2）2

-4x1x2常用代數(shù)式變形方法總匯一元二次方程的應(yīng)用

某省為解決農(nóng)村飲水問題，省財政部門共投資20億元對各市的農(nóng)村飲用水的“改水工程”予以一定比例的補助，2014年，A市在省財政補助的基礎(chǔ)上再投入600萬元用于“改水工程”，計劃以后每年以相同的增長率投資，2016年該市計劃投資“改水工程”1176萬元.(1)求A市投資“改水工程”的年平均增長率；(2)從2014年到2016年，A市三年共投資“改水工程”多少萬元？題型一：

增長率（或降低率）問題的規(guī)律解：(1)設(shè)A市投資“改水工程”年平均增長率為x,根據(jù)題意，得600(1+x)2＝1176整理，得(1+x)2＝1.96解方程，得x1＝0.4，x2＝－2.4結(jié)合題意，x2=-2.4不符題意，所以x＝0.4答：A市投資“改水工程”的年平均增長率為40%.(2)600+600×(1+0.4)+1176答：A市三年共投資“改水工程”2616萬元.＝2616（萬元）

則一次增長后的值為歸納總結(jié)增長率（或降低率）問題的規(guī)律n次增長后的值為(1)增長率問題：設(shè)基數(shù)為a，平均增長率為x，兩次增長后得值為以此類推，

則一次降低后的值為n次降低后的值為(2)降低率問題：設(shè)基數(shù)為a，平均降低率為x，兩次降低后的值為

以此類推，

a(1+x)，

a(1+x)2，

a(1+x)n.a(1-x)，a(1-x)2，

a(1+x)n.題型二：

利用一元二次方程解決銷售與利潤問題

某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了盡快減少庫存，商場決定采取降價措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果這種襯衫的售價每降低1元，商場平均每天可多售出2件.(1)若商場要想平均每天盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元?分析：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，則把題中信息整理成下表:盈利/件

數(shù)量總盈利原來現(xiàn)在4040-x2020+2x8001200題型二：

利用一元二次方程解決銷售與利潤問題

某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了盡快減少庫存，商場決定采取降價措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果這種襯衫的售價每降低1元，商場平均每天可多售出2件.(1)若商場要想平均每天盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元?解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元.根據(jù)題意，得(40-x)(20+2x)=1200解方程，得x1=10，x2=20∵

要盡快減少庫存.答：商場要想平均每天盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價20元.∴每件襯衫應(yīng)降價20元.題型二：

利用一元二次方程解決銷售與利潤問題

某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了盡快減少庫存，商場決定采取降價措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果這種襯衫的售價每降低1元，商場平均每天可多售出2件.(2)每件襯衫降價多少元時，商場每天盈利最多？最多盈利多少元？解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，商場每天盈利為W元，W=(40-x)(20+2x)根據(jù)題意，得=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250∴

當x=15時，W有最大值，最大值為1250.答：每件襯衫降價15元時，商場每天盈利最多,最多盈利1250元.1、如圖,在一塊長92m,寬60m的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬度都相等.水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形小塊,水渠應(yīng)挖多寬.92-2x60-x9260題型三：利用一元二次方程解決圖形面積（體積）問題(92-2x)(60-x)=885整理，得x2-106x＋105=0解：設(shè)水渠寬x米.根據(jù)題意，得解方程，得

x1＝1，結(jié)合題意，答：水渠應(yīng)挖1m寬.x2＝105所以

x＝1.x2＝105不符題意，2、[中考·襄陽]如圖，一農(nóng)戶要建一個長方形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門.所圍長方形的長、寬分別為多少時，豬舍的面積為80m2？

12mx題型三：利用一元二次方程解決圖形面積（體積）問題解：設(shè)長方形的寬為xm，根據(jù)題意，得則長為（26-2x)m.x(26-2x)=80解方程，得x1=5，x2=8當x＝5

時，26-2x=答：所圍長方形的長為10m，寬為8m時，豬舍的面積為80m226-2x16＞12（舍去）當x＝8

時，26-2x=10<12題型三：利用一元二次方程解決圖形面積（體積）問題3、如圖所示，在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，求金色紙邊的寬.解：設(shè)金色紙邊的寬為xcm.根據(jù)題意，得(80+2x)(50+2x)=5400解方程，得x1=5，x2=-70結(jié)合題意，所以

x＝5.x2＝-70不符題意，答：如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，則金色紙邊的寬為5cm.1、春節(jié)時有一些同學相約每兩人互通一次電話，他們一共打了45次電話.請問有多少名同學相約互相通電話？答：有10名同學相約互相通電話.題型四：

利用一元二次方程解決傳播問題解：設(shè)有x名同學相約互相通電話.根據(jù)題意，得x(x-1)=45解方程，得x1=10，x2=-9結(jié)合題意，所以

x＝10.x2＝-9不符題意，2、有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感.（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被感染？答：每輪傳染中平均一個人傳染了7人，如果不及時控制，第三輪將又有448人被感染.題型四：

利用一元二次方程解決傳播問題解：(1)設(shè)每輪傳播中平均一個人傳染了x人.根據(jù)題意，得1+x+x(1+x)=64解方程，得x1=7，x2=-9結(jié)合題意，所以

x＝7.x2＝-9不符題意，(2)64×7=448(人)