高中數(shù)學(xué)北師大版(2022)必修預(yù)備知識3不等式基本不等式基本不等式（25張）

3.2基本不等式第1課時基本不等式如圖，是2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo).它依據(jù)我國著名數(shù)學(xué)家趙爽為研究勾股定理作的弦圖進(jìn)行設(shè)計，顏色的明暗使其看起來像一個風(fēng)車.問題：

依據(jù)會標(biāo)，你能找到一些相等或不等關(guān)系嗎？掌握基本不等式，結(jié)合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值和最小值問題。理解基本不等式（數(shù)學(xué)抽象）能用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題（數(shù)學(xué)運算）能運用基本不等式證明不等式和比較代數(shù)式的大?。ㄟ壿嬐评?、數(shù)學(xué)運算）1.你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？BACDEFGH探究一

基本不等式BACDEFGH則正方形ABCD的面積是________，這4個直角三角形的面積之和是_________，設(shè)AE=a,BE=b,a2+b22ab>提示:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立，提示:一般地，對于任意實數(shù)a，b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.3.你能給出它的證明嗎？特別地，我們用,分別代替可得4.你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)嗎？通常我們把上式寫作證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,③中的等號成立.

基本不等式：注意：（1）a,b均為正數(shù)；（2）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.DABCE如圖,AB是圓的直徑，C是AB上任一點，AC=a,CB=b,過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD,BD,則CD=＿＿,半徑為＿＿.CD小于或等于圓的半徑.用不等式表示為上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合，即當(dāng)a=b時，等號成立.幾何意義：半徑不小于半弦.可以敘述為:兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).

叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).基本不等式1.基本不等式(1)重要不等式：對于任意實數(shù)a、b，都有a2＋b2

2ab，當(dāng)且僅當(dāng)

時，等號成立．(2)基本不等式①形式：

②成立的前提條件： ；③等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)

時取等號．≥a＝ba>0，b>0a＝b【即時練習(xí)】√√和定積最大已知a>0,b>0,a+b=1,求證：【解析】由于不等式左邊含字母a,b，右邊無字母，直接使用基本不等式，既無法約掉字母，不等號方向又不對，因a+b=1，能否把左邊展開，實現(xiàn)“1”的代換？探究二

利用基本不等式證明簡單的不等式當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.【變式訓(xùn)練】【解析】∵a,b,c都是正數(shù)，∴∴

即配湊法:根據(jù)已知條件配湊基本不等式所滿足的條件構(gòu)造法:通過不等式的放縮將所給等量關(guān)系變?yōu)椴坏仁胶瘮?shù)法:用代換法轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題再求函數(shù)的最大(小)值核心知識方法總結(jié)易錯提醒核心素養(yǎng)重要不等式基本不等式（1）應(yīng)用基本不等式時，注意一正二定三相等的條件（2）注意分析給定不等式，變形、組合、添加系數(shù)的目的是使之能夠出現(xiàn)定值邏輯推理、數(shù)學(xué)運算：用重要不等式、基本不等式求最值，培養(yǎng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)【解析】選B.因為x>0,y>0,所以(1＋x)·(1＋y)=1+x+y+xy=1+8+xy

所以原式最大值為25當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時取最大值。1.

已知x>0，y>0，且x＋y＝8，則(1＋x)·(1＋y)的最大值為() A.16 B.25 C.9 D.3