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河南省平頂山市2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系,它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示,若y關(guān)于x的線性回歸方程為,則m=()x1234y0.11.8m4A.3.1 B.4.3C.1.3 D.2.32.在中國(guó),周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方,最早提出并證明此定理的為公元前世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于則這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值為()A. B.C. D.3.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離()A.4 B.C.2 D.4.兩圓x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-12=0的公共弦所在直線的方程為()A.x+2y﹣6=0 B.x﹣3y+5=0C.x﹣2y+6=0 D.x+3y﹣8=05.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,把展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新排成一列,則有理項(xiàng)互不相鄰的概率()A. B.C. D.6.2021年7月,某文學(xué)網(wǎng)站對(duì)該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿足讀者需要進(jìn)行了調(diào)查,調(diào)查部門隨機(jī)抽取了名讀者,所得情況統(tǒng)計(jì)如下表所示:滿意程度學(xué)生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分,一般為分,不滿意為分.設(shè)命題:按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人,則退休族應(yīng)抽取人;命題:樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是()A. B.C. D.7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,當(dāng)時(shí),()A.11 B.20C.33 D.358.過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F分別作斜率為k1、k2的直線l1、l2,直線l1與C交于A、B兩點(diǎn),直線l2與C交于D、E兩點(diǎn),若|k1·k2|=2,則|AB|+|DE|的最小值為()A.10 B.12C.14 D.169.直線的傾斜角為A. B.C. D.10.等比數(shù)列滿足,,則()A.11 B.C.9 D.11.已知A,B,C三點(diǎn)不共線,O是平面ABC外一點(diǎn),下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C一定共面的是A. B.C. D.12.若直線與雙曲線相交,則的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量是直線l的一個(gè)方向向量,向量是平面的一個(gè)法向量,若直線平面,則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____14.在平面上給定相異兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)P滿足,則當(dāng)且時(shí),P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓,我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知橢圓的離心率,A,B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),C,D為橢圓的短軸端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,若的面積的最大值為3,則面積的最小值為_(kāi)__________.15.命題“,”是真命題,則的取值范圍是________16.若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直,則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知兩個(gè)定點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線:(1)求曲線的軌跡方程;(2)若與曲線交于不同的、兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率;18.(12分)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定:機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí),應(yīng)當(dāng)減速慢行;遇行人正在通過(guò)人行橫道,應(yīng)當(dāng)停車讓行,俗稱“禮讓斑馬線”,其中第90條規(guī)定:對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣3分,罰款50元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):參考公式:,月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009580(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程;(2)預(yù)測(cè)該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù);19.(12分)在直三棱柱中,、、、分別為中點(diǎn),.(1)求證:平面(2)求二面角的余弦值20.(12分)兩人下棋,每局均無(wú)和棋且獲勝的概率為,某一天這兩個(gè)人要進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝的比賽,勝者贏得2700元獎(jiǎng)金,(1)分別求以獲勝、以獲勝的概率;(2)若前兩局雙方戰(zhàn)成,后因?yàn)槠渌露K止比賽,間,怎么分獎(jiǎng)金才公平?21.(12分)已知圓心在直線上,且過(guò)點(diǎn)、(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線被所截得的弦長(zhǎng)為4,求直線的方程22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓過(guò)點(diǎn),且離心率.(1)求橢圓的方程;(2)直線的斜率為,直線l與橢圓交于兩點(diǎn),求的面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】先求得樣本中心,代入回歸方程,即可得答案.【題目詳解】由題意得,又樣本中心在回歸方程上,所以,解得.故選:A2、C【解題分析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為,則,根據(jù)基本不等式求出的最大值后,可得三角形周長(zhǎng)的最大值.【題目詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為,則.因?yàn)?,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值為故選:C3、A【解題分析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可確定焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【題目詳解】由題設(shè),拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則,∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選:A.4、C【解題分析】?jī)蓤A方程相減得出公共弦所在直線的方程.【題目詳解】?jī)蓤A方程相減得,即x﹣2y+6=0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6=0故選:C5、A【解題分析】先根據(jù)前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列求,再根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果【題目詳解】因?yàn)榍叭?xiàng)的系數(shù)為,,,當(dāng)時(shí),為有理項(xiàng),從而概率為.故選:A.6、A【解題分析】由抽樣比再乘以可得退休族應(yīng)抽取人數(shù)可判斷命題,求出上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分,由方差公式計(jì)算方差可判斷,再由復(fù)合命題的真假判斷四個(gè)選項(xiàng),即可得正確選項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)橥诵葑鍛?yīng)抽取人,所以命題正確;樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分為,方差為,命題正確,所以為真,、、為假命題,故選:7、B【解題分析】由數(shù)列的性質(zhì)可得,計(jì)算可得到答案.【題目詳解】由題意,.故答案為B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】設(shè)出l1的方程為,與拋物線聯(lián)立后得到兩根之和,兩根之積,用弦長(zhǎng)公式表達(dá)出,同理表達(dá)出,利用基本不等式求出的最小值.【題目詳解】拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F為,直線l1的方程為,則聯(lián)立后得到,設(shè),,,則,同理設(shè)可得:,因?yàn)閨k1·k2|=2,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即或時(shí),等號(hào)成立,故選:B9、B【解題分析】分析出直線與軸垂直,據(jù)此可得出該直線的傾斜角.【題目詳解】由題意可知,直線與軸垂直,該直線的傾斜角為.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的傾斜角,關(guān)鍵是掌握直線傾斜角的定義,屬于基礎(chǔ)題10、B【解題分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】由數(shù)列是等比數(shù)列,得:,故選:B11、D【解題分析】首先利用坐標(biāo)法,排除錯(cuò)誤選項(xiàng),然后對(duì)符合的選項(xiàng)驗(yàn)證存在使得,由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】不妨設(shè).對(duì)于A選項(xiàng),,由于的豎坐標(biāo),故不在平面上,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng),,由于的豎坐標(biāo),故不在平面上,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng),,由于的豎坐標(biāo),故不在平面上,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng),,由于的豎坐標(biāo)為,故在平面上,也即四點(diǎn)共面.下面證明結(jié)論一定成立:由,得,即,故存在,使得成立,也即四點(diǎn)共面.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查空間四點(diǎn)共面的證明方法,考查空間向量的線性運(yùn)算,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.12、C【解題分析】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得到,即得的取值范圍.【題目詳解】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得當(dāng),即時(shí),直線和雙曲線的漸近線重合,所以直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn).當(dāng),即時(shí),,解之得.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-2【解題分析】由已知可得,即,計(jì)算即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槭侵本€的一個(gè)方向向量,是平面的一個(gè)法向量,且直線平面,所以,所以,解得.故答案為:-2.14、【解題分析】先根據(jù)求出圓的方程,再由的面積的最大值結(jié)合離心率求出和的值,進(jìn)而求出面積的最小值.【題目詳解】解:由題意,設(shè),,因?yàn)榧磧蛇吰椒秸淼茫核詧A心為,半徑因?yàn)榈拿娣e的最大值為3所以,解得:因?yàn)闄E圓離心率即,所以由得:所以面積的最小值為:故答案為:.【題目點(diǎn)撥】思路點(diǎn)睛:本題先根據(jù)已知的比例關(guān)系求出阿波羅尼斯圓的方程,再利用已知面積和離心率求出橢圓的方程,進(jìn)而求得面積的最值.15、【解題分析】依題意可得,是真命題,參變分離得到在上有解,再利用構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算可得.【題目詳解】,等價(jià)于在上有解設(shè),,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,,所以,即故答案為:16、1【解題分析】由兩條直線垂直可知,進(jìn)而解得答案即可.【題目詳解】因?yàn)閮蓷l直線垂直,所以.故答案為:1.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解題分析】(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由,結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式,列出式子,可求出軌跡方程;(2)易知,且,可求出到直線的距離,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離為,可求出直線的斜率【題目詳解】(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由,可得,整理得,所以所求曲線的軌跡方程為(2)依題意,,且,在△中,,取的中點(diǎn),連結(jié),則,所以,即點(diǎn)到直線:的距離為,解得,所以所求直線斜率為【題目點(diǎn)撥】本題考查軌跡方程,考查直線的斜率,考查兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2)37【解題分析】(1)將題干數(shù)據(jù)代入公式求出與,進(jìn)而求出回歸直線方程;(2)再第一問(wèn)的基礎(chǔ)上代入求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】,,則,,所以回歸直線方程;【小問(wèn)2詳解】令得:,故該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)為37.19、(1)見(jiàn)解析;(2)【解題分析】(1)取中點(diǎn),連接,根據(jù)直棱柱的特征,易知,再由、分別為的中點(diǎn),根據(jù)中位線定理,可得,得到四邊形為平行四邊形,再利用線面平行的判定定理證明.(2)取的中點(diǎn),連接,以為原點(diǎn),、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則.,再分別求得平面和平面的一個(gè)法向量,利用面面角的向量公式求解.【題目詳解】(1)證明:如圖所示:取中點(diǎn),連接,易知,、分別為的中點(diǎn),∴,∴故四邊形為平行四邊形,∴,∵平面,平面,平面(2)取的中點(diǎn),連接,以為原點(diǎn),、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:則∴,設(shè)平面的法向量為,則,即,取,得,易知平面的一個(gè)法向量為,∴,∴二面角的余弦值為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的判定定理和面面角的向量求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)以獲勝、以獲勝的概率分別是;(2)分給分別元,元.【解題分析】(1)以獲勝、以獲勝,則分別要連勝三局,前三局勝兩局輸一局,第四局勝利;(2)求出若兩局之后正常結(jié)束比賽時(shí),的勝率,按照勝率分獎(jiǎng)金.【小問(wèn)1詳解】設(shè)以獲勝、以獲勝的事件分別為,依題意要想獲勝,必須從第一局開(kāi)始連勝局,;要想獲勝,則前局只能勝局,且第局勝利,故概率;【小問(wèn)2詳解】設(shè)前兩局雙方戰(zhàn)成后勝,勝的事件分別為.若勝,則可能連勝局,或者局只勝場(chǎng),第局勝,故概率;由于兩人比賽沒(méi)有和局,獲勝的概率為,則獲勝的概率為,若勝,則可能連勝局,或者局只勝場(chǎng),第局勝,故概率.故獎(jiǎng)金應(yīng)分給元,分給元.21、(1);(2)或.【解題分析】(1)由、兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的垂直平分線的方程與直線上聯(lián)立可得圓心坐標(biāo),由兩點(diǎn)間距離公式求出半徑,即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線的方程,求出圓心到直線的距離,再由垂徑定理結(jié)合勾股定理列方程求出的值,即可得直線的方程【題目詳解】由點(diǎn)、可得中點(diǎn)坐標(biāo)為,,所以直線的垂直平分線的斜率為,可得直線的垂直平分線的方程為:即,由可得:,所以圓心為,,所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為,(2)設(shè)直線的方程為即,圓心到直線的距離,則可得,即,解得:或,所以直線的方程為或,即或22、(1);(2)2.【解題分析】(1)由離心率,得到,再由點(diǎn)在橢圓上,得到,聯(lián)立求得,即可求得橢圓的方程.(2)設(shè)的方程為,聯(lián)立方程組,根據(jù)根系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式,以及點(diǎn)到直線的距離公式,求得,結(jié)合基本不等
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