高中數(shù)學北師大版選擇性空間向量與立體幾何2空間向量與向量運算從平面向量到空間向量公開課

空間向量與立體幾何從平面向量到空間向量

物理中的事例F1F2F3

一個放在水平面上物體，受到不在同一平面內(nèi)的三個力的作用，如何求它們的合力？空間向量的客觀存在01情景引入南上東住處學校

小明從學校大門口出發(fā),向北行走100m,再向東行走200m,最后上電梯15m到達住處.小明從學?；氐阶√幩l(fā)生的總位移是三個位移的合成，它們是不在同一個平面內(nèi)的位移，如何刻畫這樣的位移？實際問題01情景引入知識點一

向量的概念1.向量是既有

又有

的量，如果我們把問題的研究范圍限定在同一平面上，稱之為

向量；如果問題的研究范圍擴大到空間中，稱之為

向量2.與平面向量一樣，空間向量也有兩種表示方法，一種用有向線段表示，A叫做向量的

，B叫做向量的

；另一種用a,b,c表示.3.數(shù)學中所討論的向量與向量的起點無關(guān)，稱之為

.4.與平面向量一樣，空間向量的大小，也叫做向量的

或

,用或表示.大小方向平面空間終點起點自由向量長度模BA02新知講授5.過空間用一點O作向量a,b的相等向量

和

，則

叫做向量的

，記作

，規(guī)定

當

時，向量a與b

，記作

，當0或時，向量a與b

，記作.思考:在空間中，將所有的單位向量的起點移到同一點，那么他們的終點構(gòu)成怎樣的圖形？夾角解

球面.

特別地:02新知講授知識點一

向量的概念

垂直平行ABC對零向量、單位向量的認識1.零向量的特點：(1)長度為零；(2)方向任意，規(guī)定零向量和任何向量平行.2.單位向量的特點：(1)長度為1；(2)方向與已知條件有關(guān)，一般地，在空間的任意方向上都有單位向量，且在某一確定的方向上有唯一一個單位向量．02新知講授空間向量與平面向量的對比1.所處范圍:平面向量的范圍是在同一個平面內(nèi)，而空間向量則是在空間的范圍內(nèi)．2.是否共面：平面向量中的所有向量都是共面的，而空間中，任意兩個向量都是共面的，三個向量則有可能是不共面的，如圖所示．3.性質(zhì)推廣：平面向量的所有的性質(zhì)在空間中仍然成立，空間向量的有關(guān)問題通常轉(zhuǎn)化為平面向量來解決．02

新知講授1.是空間一直線，A，B是直線上任意兩點，則稱為直線的，顯然與平行的任意向量也是直線的

2.如果直線垂直于平面,那么把直線的方向向量叫做平面的

方向向量非零方向向量法向量

解平面的法向量有無數(shù)個,在使用時,只取其中的一個.02新知講授知識點二

直線的方向向量和平面的法向量思考：平面的法向量有多少個？A3.給定空間中任意一點A和非零向量a,就可以確定唯一一條

直線,也可以確定唯一一個

的平面.

過點A且平行于向量a

過點A且垂直于向量a02新知講授例1

給出下列五個命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；②若空間向量a,b滿足|a|=|b|,則a=b；③在正方體中必有

；④若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p，則m=p；⑤空間中任意兩個單位向量必相等.其中正確命題的個數(shù)為（）A.4B.3C.2D.103典例講評解當兩向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等；但兩個向量相等，卻不一定有起點相同，終點相同，故①錯；根據(jù)向量相等的定義，不僅模相等，而且方向相同，故②錯；根據(jù)正方體中，向量與方向相同，模也相等，應(yīng)有，故③正確；命題④顯然正確；空間中任意兩個單位向量模均為1，但方向不一定相同，故⑤錯．故選C.規(guī)律總結(jié)：本題重點考查了空間向量的相關(guān)概念，解決此類題往往借助實例和舉反例的方法求解，因此，又考查了數(shù)形結(jié)合思想，特殊與一般的思想.練習1

如圖所示,在長方體ABCD

-

A1B1C1D中，AB=3,AD=2，AA1=1，在分別以八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中，回答以下問題（1）單位向量共有多少個；（2）寫出與向量相等的所有向量；（3）寫出與向量相反的所有向量；（4）寫出與向量平行的所有向量.03典例講評解(1)模為1的向量即為單位向量，由于長方體的高為1，所以長方體的四條高對應(yīng)的向量都是單位向量,分別是,共8個.(2)因為所以與相等的向量有(3)因為所以與相反的向量有(4)因為所以與向量平行的向量有

.例2.如圖，已知正方體，求：(1)(2)03典例講評解(1)因為所以將平移至處,則大小為的補角，由正方體性質(zhì)可得,故

規(guī)律方法：求兩向量夾角時，注意只有將兩向量平移至起點相同處，得到的夾角才是所求.(2)連接,因為，所以將平移至處，則，大小為，由正方體性質(zhì)可知為正三角形，所以，因此.03典例講評練習2.在正方體中,

H

解連接，因為，所以，而為等邊三角形，故例3.如圖所示,在直三棱柱中,，在所有棱對應(yīng)的向量中,平面

的法向量有 (

)A.0個

B.2個

C.3個

D.4個

03典例講評解由于三棱柱是直三棱且，所以平面,

平面,所以平面的法向量有

,共4個.

故選D.知識方法易錯1.向量的概念．2.直線的方向向量與平面的法向量本節(jié)課主要運用了類比的數(shù)學推理方法，通過平面向量來學習和它類似的空間向量1.在對向量的概念進行判斷時，忽略大小或方向；2.忽略直線的方向向量與平面的法向量不能為零向量；3.求向量夾角時忽略將兩向量平移到起點相同處.04課內(nèi)小結(jié)05課后作業(yè)1.在平行六面體中,

H

與向量相等的向量共有（）A.1個B.2個C.3個D.4個

解

與向量相等的向量有

,共3個.故選C05課后作業(yè)2.如圖，在正方體中，在分別以八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中,回答下列問題(1)寫出直線的所有方向向量；(2)寫出平面的所有法向量；(3)求解

(1)因為直線與直線平行，所以均為直線的方向向量.

(2)因為均垂直于平面

,所以向量都是平面的法向量.05課后作業(yè)