《集合的含義與表示》

☆激趣導(dǎo)入☆藍(lán)藍(lán)的天空中，一群鳥在歡快的飛翔;茫茫的草原上，一群羊在悠閑地走動；清清的湖水里，一群魚在自由地游泳；．．．．．．“物以類聚,人以群分”數(shù)學(xué)中也有類似的分類。、1.1.1集合的含義與表示

康托爾(GeorgCantor,1845-1918,德).康托爾1845年出生于俄國的圣彼得堡,后來離開俄國遷入德國,其家庭是猶太人后裔.早在學(xué)生時代,康托爾就顯露出數(shù)學(xué)天才,不顧其父親的反對,他選擇了數(shù)學(xué)作為自己的專業(yè),并于1867年以優(yōu)異成績獲得了柏林大學(xué)的哲學(xué)博士學(xué)位,其后,在哈爾大學(xué)得到一個教師職位,1872年提升為教授.

關(guān)于集合的理論是19世紀(jì)末開始形成的.當(dāng)時德國數(shù)學(xué)家康托爾試圖回答一些涉及無窮量的數(shù)學(xué)難題,例如整數(shù)究竟有多少？一個圓周上有多少點？0-1之間的數(shù)比1寸長線段上的點還多嗎？等等.而“整數(shù)”、“圓周上的點”、“0-1之間的數(shù)”等都是集合,因此對這些問題的研究就產(chǎn)生了集合論.

康托爾集合論的創(chuàng)立是人類思維發(fā)展史上的一座里程碑,它標(biāo)志著人類經(jīng)過幾千年的努力,終于基本弄清了無窮的性質(zhì).因此越來越多的人開始承認(rèn)它,并成功地把它應(yīng)用到許多別的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中去.大家認(rèn)為,集合論確實是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).而且,由于集合論的建立,數(shù)學(xué)的“絕對嚴(yán)格性已經(jīng)取得”.資料銜接(1)1~20以內(nèi)的所有素數(shù)；(2)我國從1991~2003年的13年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星；(3)金星汽車廠2003年生產(chǎn)的所有汽車；(4)2004年1月1日之前與我國建立外交關(guān)系的所有國家；(5)所有的正方形；(6)到直線l的距離等于定長d的所有的點；(7)方程的所有實數(shù)根；(8)新華中學(xué)2004年9月入學(xué)的所有的高一學(xué)生.二、請看下列實例(1)它們能組成集合嗎?它們的元素分別是什么?(2)能說出這些例子的共同特征嗎?通過觀察上面實例請思考：

一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集).判斷以下元素的全體是否組成集合,并說明理由:(1)我國的小河流.(2)絕對值很大的實數(shù).(3)小于3的有理數(shù).(4)直角坐標(biāo)系中x軸上方的點.給定的集合,其元素必須是確定的(1.集合中元素的確定性).三、集合的概念一個給定的集合中的元素是互不相同的(2.集合中元素的互異性).一個集合中的元素的書寫一般不考慮順(3.集合中元素的無序性).四、元素與集合的(從屬)關(guān)系集合通常用大寫字母表示,元素用小寫字母表示.如果元素a是集合A的元素,就說a屬于集合A,記作如果元素a不是集合A的元素,就說a不屬于集合A,記作全體自然數(shù)組成的集合叫自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）：記作

N全體整數(shù)組成的集合叫整數(shù)集：記作Z全體有理數(shù)組成的集合叫有理數(shù)集：記作

Q全體實數(shù)組成的集合叫實數(shù)集：記作R知識探究

思考：所有的自然數(shù)，正整數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)，實數(shù)能否分別構(gòu)成集合？問題

(1)如何表示“地球上的四大洋”組成的集合?

(2)如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有實數(shù)根”組成的集合?

｛1,-2｝

把集合中的元素一一列舉出來,并用花括號｛｝括起來表示集合的方法叫做列舉法.五、集合的表示方法｛太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋｝例1

用列舉法表示下列集合：(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；(2)方程的所有實數(shù)根組成的集合(3)由1~20以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合.解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.(2)B={0，1}.(3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}.(1)您能用自然語言描述集合｛2,4,6,8｝嗎?(2)您能用列舉法表示不等式x-7<3的解集嗎?小于10的正偶數(shù)的集合不能一一列舉例2試分別用列舉法和描述法表示下列集合：（1）方程的所有實數(shù)根組成的集合；（2）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合