2023屆上海市嘉定區(qū)高三上學期9月統(tǒng)考數(shù)學試題（解析版）

2023屆上海市嘉定區(qū)高三上學期9月統(tǒng)考數(shù)學試題

一、單選題

1.已知正項數(shù)列｛%｝,令b,,=lga”,則｛"｝為等差數(shù)列是｛q｝為等比數(shù)列的（）

A.充分條件但非必要條件B.必要條件但非充分條件

C.充要條件D.以上皆非

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義判斷即可.

【詳解】若｛紇｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

則有l(wèi)ga?-lga?=lg—=^,

+la?

即乎=10",則數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列，公比為10、

滿足充分性；

若｛“〃｝是正項等比數(shù)列，設(shè)公比為4（4>0）,

則有4包=勺，兩邊取對數(shù)得：

a?

>S—=1g<7.即lga,*i-lga”=lgq,

an

即〃+i-〃,=igq，則｛〃,｝是等差數(shù)列，公差為igq.

滿足必要性.

則｛，｝為等差數(shù)列是｛%｝為等比數(shù)列的充要條件.

故選：c.

2.離心率和橢圓形狀的有關(guān)，據(jù)此判斷橢圓c：工+上=1和C?：三+匯=1,則G和G

4354

哪個圖形更為扁平（）

A.C,B.C2

C.相同D.無法判斷

【答案】A

【分析】分別計算出兩個橢圓的離心率，然后比較，誰的離心率越大且越接近于1,誰

就越扁.

【詳解】在橢圓G:J+千=1中，a=2,b=0,.?.0==,4—3=1，二。/=

43

22e=

在橢圓C,：I+J=1中，。=石,6=2,c=yja-h=75-4=1>*,-2~~~j=~~~

54ayj55

11r2、廣

■-et=->-f==e2,，橢圓C：L+^=1的圖形更為扁平一些.

2J543

故選:A.

3.平面直角坐標系xQy中，過點(1,4)且同時和y軸、直線丫=履(0<%<4)相切的圓的

個數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.與《有關(guān)，因而不確定

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作出示意圖(圖見解析)，轉(zhuǎn)化為直線>=丘與y軸夾角的平分線上

的動點到y(tǒng)軸和到定點(1,4)距離相等的問題即可.

【詳解】在平面直角坐標系xOy中，過點(1,4)且同時和y軸、直線相切的圓，滿足圓

的圓心到(1,4)的距離與到y(tǒng)軸以及到直線y=kx[0<k<4)的距離相等，而滿足到(1,4)

與到直線y=匕的距離相等的點的軌跡的拋物線，到y(tǒng)軸與到直線、=依的距離相等的

軌跡是y=丘與y軸夾角的平分線，如下圖示，可知兩個軌跡方程的圖形有2個交點，

所以滿足條件的圓有2個.

故選：C

4.通過抽樣調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便利店購買冷飲的

人數(shù)的相關(guān)系數(shù)很高，甲認為這是巧合，兩者其實沒有關(guān)系：乙認為冷飲的某種攝入成

分導致了疾?。槐J為病人對冷飲會有特別需求：丁認為兩者的相關(guān)關(guān)系是存在的，但

不能視為因果，請判斷哪位成員的意見最可能成立()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【分析】正確理解相關(guān)系數(shù)，相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系的區(qū)別是解題的關(guān)鍵.

【詳解】當?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便利店購買冷飲的人數(shù)的相關(guān)系數(shù)

很高，但相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系不等于因果關(guān)系，丁的意見最可能成

故選：D.

二、填空題

5.雙曲線《=1的焦點坐標是.

【答案】（5,0）,（-5,0）

【分析】根據(jù)雙曲線方程，得到焦點在x軸上，且c=5,從而寫出焦點坐標.

【詳解】由題意得：焦點在x軸上，且/=16+9=25,解得：c=5,

所以焦點坐標為（5,0）與（-5,0）

故答案為：（5,0）,（-5,0）

6.已知數(shù)列｛%｝的遞推公式為卜""可，則%=_________.

[4=2

【答案】54

【分析】根據(jù)遞推公式逐一賦值即可求解.

【詳解】由數(shù)歹IJ的遞推公式得4=34=6,%=3%=18=3%=54.

故答案為：54.

7.直線x+百y+12=0被圓/+丁=100所截的弦長為.

【答案】16

【分析】先由圓的方程確定圓心坐標和半徑大小，再求圓心到直線的距離，根據(jù)幾何法

求弦長.

【詳解】由題知：圓f+1=100的圓心為（0,0）,半徑用=10,

故圓心到直線x+x/5y+12=0的距離d=1=6,

V1+3

所以弦長為：1=23-才=16?

故答案為：16.

8.函數(shù)＞=12在x=2處的切線方程為（寫成一般式方程的形式）.

【答案】x-2y+21n2-2=0

【分析】先將x=2代入求得切點坐標，然后進行求導，將x=2代入得到切線的斜率，利

用點斜式方程即可得到答案

【詳解】解：當x=2時，y=ln2,所以此時切點為(2,ln2),

由〃x)=lnr可得r(x)=J

所以切線的斜率為A=/'(2)=g,

貝(1利用點斜式方程可得至Uy_ln2=g(x_2)即x—2y+21n2-2=0,

故答案為：x-2y+21n2-2=0

9.2022年世界杯亞洲區(qū)預選賽，中國和日本、澳大利亞、越南、阿曼、沙特阿拉伯分在同

一小組，任意兩個國家需要在各自主場進行一場比賽，則該小組共有場比

賽.

【答案】30

【分析】任意兩個國家需要在各自主場進行一場比賽，即為雙循環(huán)比賽，由排列組合求

解即可.

【詳解】一共有6個國家，任意兩個國家需要在各自主場進行一場比賽，即為雙循環(huán)比

賽,共有C：A；=30場比賽.

故答案為：30.

10.某路口在最近一個月內(nèi)發(fā)生重大交通事故數(shù)X服從如下分布：

(0123456、_

(0.3010.3620.2160.0870.0260.0060.002),則該路口一個月內(nèi)發(fā)生重大交通

事故的平均數(shù)為(精確到小數(shù)點后一位).

【答案】1.2

【分析】根據(jù)分布列計算期望即可得到結(jié)論.

【詳解】由X服從分布得

E(X)=0x0.301+1x0.362+2x0.216+3x0.087+4x0.026+5x0.006+6x0.002

=1.201,

即該路口一個月內(nèi)發(fā)生重大交通事故的平均數(shù)約為12

故答案為：1.2.

11.正整數(shù)484有個不同的正約數(shù).

【答案】9

【分析】先將484分解質(zhì)因數(shù)，484的約數(shù)由質(zhì)因數(shù)的乘積組成，使用分步乘法計數(shù)原

理，可求出484正約數(shù)的個數(shù).

【詳解】484=2x2xllxll=22xll2

設(shè)d為484的正約數(shù)，貝lJ"=2'xlP,（?=0,|,2,7=0,1,2）

例如：）=0,j=0時,d=2°xll°=lxl=I是484的約數(shù)，

i=l,/=2時,d=Lx"2=2x121=242是484的約數(shù),

i=2,，=2時,d=2?xlF=4X121=484是484的約數(shù)，

因此，484的正約數(shù)個數(shù)，即d的不同取值個數(shù)，第一步確定i的值，有3種可能，第

二步確定）的值，有3種可能，因此d的取值共有3x3=9種.

故答案為：9.

12.已知數(shù)列｛《,｝的通項公式為%,則。“取最大值時，〃=.

【答案】17或18.

【分析】判斷取最大值時，一定有〃419,由此設(shè)%為數(shù)列｛《,｝的最大項，列出不

an2〃向

等式組求得”的取值范圍，可得答案.

%2??-1

【詳解】由4=（20-〃）13可得當“221時，/<0,當”=20時，q=0,

當“419時，an>0,故見取最大值時，一定有“419,

設(shè)為數(shù)列｛4｝的最大項,

(20-"){|):(19-〃){|[

1,解得174/7418,

(2。一哩卜⑵一汨-

貝|J〃=17或18,止匕時《7=F，

故答案為：17或18.

13.根據(jù)農(nóng)業(yè)農(nóng)村部的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，2017年至2021年則我國農(nóng)民人均可支配收入如下表

所列:

年份X20172018201920202021

收入y（元）1343214600173711713118931

由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程y=^+〃，則。=（精確到小數(shù)點后一位）.

【答案】1352.9

【分析】利用最小二乘法，直接將表格中的數(shù)據(jù)帶入公式即可求出。的值.

-2017201201920202021

【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得:=+8+++=2019)

-13432+14600+17371+17131+18931,八小

y=---------------------------------------=16293.

利用最小二乘法，根據(jù)公式得:

(-2)x(-2861)+(-1)x(-1693)+1x838+2x2638

=1352.9.

(-2)2+(-l)2+l2+22

故答案為：1352.9.

14.對半徑為1的氣球以恒定的速度充氣，可視為球體在不斷膨脹，當半徑增加至2時,

其體積相對于半徑的瞬時變化率為.

【答案】16萬

4

【分析】球的體積公式為￡=三萬Z,對其求導并代入R=2計算即可

【詳解】解：由球的體積公式可得丫=；萬內(nèi)，得『=4萬R2,

所以R=2時，體積關(guān)于半徑的瞬時變化率為V7=4/rx2?=16%，

故答案為：16萬

15.已知P（4）=P（8）=P（A|8）=g,則網(wǎng)須卜.

【答案】I

【分析】根據(jù)條件概率得到事件A與事件B相互獨立,進而得到其對立事件也相互獨立,

從而利用對立事件概率公式求解.

【詳解】因為P（A）=P（A忸），

所以事件A與事件8相互獨立，

則事件?與事件月也相互獨立，

則P例同=P（N）=1-P⑷=1—：=:

故答案為：

三、雙空題

16.一項研究同年齡段的男、女生的注意力差別的腦功能實驗，實驗數(shù)據(jù)如下表:

注意力穩(wěn)定注意力不穩(wěn)定

男生297

女生335

則/=（精確到小數(shù)點后三位），依據(jù)3.841）20.05,該實驗該年

齡段的學生在注意力的穩(wěn)定性上對于性別沒有顯著差異（填拒絕或支持）.

【答案】0.538支持

【分析】根據(jù)卡方公式計算即可做出判斷.

【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知：“=29力=7,c=33,d=5,

2_Mad-bcY

n=a+h+c+d

(“+c)3+d)(a+6)(c+d)

74(145-231)2

計算可知:?0.538<3.841

(29+33)(7+5)(29+7)(33+5)

所以沒有足夠把握認為學生在注意力的穩(wěn)定性上與性別有關(guān),

即該實驗支持該年齡段的學生在注意力的穩(wěn)定性上對于性別沒有顯著差異.

故答案為：0.538；支持.

四、解答題

17.數(shù)歹lj｛《J的前”項和S“=〃2-〃+c,

（1）若｛4｝為等差數(shù)列，求公差、首項、c的值;

（2）在（1）的條件下，求數(shù)列的前“項和H”.

【答案】（1）公差為2,首先為0,c=（）

⑵

77+1

IS.,n=\

【分析】⑴由題意，根據(jù)公式…結(jié)合等差數(shù)列的相關(guān)定義，可得

答案;

（2）由（1）可知，S,用表達式，根據(jù)裂項相消，可得答案.

【詳解】⑴由題意，S“=〃2_〃+c,當九=1時,4=SI=l-l+c=c,

2

當“22時，StJ_}=(n-l)-(n-l)+c,

則q=S〃—Si=〃-〃+l)+c]=2〃一2,n＞2,

由%+]一q=2(〃+l)_2_(2"2)=2,則出一囚=2-C,=2,解得。二(),

故等差數(shù)列{%},公差為2,首項為0,c=0.

22

⑵由(1)可知，Sn=n-n,Slt+]=(/i+l)-(/?+l)=72(/z+1),

1111

---=-------=-------

S〃+i+n〃+l'

H〃=11--1-F-1---1-!-???+-1---1---=,1-1----=---n-.

223n/?+1〃+1〃+1

18.函數(shù)y=/(x),其中f(x)=x+詈.

⑴求函數(shù))，=/(尤)的導數(shù)y=r(x)；

⑵若0＜工＜2兀，求y=r(x)的極值.

【答案】⑴/(》)=1+史等竺

(2)極大值為]+e當，極小值為i_e6

【分析】(1)利用導數(shù)的求導法則以及基本初等函數(shù)的求導公式即可求解,

(2)求導，利用導數(shù)即可求解極值.

；Xcosx-ex-sinxev,cosx-sinx

【詳解】⑴由〃X)=X+罷Qnr得f(x)=lf+----河------="一百一

⑵記g(x)=f'(x),則g，⑺=2；泮,

令g'(x)=。，貝ljcos%=0,當0vxv2兀時，/=］或1=募，

故當0<x<g或曰<x<2兀時，g'(x)<0,當g'(x)>(),

因此當X、時，g(x)取極小值，且極小值為g［￡|=l-eW,

當x片時，g(x)取極大值，且極大值為8用=1+6+,

因此y=/'(x)的極大值為］+e與，極小值為］

19.將m+刀00的二項展開式中的二項式系數(shù)依次列為：cK",……，哨.

⑴依據(jù)二頂式定理，將(。+分00展開,并求證：4+4+4+……+C：罌=2%

(2)研究所列二項式系數(shù)的單調(diào)性，并求證：其最大值為

0010000

【答案】(1)3+夕=Cl+C；00a*+…+C*,證明見解析；

(2)答案見解析.

【分析】(1)由二項式定理得展開式，在展開式中令。=匕=1可證結(jié)論成立；

(2)用作差法可得出二項式系數(shù)的單調(diào)性，從而得出最大值.

0000100

【詳解】(1)由已知5+6)'=ChR+C：00a9%+...+O,

KW

令a=6=l得2=C；00+C；(W+CZ+……+C黑；

n+1ck100!100!100!99-24，……

(2)C：0G-C*(X)=---------------------------------------=------------------------------------,k=0,l,--,99,

-IOO伏+］)!(99_Q!壇(100_幻！k!(99-Q!/+1)(100—幻，

當99一2%2(),k<49.5,即4449時，C俄-4>0,C常>4,

當99一2女<0,即心50時，C偏-C盆<0,C在<4,

所以c；00coo，C：0G，…,C器中,從C；0n到C潟遞增，從C溫到C：罌遞減,

所以C落是最大值.

20.一臺機器設(shè)備由A和8兩個要件組成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)過程中，AB發(fā)生故障的概率分

別記作尸(A)、P(3)，假設(shè)A和8相互獨立.設(shè)X表示一次運轉(zhuǎn)過程中需要維修的要件的

數(shù)目,若尸(A)=0.1,/8)=02

(1)求出尸(X=0),P(X=l),P(X=2)；

(2)依據(jù)隨機變量X的分布，求E(X)和O(X)；

⑶若X1表示A需要維修的數(shù)目,X?表示B需要維修的數(shù)目，寫出X、X1和X2的關(guān)系式,

并依據(jù)期望的線性性質(zhì)和方差的性質(zhì)，求2X)和￡>(X).

［答案］(1)P(X=O)=0.72,P(x=1)=0.26,P(X=2)=0.02；

⑵E(X)=0.3,Z)(X)=0.25；

⑶E(X)=0.3,Q(X)=0.25。

【分析】(1)由題意利用相互獨立事件的概率公式求出所對應的概率即可;

(2)利用X的分布列直接計算期望和方差即可；

(3)利用期望和方差的性質(zhì)計算即可.

【詳解】⑴因為P(A)=0.1,P(B)=0.2,

所以尸(X=O)=(l-0.1)x(1—02)=0.72,

P(X=l)=(l-0.1)x0.2+0.1x(l-0.2)=0.26,

P(X=2)=0.1x02=0.02.

(2)由(1)得X的分布列為：

X012

P0.720.260.02

所以E(X)=0x0.72+lx0.26+2x0.02=0.3,

0(X)=(0-0.3)2*072+0_03)2x0.26+(2-0.3)2x0色=025

(3)由題意可得X=X,+X2,且％,X?均服從兩點分布，

所以E(XJ=Ol,E(X2)=0.2,

￡>(X,)=0.1x(l-0.1)=0.09,D(X2)=0.2X(1-0.2)=0.16,

所以E(X)=E(X,+X2)=￡(X,)+E(以)=0.3,

因為X”X2相互獨立,所以。(X)=O(X1+X2)=￡>區(qū))+。區(qū))=0.25.

21.橢圓+?=1,過橢圓「外一點P(sj)作橢圓『的兩條切線/用，切點分別為

64

A、B,PA和麗的夾角為0.

⑴若1=0,，=、，求此時$的值；

(2)若f=0,s>?,求證：。隨$的增大而減??；

jr

(3)是否存在圓C：f+y2=/，使得p在其上做圓周運動時，始終可以保持0=^?不論

存在與否，均請說明理由.

【答案】(l)s=±布；

(2)證明見解析；

(3)存在，圓C方程是/+丁=10.

【分析】(1)設(shè)切線方程為y="(x-s),代入橢圓方程整理為關(guān)于x的方程，由△=()得

TT

關(guān)于攵的二次方程，由。=彳得空2=-1,從而求得一

02

(2)由(1)求出切線斜率，得tan不=7^,由正切函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)

乙7s-6

可得結(jié)論；

(3)在切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y—=k(x-s),代入橢圓方程，整理為關(guān)于X的

方程，由A=0轉(zhuǎn)化為關(guān)于左的二次方程，由1得$2+產(chǎn)=10,從而P在圓

x2+/=10±,再說明過此圓上的點(±#,±2)時切線也保持。=5即可得結(jié)論.

【詳解】(1)P($,O),切線斜率顯然存在，設(shè)切線方程為y=k(x-s),

y=k(x-s)

由《幺y2,得(2+3左2)/—6反2工+3公$2_]2=0,

—+—=1

64

所以△=361/-4(2+3k2)(3s2k2-12)=0,(?-6)^2-