2023年新高二暑假講義12講第9講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系含答案

2023年新高二暑假講義第9講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系新課標(biāo)要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題。知識梳理一、直線與圓的位置關(guān)系及判斷(直線：Ax＋By＋C＝0，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r[om]代數(shù)法：由消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0圖形二、圓與圓的位置關(guān)系1．用幾何法判定圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，則圓心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)．則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切圓心距與半徑的關(guān)系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2圖示2．用代數(shù)法判定圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，將方程聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.))消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則(1)判別式Δ>0時，C1與C2相交．(2)判別式Δ＝0時，C1與C2外切或內(nèi)切．(3)判別式Δ<0時，C1與C2外離或內(nèi)含．名師導(dǎo)學(xué)知識點1直線與圓位置關(guān)系的判定【例1-1】已知圓的方程是x2＋y2＝2，直線y＝x＋b，當(dāng)b為何值時，圓與直線相交、相切、相離？【變式訓(xùn)練1-1】a為何值時，直線4x－3y＋a＝0與圓x2＋y2＝100分別有如下關(guān)系：(1)相交；(2)相切；(3)相離？知識點2直線與圓相切的有關(guān)問題【例2-1】過點M(2，4)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切線，求其切線的方程．【變式訓(xùn)練2-1】若將例2-1中的點M的坐標(biāo)改為(1，－2)，其他條件不變，又如何求其切線方程？知識點3直線與圓相交的有關(guān)問題【例3-1】求直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長．【變式訓(xùn)練3-1】已知直線y＝kx(k>0)與圓C：(x－2)2＋y2＝1相交于A，B兩點，若|AB|＝eq\f(2,5)eq\r(5)，則k＝________．知識點4兩圓位置關(guān)系的判定【例4-1】a為何值時，兩圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)外切；(2)相交；(3)外離？【變式訓(xùn)練4-1】圓(x－4)2＋y2＝9和圓x2＋(y－3)2＝4的公切線有()A．1條 B．2條 C．3條 D．4條知識點5兩圓相切問題【例5-1】已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是________．【變式訓(xùn)練5-1】若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m等于()A．21 B．19 C．9 D．－11知識點6兩圓相交的問題【例6-1】已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，判斷兩圓的位置關(guān)系．【變式訓(xùn)練6-1】在例6-1的條件下，求公共弦的長度．知識點7直線與圓的方程的應(yīng)用【例7-1】某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m．現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？【變式訓(xùn)練7-1】如圖是一座圓拱橋的截面圖，當(dāng)水面在某位置時，拱頂離水面2m，水面寬12m，當(dāng)水面下降1m后，水面寬為________米．知識點8坐標(biāo)法證明幾何問題【例8-1】如圖所示，在圓O上任取C點為圓心，作圓C與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓O交于點E，F(xiàn)，且EF與CD相交于H，求證：EF平分CD.【變式訓(xùn)練8-1】如圖，直角△ABC的斜邊長為定值2m，以斜邊的中點O為圓心作半徑為n的圓，直線BC交圓于P，Q兩點，求證：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2為定值．名師導(dǎo)練2.5.1直線與圓的位置關(guān)系A(chǔ)組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定2．平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是()A．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0B．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝03．已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝24．若直線y＝kx與圓x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切點在第四象限，則k＝________．5．直線y＝x＋2被圓M：x2＋y2－4x－4y－1＝0所截得的弦長為________．6．過點A(－1，4)作圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，求切線l的方程．7．已知曲線C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.(1)當(dāng)m為何值時，曲線C表示圓？(2)若直線l：y＝x－m與圓C相切，求m的值．B組-[素養(yǎng)提升]8．在圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點共有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．圓x2＋y2－4x＋6y－12＝0過點(－1，0)的最大弦長為m，最小弦長為n，則m－n等于()A．10－2eq\r(7) B．5－eq\r(7) C．10－3eq\r(3) D．5－eq\f(3,2)eq\r(2)10．設(shè)直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B兩點，且弦AB的長為2eq\r(3)，則a＝________．11．由直線y＝x＋1上的一點向圓x2－6x＋y2＋8＝0引切線，則切線長的最小值為________．12．(1)求圓x2＋y2＝10的切線方程，使得它經(jīng)過點M(2，eq\r(6))；(2)求圓x2＋y2＝4的切線方程，使得它經(jīng)過點Q(3，0)．13．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)求證不論m取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點；(2)求直線被圓C截得的弦長最小時的l的方程．2.5.2圓與圓的位置關(guān)系A(chǔ)組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．圓x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置關(guān)系是()A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切2．過兩圓x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交點的直線的方程是()A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．5x＋3y－2＝0D．不存在3．若圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9與圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，則實數(shù)m的值為()A．2 B．－5 C．2或－5 D．不確定4．已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點，則線段AB的中垂線方程為________．5．圓C1：x2＋y2－2mx＋m2－4＝0與圓C2：x2＋y2＋2x－4my＋4m2－8＝0相交，則實數(shù)m的取值范圍是________．6．求圓C1：x2＋y2－2x＝0和圓C2：x2＋y2＋4y＝0的圓心距|C1C2|，并確定圓C1和圓C2的位置關(guān)系．7．已知圓C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圓C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B兩點，求公共弦AB的長．B組-[素養(yǎng)提升]8．半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝369．設(shè)兩圓C1，C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(4，1)，則兩圓心的距離|C1C2|等于()A．4 B．4eq\r(2) C．8 D．8eq\r(2)10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則實數(shù)k的最大值是________．11．圓C1：x2＋y2－2x－8＝0與圓C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦長為________．12．已知關(guān)于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若方程C表示圓，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若圓C與圓x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求實數(shù)m的值；(3)若圓C與直線l：x＋2y－4＝0相交于M，N兩點，且|MN|＝eq\f(4\r(5),5)，求實數(shù)m的值．13．已知圓C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0.(1)試判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)直線l過點(6，3)與圓C1相交于A，B兩點，且|AB|＝2eq\r(6)，求直線l的方程．2.5.3直線與圓的方程的應(yīng)用A組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，則實數(shù)k的取值范圍是()A．{－eq\r(2)} B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C．[－1，1) D．{k|k＝eq\r(2)或－1≤k＜1}2．y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的面積是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4) C.eq\f(3π,2) D．π3．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N兩點，且M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，則實數(shù)k＋m＝()A．－1 B．1 C．0 D．24．已知圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝9，過圓內(nèi)一點P(2，3)作弦，則最短弦長為________．5．一束光線從點A(－2，2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長度是________．6．設(shè)有半徑長為3km的圓形村落，甲、乙兩人同時從村落中心出發(fā)，甲向東前進(jìn)而乙向北前進(jìn)，甲離開村后不久，改變前進(jìn)方向，斜著沿切于村落邊界的方向前進(jìn)，后來恰好與乙相遇．設(shè)甲、乙兩人的速度都一定，且其速度比為3∶1，問：甲、乙兩人在何處相遇？7．已知實數(shù)x，y滿足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求(1)eq\f(y,x)的最大值與最小值；(2)eq\r(（x－2）2＋y2)的最大值與最小值．B組-[素養(yǎng)提升]8．設(shè)集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，若存在實數(shù)t，使得A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(0，eq\f(4,3)] B．[0，eq\f(4,3)) C．[0，eq\f(4,3)] D．[0，2]9．如圖所示，已知直線l的方程是y＝eq\f(4,3)x－4，并且與x軸、y軸分別交于A，B兩點，一個半徑為1.5的圓C，圓心C從點(0，1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運動，當(dāng)圓C與直線l相切時，該圓運動的時間為()A．6s B．6s或16sC．16s D．8s或16s10．已知M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，則實數(shù)b的取值范圍是________．11．過點P(1，1)的直線，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2＋y2≤4}分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為________．12．如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間多長？(要求用坐標(biāo)法)13．如圖，過半徑為2的圓M上兩點P，Q的切線相交于點T，自點P向平行于PQ的直徑AB的兩端各作一直線，這兩條直線分別交垂直于PQ的直徑所在直線于點R，S.試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系用解析法證明：|RT|＝|ST|.第9講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系新課標(biāo)要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題。知識梳理一、直線與圓的位置關(guān)系及判斷(直線：Ax＋By＋C＝0，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r[om]代數(shù)法：由消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0圖形二、圓與圓的位置關(guān)系1．用幾何法判定圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，則圓心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)．則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切圓心距與半徑的關(guān)系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2圖示2．用代數(shù)法判定圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，將方程聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.))消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則(1)判別式Δ>0時，C1與C2相交．(2)判別式Δ＝0時，C1與C2外切或內(nèi)切．(3)判別式Δ<0時，C1與C2外離或內(nèi)含．名師導(dǎo)學(xué)知識點1直線與圓位置關(guān)系的判定【例1-1】已知圓的方程是x2＋y2＝2，直線y＝x＋b，當(dāng)b為何值時，圓與直線相交、相切、相離？【解】法一直線與圓的位置關(guān)系問題可轉(zhuǎn)化為方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝2，①,y＝x＋b，②))有兩組不同實數(shù)解；有一組實數(shù)解；無實數(shù)解的問題．②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③方程③的根的判別式．Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)當(dāng)－2<b<2時，Δ>0，方程組有兩組不同實數(shù)解，因此直線與圓有兩個公共點，直線與圓相交；當(dāng)b＝2或b＝－2時，Δ＝0，方程組有一組實數(shù)解，因此直線與圓只有一個公共點，直線與圓相切；當(dāng)b<－2或b>2時，Δ<0，方程組沒有實數(shù)解，因此直線與圓沒有公共點，直線與圓相離．法二圓心(0，0)到直線y＝x＋b的距離為d＝eq\f(|b|,\r(2))，圓的半徑r＝eq\r(2).當(dāng)d<r，即eq\f(|b|,\r(2))<eq\r(2)時，直線與圓相交，∴－2<b<2.當(dāng)d＝r，即eq\f(|b|,\r(2))＝eq\r(2)時，直線與圓相切，∴b＝±2.當(dāng)d>r，即eq\f(|b|,\r(2))>eq\r(2)時，直線與圓相離，∴b>2或b<－2.∴當(dāng)－2<b<2時，直線與圓相交；當(dāng)b＝－2或b＝2時，直線與圓相切；當(dāng)b>2或b<－2時，直線與圓相離．【變式訓(xùn)練1-1】a為何值時，直線4x－3y＋a＝0與圓x2＋y2＝100分別有如下關(guān)系：(1)相交；(2)相切；(3)相離？【解】法一(代數(shù)法)由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－3y＋a＝0，,x2＋y2＝100，))消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000.(1)當(dāng)直線和圓相交時，Δ＞0，即－36a2＋90000＞0，得－50＜a＜50；(2)當(dāng)直線和圓相切時，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；(3)當(dāng)直線和圓相離時，Δ＜0，即a＜－50或a＞50.法二(幾何法)圓x2＋y2＝100的圓心為(0，0)，半徑r＝10，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|a|,\r(（－3）2＋42))＝eq\f(|a|,5).(1)當(dāng)直線和圓相交時，d＜r，即eq\f(|a|,5)＜10，得－50＜a＜50；(2)當(dāng)直線和圓相切時，d＝r，即eq\f(|a|,5)＝10，得a＝50或a＝－50；(3)當(dāng)直線和圓相離時，d＞r，即eq\f(|a|,5)＞10，得a＜－50或a＞50.知識點2直線與圓相切的有關(guān)問題【例2-1】過點M(2，4)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切線，求其切線的方程．【解】由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故點M在圓外．當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程是y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，由于直線與圓相切，故eq\f(|k＋3＋4－2k|,\r(k2＋（－1）2))＝1，解得k＝eq\f(24,7).所以切線方程為24x－7y－20＝0.又當(dāng)切線斜率不存在時，直線x＝2與圓相切．綜上所述，所求切線方程為24x－7y－20＝0或x＝2.【變式訓(xùn)練2-1】若將例2-1中的點M的坐標(biāo)改為(1，－2)，其他條件不變，又如何求其切線方程？【解】由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故點M在圓上，設(shè)圓的圓心為C，則C(1，－3)，顯然CM的斜率不存在．∵圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，∴所求切線的斜率k＝0，∴切線方程為y＝－2.知識點3直線與圓相交的有關(guān)問題【例3-1】求直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長．【解】法一直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0和圓x2＋y2＝4的公共點坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋2\r(3)＝0，,x2＋y2＝4))的解．解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\r(3)，,y1＝1，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2＝2.))所以公共點的坐標(biāo)為(－eq\r(3)，1)，(0，2)，所以直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長為eq\r(（－\r(3)－0）2＋（1－2）2)＝2.法二如圖，設(shè)直線x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點，弦AB的中點為M，則OM⊥AB(O為坐標(biāo)原點)，所以|OM|＝eq\f(|0－0＋2\r(3)|,\r(12＋（－\r(3)）2))＝eq\r(3).所以|AB|＝2|AM|＝2eq\r(OA2－OM2)＝2eq\r(22－（\r(3)）2)＝2.【變式訓(xùn)練3-1】已知直線y＝kx(k>0)與圓C：(x－2)2＋y2＝1相交于A，B兩點，若|AB|＝eq\f(2,5)eq\r(5)，則k＝________．【解析】圓心到直線的距離d＝eq\f(|2k|,\r(k2＋1))，∵|AB|＝eq\f(2,5)eq\r(5)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2k|,\r(k2＋1))))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))eq\s\up12(2)＝1，∴k＝±eq\f(1,2).∵k>0，∴k＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)知識點4兩圓位置關(guān)系的判定【例4-1】a為何值時，兩圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)外切；(2)相交；(3)外離？【解】將兩圓方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴兩圓的圓心和半徑分別為C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.設(shè)兩圓的圓心距為d，則d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)當(dāng)d＝5，即2a2＋6a＋5＝25時，兩圓外切，此時a＝－5或a＝2.(2)當(dāng)1<d<5，即1<2a2＋6a＋5<25時，兩圓相交，此時－5<a<－2或－1<a<2.(3)當(dāng)d>5，即2a2＋6a＋5>25時，兩圓外離，此時a>2或a<－5.【變式訓(xùn)練4-1】圓(x－4)2＋y2＝9和圓x2＋(y－3)2＝4的公切線有()A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【解析】圓(x－4)2＋y2＝9的圓心為(4，0)，半徑等于3，圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為(0，3)，半徑等于2.兩圓的圓心距等于eq\r(42＋32)＝5＝2＋3，兩圓相外切，故兩圓的公切線的條數(shù)為3，故選C.【答案】C知識點5兩圓相切問題【例5-1】已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是________．【解析】設(shè)圓C的半徑為r，又圓心距d＝eq\r(（4－0）2＋（－3－0）2)＝5，∴當(dāng)圓C與圓O外切時，r＋1＝5，r＝4，當(dāng)圓C與圓O內(nèi)切時，r－1＝5，r＝6，∴圓C的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.【答案】(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36【變式訓(xùn)練5-1】若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m等于()A．21 B．19 C．9 D．－11【解析】C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.∵C1，C2兩圓的圓心分別為(0，0)，(3，4)，∴兩圓圓心距d＝eq\r(（3－0）2＋（4－0）2)＝5，又兩圓半徑分別為1，eq\r(25－m)，則d＝r1＋r2，即5＝1＋eq\r(25－m)，解得m＝9.【答案】C知識點6兩圓相交的問題【例6-1】已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，判斷兩圓的位置關(guān)系．【解】將兩圓方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，則圓C1的圓心為(1，－5)，半徑r1＝5eq\r(2).圓C2的圓心為(－1，－1)，半徑r2＝eq\r(10).又∵|C1C2|＝2eq\r(5)，r1＋r2＝5eq\r(2)＋eq\r(10)，r1－r2＝5eq\r(2)－eq\r(10)，∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴兩圓相交．【變式訓(xùn)練6-1】在例6-1的條件下，求公共弦的長度．【解】法一由例6-1知圓C1的圓心為(1，－5)，其到直線x－2y＋4＝0的距離d＝eq\f(|1－2×（－5）＋4|,\r(1＋（－2）2))＝3eq\r(5)，∴公共弦長l＝2eq\r(req\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(50－45)＝2eq\r(5).法二設(shè)兩圓相交于點A，B，則A，B兩點滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))所以|AB|＝eq\r(（－4－0）2＋（0－2）2)＝2eq\r(5)，即公共弦長為2eq\r(5).知識點7直線與圓的方程的應(yīng)用【例7-1】某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m．現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？【解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，使圓心C在y軸上．依題意，有A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0)．設(shè)這座圓拱橋的拱圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋10）2＋b2＝r2，,（a－10）2＋b2＝r2，,a2＋（b－4）2＝r2.))解此方程組，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．把點D的橫坐標(biāo)x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m，3<3.1，所以該船可以從橋下通過．【變式訓(xùn)練7-1】如圖是一座圓拱橋的截面圖，當(dāng)水面在某位置時，拱頂離水面2m，水面寬12m，當(dāng)水面下降1m后，水面寬為________米．【解析】如圖，以圓拱橋頂為坐標(biāo)原點，以過圓拱頂點的豎直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心為C，圓的方程設(shè)為x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦的端點為A，B，則A(6，－2)，將A(6，－2)代入圓的方程，得r＝10，∴圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100.當(dāng)水面下降1米后，可設(shè)點A′(x0，－3)(x0>0)，將A′(x0，－3)代入圓的方程，得x0＝eq\r(51)，∴當(dāng)水面下降1米后，水面寬為2x0＝2eq\r(51)米．【答案】2eq\r(51)知識點8坐標(biāo)法證明幾何問題【例8-1】如圖所示，在圓O上任取C點為圓心，作圓C與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓O交于點E，F(xiàn)，且EF與CD相交于H，求證：EF平分CD.【證明】以AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)|AB|＝2r，D(a，0)，則|CD|＝eq\r(r2－a2)，∴C(a，eq\r(r2－a2))，∴圓O：x2＋y2＝r2，圓C：(x－a)2＋(y－eq\r(r2－a2))2＝r2－a2.兩方程作差得直線EF的方程為2ax＋2eq\r(r2－a2)y＝r2＋a2.令x＝a，得y＝eq\f(1,2)eq\r(r2－a2)，∴H(a，eq\f(1,2)eq\r(r2－a2))，即H為CD中點，∴EF平分CD.【變式訓(xùn)練8-1】如圖，直角△ABC的斜邊長為定值2m，以斜邊的中點O為圓心作半徑為n的圓，直線BC交圓于P，Q兩點，求證：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2為定值．【證明】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0)．設(shè)A(x，y)，由已知，點A在圓x2＋y2＝m2上，故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．名師導(dǎo)練2.5.1直線與圓的位置關(guān)系A(chǔ)組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【解析】∵點M(a，b)在圓x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.∴圓心(0，0)到直線ax＋by＝1的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1＝r，則直線與圓的位置關(guān)系是相交．【答案】B2．平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是()A．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0B．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0【解析】依題意可設(shè)所求切線方程為2x＋y＋c＝0，則圓心(0，0)到直線2x＋y＋c＝0的距離為eq\f(|c|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，解得c＝±5.故所求切線方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.【答案】D3．已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2【解析】由條件，知x－y＝0與x－y－4＝0都與圓相切，且平行，所以圓C的圓心C在直線x－y－2＝0上．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,x＋y＝0，))得圓心C(1，－1)．又因為兩平行線間距離d＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)，所以所求圓的半徑長r＝eq\r(2)，故圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.【答案】B4．若直線y＝kx與圓x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切點在第四象限，則k＝________．【解析】圓x2＋y2－6x＋8＝0，即(x－3)2＋y2＝1，其圓心為(3，0)、半徑等于1.由題意可得k<0，再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可得eq\f(|3k－0－0|,\r(k2＋1))＝1，求得k＝－eq\f(\r(2),4).【答案】－eq\f(\r(2),4)5．直線y＝x＋2被圓M：x2＋y2－4x－4y－1＝0所截得的弦長為________．【解析】x2＋y2－4x－4y－1＝0可變?yōu)?x－2)2＋(y－2)2＝9，故圓心坐標(biāo)為(2，2)，半徑為3.圓心到直線x－y＋2＝0的距離是eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，故弦長的一半是eq\r(9－2)＝eq\r(7)，所以弦長為2eq\r(7).【答案】2eq\r(7)6．過點A(－1，4)作圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，求切線l的方程．【解】設(shè)l的方程為y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋4＝0，∴d＝eq\f(|2k－3＋k＋4|,\r(k2＋1))＝1，∴4k2＋3k＝0，∴k＝0或k＝－eq\f(3,4)，∴切線l的方程為y＝4或3x＋4y－13＝0.7．已知曲線C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.(1)當(dāng)m為何值時，曲線C表示圓？(2)若直線l：y＝x－m與圓C相切，求m的值．【解】(1)由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m，由5－m>0時，得m<5，∴當(dāng)m<5時，曲線C表示圓；(2)圓C的圓心坐標(biāo)為(－1，－2)，半徑為eq\r(5－m).∵直線l：y＝x－m與圓C相切，∴eq\f(|－1＋2－m|,\r(2))＝eq\r(5－m)，解得：m＝±3，滿足m<5.∴m＝±3.B組-[素養(yǎng)提升]8．在圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點共有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解析】圓心為(－1，－2)，半徑r＝2eq\r(2)，從而圓心到直線x＋y＋1＝0的距離d＝eq\f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，故圓上有3個點滿足題意．【答案】C9．圓x2＋y2－4x＋6y－12＝0過點(－1，0)的最大弦長為m，最小弦長為n，則m－n等于()A．10－2eq\r(7) B．5－eq\r(7) C．10－3eq\r(3) D．5－eq\f(3,2)eq\r(2)【解析】圓的方程x2＋y2－4x＋6y－12＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝25.所以圓心為(2，－3)，半徑長為5.因為(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以點(－1，0)在已知圓的內(nèi)部，則最大弦長即為圓的直徑，即m＝10.當(dāng)(－1，0)為弦的中點時，弦長最小，此時弦心距d＝eq\r(（2＋1）2＋（－3－0）2)＝3eq\r(2)，所以最小弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(25－18)＝2eq\r(7)，所以m－n＝10－2eq\r(7).【答案】A10．設(shè)直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B兩點，且弦AB的長為2eq\r(3)，則a＝________．【解析】圓心到直線的距離d＝eq\f(|a－2＋3|,\r(a2＋1))＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，解得a＝0.【答案】011．由直線y＝x＋1上的一點向圓x2－6x＋y2＋8＝0引切線，則切線長的最小值為________．【解析】切線長的最小值在直線y＝x＋1上的點與圓心距離最小時取得，圓心(3，0)到直線的距離為d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq\r(2)，圓的半徑為1，故切線長的最小值為eq\r(d2－r2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7).【答案】eq\r(7)12．(1)求圓x2＋y2＝10的切線方程，使得它經(jīng)過點M(2，eq\r(6))；(2)求圓x2＋y2＝4的切線方程，使得它經(jīng)過點Q(3，0)．【解】(1)∵點M的坐標(biāo)適合圓的方程，∴點M在圓x2＋y2＝10上，由題可知圓心為O(0，0)，則直線OM的斜率kOM＝eq\f(\r(6),2).∵圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，∴所求切線的斜率為k＝－eq\f(2,\r(6)).故經(jīng)過點M的切線方程為y－eq\r(6)＝－eq\f(2,\r(6))·(x－2)，整理得：2x＋eq\r(6)y－10＝0.(2)容易判斷點Q(3，0)在圓外．設(shè)切線的方程為y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，又圓的圓心為(0，0)，半徑為2，所以eq\f(|－3k|,\r(1＋k2))＝2.解得：k＝±eq\f(2\r(5),5).∴所求切線方程為：y＝±eq\f(2\r(5),5)(x－3)，即2eq\r(5)x＋5y－6eq\r(5)＝0或2eq\r(5)x－5y－6eq\r(5)＝0.13．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)求證不論m取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點；(2)求直線被圓C截得的弦長最小時的l的方程．(1)【證明】因為l的方程為(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))即l恒過定點A(3，1)．因為圓心為C(1，2)，所以|AC|＝eq\r(5)<5(半徑)，所以點A在圓C內(nèi)，從而直線l與圓C恒交于兩點．(2)【解】由題意可知弦長最小時，l⊥AC.因為kAC＝－eq\f(1,2)，所以l的斜率為2.又l過點A(3，1)，所以l的方程為2x－y－5＝0.2.5.2圓與圓的位置關(guān)系A(chǔ)組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．圓x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置關(guān)系是()A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【解析】圓C1：x2＋y2＝9的圓心為C1(0，0)，半徑r1＝3；圓C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化為(x－4)2＋(y＋3)2＝16，圓心為C2(4，－3)，半徑r2＝4，圓心距|C1C2|＝eq\r(42＋（－3）2)＝5.因為|r1－r2|＜|C1C2|＜3＋4＝r1＋r2，所以兩圓相交．【答案】B2．過兩圓x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交點的直線的方程是()A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．5x＋3y－2＝0D．不存在【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x＋4y＝0，①,x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，②))①－②得x＋y＋2＝0.【答案】A3．若圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9與圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，則實數(shù)m的值為()A．2 B．－5 C．2或－5 D．不確定【解析】兩圓的圓心分別為(－2，m)，(m，－1)，兩圓的半徑分別為3，2，由題意得eq\r(（m＋2）2＋（－1－m）2)＝3＋2，解得m＝2或－5.【答案】C4．已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點，則線段AB的中垂線方程為________．【解析】∵圓C1的圓心為C1(3，0)，圓C2的圓心為C2(0，3)，∴直線C1C2的方程為x＋y－3＝0，AB的中垂線即直線C1C2，故其方程為x＋y－3＝0.【答案】x＋y－3＝05．圓C1：x2＋y2－2mx＋m2－4＝0與圓C2：x2＋y2＋2x－4my＋4m2－8＝0相交，則實數(shù)m的取值范圍是________．【解析】整理圓C1得(x－m)2＋y2＝4，整理圓C2得(x＋1)2＋(y－2m)2＝9，∴C1的圓心為(m，0)，半徑為2，圓C2的圓心為(－1，2m)，半徑為3.∵兩圓相交，∴圓心之間的距離小于兩圓半徑之和，大于兩圓半徑之差，即1<eq\r(（m＋1）2＋（2m）2)<5，解得：0<m<2或－eq\f(12,5)<m<－eq\f(2,5).【答案】(0，2)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，－\f(2,5)))6．求圓C1：x2＋y2－2x＝0和圓C2：x2＋y2＋4y＝0的圓心距|C1C2|，并確定圓C1和圓C2的位置關(guān)系．【解】∵圓C1：x2＋y2－2x＝0化為(x－1)2＋y2＝1，圓C2：x2＋y2＋4y＝0化為x2＋(y＋2)2＝4，∴圓C1，C2的圓心坐標(biāo)，半徑長分別為C1(1，0)，r1＝1；C2(0，－2)，r2＝2.|C1C2|＝eq\r(（1－0）2＋（0＋2）2)＝eq\r(5).又2－1<|C1C2|＝eq\r(5)<2＋1，故圓C1，C2的位置關(guān)系是相交．7．已知圓C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圓C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B兩點，求公共弦AB的長．【解】聯(lián)立方程，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－10x－10y＝0，,x2＋y2＋6x＋2y－40＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))∴兩個圓的交點是A(－2，6)，B(4，－2)，∴|AB|＝eq\r(（4＋2）2＋（－2－6）2)＝10.[B組-[素養(yǎng)提升]8．半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36【解析】由題意可設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－6)2＝36，由題意，得eq\r(a2＋9)＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.【答案】D9．設(shè)兩圓C1，C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(4，1)，則兩圓心的距離|C1C2|等于()A．4 B．4eq\r(2) C．8 D．8eq\r(2)【解析】因為兩圓C1，C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(4，1)，所以兩圓C1，C2的圓心都在y＝x上．設(shè)圓C1，C2的圓心坐標(biāo)分別為(x1，x1)，(x2，x2)，則(4－x1)2＋(1－x1)2＝xeq\o\al(2,1)，(4－x2)2＋(1－x2)2＝xeq\o\al(2,2)，即x1，x2是方程(x－4)2＋(x－1)2＝x2的兩根．即x1，x2是方程x2－10x＋17＝0的兩根．所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.所以|C1C2|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝8.【答案】C10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則實數(shù)k的最大值是________．【解析】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4，0)．由題意知(4，0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2，即eq\f(|4k－2|,\r(k2＋1))≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤eq\f(4,3).故實數(shù)k的最大值為eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)11．圓C1：x2＋y2－2x－8＝0與圓C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦長為________．【解析】圓C1與圓C2的公共弦所在直線l的方程為x－y＋1＝0，點C1(1，0)到直線l的距離d＝eq\f(|1－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\r(2)，圓C1的半徑r1＝3，圓C1和圓C2的公共弦長為2eq\r(req\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(32－（\r(2)）2)＝2eq\r(7).【答案】2eq\r(7)12．已知關(guān)于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若方程C表示圓，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若圓C與圓x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求實數(shù)m的值；(3)若圓C與直線l：x＋2y－4＝0相交于M，N兩點，且|MN|＝eq\f(4\r(5),5)，求實數(shù)m的值．【解】(1)把方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，配方得：(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，若方程C表示圓，則5－m>0，解得m<5；所以m的取值范圍為(－∞，5)．(2)把圓x2＋y2－8x－12y＋36＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：(x－4)2＋(y－6)2＝16，得到圓心坐標(biāo)為(4，6)，半徑為4，則兩圓心間的距離d＝eq\r(（4－1）2＋（6－2）2)＝5，因為兩圓的位置關(guān)系是外切，所以d＝R＋r即4＋eq\r(5－m)＝5，解得m＝4；(3)因為圓心C的坐標(biāo)為(1，2)，則圓心C到直線l的距離d＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，所以(eq\r(5－m))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|MN|))eq\s\up12(2)＋d2，即5－m＝1，解得m＝4.13．已知圓C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0.(1)試判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)直線l過點(6，3)與圓C1相交于A，B兩點，且|AB|＝2eq\r(6)，求直線l的方程．【解】(1)圓C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝10，其圓心為C1(2，1)，半徑等于eq\r(10)，C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝16，其圓心為C2(－1，1)為圓心，半徑等于4.由于兩圓的圓心距等于eq\r(32＋02)＝3，大于半徑之差而小于半徑之和，故兩個圓相交．(2)當(dāng)AB的斜率不存在時，直線l的方程為x＝6，此時直線l與圓C1相離，不滿足條件．當(dāng)AB的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－3＝k(x－6)，即kx－y＋3－6k＝0，由弦長公式可得圓心到直線l的距離d＝eq\r(10－6)＝2，再由點到直線的距離公式可得d＝2＝eq\f(|2k－1＋3－6k|,\r(k2＋1))，解得k＝0或k＝eq\f(4,3).故直線l的方程為y＝3或4x－3y－15＝0.2.5.3直線與圓的方程的應(yīng)用A組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，則實數(shù)k的取值范圍是()A．{－eq\r(2)} B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C．[－1，1) D．{k|k＝eq\r(2)或－1≤k＜1}【解析】由題意知，直線y＝x＋k與半圓x2＋y2＝1(y≥0)只有一個交點，結(jié)合圖形(圖略)易得－1≤k<1或k＝eq\r(2).【答案】D2．y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的面積是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4) C.eq\f(3π,2) D．π【解析】如圖，所求面積是圓x2＋y2＝4面積的eq\f(1,4).【答案】D3．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N兩點，且M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，則實數(shù)k＋m＝()A．－1 B．1 C．0 D．2【解析】由題意，可得∵直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N兩點，且M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，∴直線x＋2y＝0是線段MN的中垂線，得k·(－eq\f(1,2))＝－1，解之得k＝2，又圓方程為x2＋y2＋2x＋my－4＝0，圓心坐標(biāo)為(－1，－eq\f(m,2))，將(－1，－eq\f(m,2))代入x＋2y＝0，解得m＝－1，得k＋m＝1.故選B.【答案】B4．已知圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝9，過圓內(nèi)一點P(2，3)作弦，則最短弦長為________．【解析】當(dāng)P為弦的中點時，弦最短．∵圓(x－1)2＋(y－1)2＝9的圓心為(1，1)，半徑r＝3，圓心(1，1)與(2，3)點的距離d＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，∴所求最短的弦長為2eq\r(9－5)＝4.【答案】45．一束光線從點A(－2，2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長度是________．【解析】由題意可得圓心為C(2，3)，半徑為r＝1，點A關(guān)于x軸的對稱點為A′(－2，－2)，求得|A′C|＝eq\r(（2＋2）2＋（3＋2）2)＝eq\r(41)，則要求的最短路徑的長為|A′C|－r＝eq\r(41)－1.【答案】eq\r(41)－16．設(shè)有半徑長為3km的圓形村落，甲、乙兩人同時從村落中心出發(fā)，甲向東前進(jìn)而乙向北前進(jìn)，甲離開村后不久，改變前進(jìn)方向，斜著沿切于村落邊界的方向前進(jìn)，后來恰好與乙相遇．設(shè)甲、乙兩人的速度都一定，且其速度比為3∶1，問：甲、乙兩人在何處相遇？【解】如圖所示，以村落中心為坐標(biāo)原點，以東西方向為x軸，南北方向為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)甲向東走到D轉(zhuǎn)向到C恰好與乙相遇，CD所在直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度為v，則甲的速度為3v.依題意，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝3，,\f(\r(a2＋b2)＋a,3v)＝\f(b,v).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝3.75.))所以乙向北前進(jìn)3.75km時甲、乙兩人相遇．7．已知實數(shù)x，y滿足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求(1)eq\f(y,x)的最大值與最小值；(2)eq\r(（x－2）2＋y2)的最大值與最小值．【解】(1)設(shè)k＝eq\f(y,x)，則k表示圓上點P(x，y)與原點連線的斜率，直線OP的方程為y＝kx，當(dāng)直線OP與圓C相切時，斜率取得最值．由點C(3，3)到直線y＝kx的距離d＝eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝eq\r(6)，得k＝3±2eq\r(2)，即k＝3±2eq\r(2)時，直線OP與圓C相切，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\do7(max)＝3＋2eq\r(2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\do7(min)＝3－2eq\r(2).(2)代數(shù)式eq\r(（x－2）2＋y2)表示圓C上的點到定點(2，0)的距離，圓心(3，3)與定點(2，0)的距離為eq\r(（3－2）2＋32)＝eq\r(10)，又圓C的半徑是eq\r(6)，所以(eq\r(（x－2）2＋y2))max＝eq\r(10)＋eq\r(6)，(eq\r(（x－2）2＋y2))min＝eq\r