2023年-九年級數(shù)學中考復(fù)習-二次函數(shù)與角度關(guān)系綜合壓軸解答題-專題訓(xùn)練-

2023年春九年級數(shù)學中考復(fù)習《二次函數(shù)與角度關(guān)系綜合壓軸解答題》專題訓(xùn)練（附答案）1．如圖，拋物線y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知B（3，0）．（1）求m的值和直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）點P是拋物線上位于直線BC上方的一點，過點P作BC的垂線垂足為點G，求線段PG的最大值；（3）Q為拋物線上一點，若∠ACQ＝45°，請求出點Q的坐標．2．已知：平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+2x+c交y軸于A，交x軸正半軸于點B（c，0），連接AB，AB＝3．（1）如圖1，求該拋物線解析式；（2）如圖2，P為第一象限拋物線上一點，連接PA、PB，設(shè)P點橫坐標為t，△PAB的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接PO并延長至點E，交AB于點C，取x軸負半軸上一點D，連接DE、BE，若∠EBC＝∠DOE，2∠ECB+∠EDB＝180°，DE＝2，求P點坐標．3．在平面直角坐標系中，點O為坐標系的原點．拋物線y＝ax2+bx﹣8分別交x軸于點A（﹣4，0）、點B（8，0），交y軸于點C．（1）如圖1，求拋物線的解析式；（2）如圖2，點P為拋物線第二象限上的點，連接BP交y軸于點D，設(shè)點P的橫坐標為t，CD的長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，點F、N分別在BD、OA上，連接NF，且NF＝OD，點E在OC上，連接NE、FE，∠FNO+2∠BNE＝180°，點K在FN上，且EK＝FK．當∠FNO＝2∠KFE，BD＝2EK時，求點P坐標．4．如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于C（0，4）點．（1）求該拋物線的表達式；（2）點P是拋物線在第一象限上的點，連接AC，CP，AP，若△APC沿著直線AP翻折后點C的對應(yīng)點E恰好落在x軸上，求P點的坐標；（3）在拋物線對稱軸上是否存在點M，使得∠AMC是銳角？若存在，求出點M的縱坐標m的取值范圍；若不存在，請說明理由．5．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過點A（1，0），B（3，0），C（0，3），頂點為D．（1）求拋物線的解析式．（2）在BC下方的拋物線上是否存在點P，使△PBC面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的最大面積；若不存在，請說明理由．（3）在x軸下方拋物線上有一點Q，若∠QAB＝∠BCD，求點Q的坐標．6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（2，﹣3），與x軸負半軸交于點B，與y軸負半軸交于點C（0，﹣3），直線y＝﹣x+m經(jīng)過A、B兩點．（1）求拋物線的解析式．（2）觀察圖象，直接寫出不等式ax2+bx+c＜﹣x+m的解集．（3）在y軸上是否存在點D，使∠BDO＝∠OBA？如果存在，直接寫出點D的坐標；如果不存在，請說明理由．7．如圖，直角三角形的斜邊AB在x軸上，直角頂點在y軸正半軸上，已知A（﹣1，0），C（0，2），拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A，B，C．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖①，點P是y軸右側(cè)拋物線上一動點，若∠PCB＝∠ACO，求點P的坐標．（3）如圖②，點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接PA交BC于點E，交y軸于點F，連接PB．設(shè)△PBE，△CEF的面積分別為S1，S2，求S1﹣S2的最大值．8．如圖，拋物線y＝﹣與x軸交于點A（﹣6，0）、B，與y軸交于點C，拋物線的頂點坐標為（﹣2，8），連接AC、BC．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為AC上方拋物線上的點，過點P作PD⊥x軸于點D，交AC于點E，求PE的最大值；（3）在拋物線上是否存在一點M，使得∠ACM+∠OCB＝45°？若存在，求出直線CM與x軸的交點的坐標，若不存在，請說明理由．9．如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，已知A，C兩點坐標分別是A（1，0），C（0，﹣2），連接AC，BC．（1）求拋物線的表達式和AC所在直線的表達式；（2）將△ABC沿BC所在直線折疊，得到△DBC，點A的對應(yīng)點D是否落在拋物線的對稱軸上，若點D在對稱軸上，請求出點D的坐標；若點D不在對稱軸上，請說明理由；（3）點P是拋物線圖象上的一動點，當∠PCB＝∠ABC時，直接寫出點P的坐標．10．我們規(guī)定：關(guān)于x的反比例函數(shù)y＝稱為一次函數(shù)y＝ax+b的“次生函數(shù)”，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣（a+b）稱為一次函數(shù)y＝ax+b的“再生函數(shù)”．（1）按此規(guī)定：一次函數(shù)y＝x﹣3的“次生函數(shù)”為：，“再生函數(shù)”為：；（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)y＝x+b的“再生函數(shù)”的頂點在x軸上，求頂點坐標；（3）若一次函數(shù)y＝ax+b與其“次生函數(shù)”交于點（1，﹣2）、（4，﹣）兩點，其“再生函數(shù)”與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．①若點D（1，3），求∠CBD的正切值；②若點E在直線x＝1上，且在x軸的下方，當∠CBE＝45°時，求點E的坐標．11．已知：拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，點P為直線BC上方拋物線上任意一點．（1）求拋物線的解析式和點D的坐標；（2）如圖1，連PC、PO，PO交直線BC于點F，設(shè)＝k，求當k取最大值時點P的坐標，并求此時k的值；（3）如圖2，連接AP交y軸于點E，過點P作PQ⊥x軸于點Q，當∠APQ＝2∠ACO時，求直線AP的解析式．12．在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸負半軸于點A，交x軸正半軸于點B，交y軸于點C，OC＝2OA，OB＝OA．（1）如圖1，求拋物線解析式；（2）如圖2，點P在第一象限，點P在拋物線上，點P的橫坐標為t，連接AC，PA，PC，△PAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，不要求寫出自變量t的取值范圍；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BP并延長交直線AC于點D，點E在第二象限，連接CE，ED，CE∥AB，DE＝DB，點F在OC上，連接DF，若DB＝2DF，∠EDF＝2∠ACF，求S值．13．在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點A（0，3），與x軸的正半軸交于點B（5，0），點D在線段OB上，且OD＝1，聯(lián)結(jié)AD，將線段AD繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DE，過點E作直線l⊥x軸，垂足為H，交拋物線于點F．（1）求拋物線的表達式；（2）聯(lián)結(jié)DF，求cot∠EDF的值；（3）點P在直線l上，且∠EDP＝45°，求點P的坐標．14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，直線y＝x+4恰好經(jīng)過B、C兩點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）點D為第三象限拋物線上一點，連接BD，過點O作OE⊥BD，垂足為E，若OE＝2BE，求點D的坐標；（3）設(shè)F是拋物線上的一個動點，連結(jié)AC、AF，若∠BAF＝2∠ACB，求點F的坐標．15．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點D為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，作DE⊥x軸于點E，交BC于點F，過點F作BC的垂線與拋物線的對稱軸和y軸交于點G、H，設(shè)點D的橫坐標為m．①求DF+HF的最大值；②連接EG，若∠GEH＝45°時，求m的值．16．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點D為直線BC上方拋物線上一動點，連接AD，交BC于點E，求的最大值；（3）如圖2，點P為拋物線上一動點，是否存在點P，使得2∠PCB＝∠OCB，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．17．如圖，已知拋物線表達式為y＝ax2﹣ax﹣2a+1（a≠0），直線y＝x+與坐標軸交于點A，B．（1）若該拋物線過原點，求拋物線的表達式．（2）試說明無論a為何值，拋物線一定經(jīng)過兩個定點，并求出這兩個定點的坐標．點P為兩定點所在直線上的動點，當點P到點A的距離和到直線AB的距離之和最小時，求點P的坐標；（3）點N是拋物線上一動點，點M（﹣4，0），且∠NMA+∠OBA＝90°，若滿足條件的點N的個數(shù)恰好為3個，求a的值．18．如圖，邊長為5的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點M（0，4）為頂點的拋物線經(jīng)過點N（4，0），點P是拋物線MN段上一動點，過點P作PF⊥BC于點F，點E（0，3），連接PE、EF．（1）求拋物線的解析式；（2）當∠EPF＝60°，求點P的坐標；（3）求△PEF周長的取值范圍．19．如圖1，若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)且a＜0）與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），與y軸交于點C，拋物線的頂點為M，O是坐標原點．（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．①求此二次函數(shù)圖象的頂點M的坐標；②定義：若點G在某一個函數(shù)的圖象上，且點G的橫縱坐標相等，則稱點G為這個函數(shù)的“好點”．求證：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c有兩個不同的“好點”．（2）如圖2，連接MC，直線MC與x軸交于點P，滿足∠PCA＝∠PBC，且的面積為，求二次函數(shù)的表達式．20．如圖，平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+2圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，圖象對稱軸交x軸于D點．點P是線段OD上一動點，從O向D運動，H是射線BC上一點．（1）直接寫出A、B兩點的坐標：A（），B（）；（2）求直線BC的函數(shù)表達式；（3）如圖①，在P點運動過程中，若△OPC中有一個內(nèi)角等于∠HCA，求OP的長；（4）如圖②，點M（﹣3，）在二次函數(shù)圖象上，在P點開始運動的同時，點Q在拋物線對稱軸上從D點向上運動，Q點運動速度是P點運動速度的2倍，連接QM，則QM+CP的最小值為．參考答案1．解：（1）∵拋物線y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）經(jīng)過點B（3，0），∴9m+3（m2+3）﹣6m﹣9＝0，解得：m＝0（舍去）或m＝﹣1，∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x﹣3，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，故m的值為﹣1，直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝x﹣3；（2）如圖1，過點P作PH∥y軸交BC于點H，設(shè)P（t，﹣t2+4t﹣3），則H（t，t﹣3），∴PH＝﹣t2+4t﹣3﹣（t﹣3）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴∠BCO＝∠CBO＝45°，∵PH∥y軸，∴∠PHG＝∠BCO＝45°，∵PG⊥BC，∴∠PGH＝90°，∴PG＝PH?sin∠PHG＝（﹣t2+3t）×sin45°＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，∴當t＝時，PG的最大值為；（3）如圖2，在CB下方作∠BCE＝∠OCA，過點B作BE⊥CB，交射線CE于點E，過點E作EF⊥x軸于點F，連接CE交拋物線于點Q，則∠BFE＝∠CBE＝90°，∵∠CBO＝45°，∴∠EBF＝180°﹣∠CBE﹣∠CBO＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴BF＝EF＝BE，∵∠COA＝∠CBE＝90°，∠BCE＝∠OCA，∴tan∠BCE＝tan∠OCA，∴＝，在拋物線y＝﹣x2+4x﹣3中，令y＝0，得﹣x2+4x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），∴OA＝1，∵OC＝CB?cos∠BCO＝CB?cos45°＝CB，∴CB＝OC＝3，∴＝，∴BE＝，∴BF＝EF＝×＝1，∴OF＝OB+BF＝3+1＝4，∴E（4，﹣1），設(shè)直線CE的解析式為y＝ex+f，則，解得：，∴直線CE的解析式為y＝x﹣3，聯(lián)立方程組得，解得：，，∴點Q的坐標為（，﹣）．2．解：（1）把B（c，0）代入解析式得：﹣c2+2c+c＝0，解得：c＝0（舍去）或c＝3，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）過點P作x軸的垂線，交直線AB于點M，由（1）知，拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴點B（3，0），OB＝3，令x＝0，則A（0，3），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則M（t，﹣t+3），PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴S＝OB?PM＝×3×（﹣t2+3t）＝﹣t2+t；（3）作CH⊥BO于H，CM⊥CE交EB延長線于M，CN⊥CB交BD于N，EK⊥DO于K，連接EN，EH，設(shè)∠EBD＝α，∴∠EBC＝45°+α，∵∠DOE＝∠OEB+α，又∠EBC＝∠DOE，∴∠OEB＝45°，∴∠ECB＝180°﹣∠OEB﹣∠CBE＝90°﹣α，∵2∠ECB+∠EDB＝180°，∴2（90°﹣α）+∠EDB＝180°，∴∠EDB＝2α，∵∠NCB＝∠ECM＝90°，∴∠NCE＝∠MCB，∠CNB＝∠CBN＝45°，∠CEM＝∠M＝45°，∴CN＝CB，CE＝CM，∴△CEN≌△CBM（SAS），∴∠CEN＝∠M＝45°，∴∠NEB＝45°+45°＝90°，∵CH⊥NB，∴NH＝BH＝CH＝EH，∴∠EHD＝2∠HBE＝2α＝∠EDB，∴EH＝ED＝2＝BH＝CH，∴OH＝3﹣2＝1，OC＝，∴tan∠COH＝2，∴y＝2x，聯(lián)立y＝2x與y＝﹣x2+2x+3得x＝，∴y＝2，∴P（，2）．3．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣8分別交x軸于點A（﹣4，0）、點B（8，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣8；（2）過點P作PM⊥x軸于點M，如圖，∵點B（8，0），∴OB＝8．令x＝0，則y＝﹣8，∴C（0，﹣8）．∴OC＝8．∵PM⊥x軸，∴∠PMB＝90°＝∠BOD，∴PM∥OD，∴△BOD∽△BMP，∴，設(shè)P（t，t2﹣t﹣8），則PM＝t2﹣t﹣8，OM＝﹣t，則BM＝8﹣t，∴，∴OD＝﹣2t﹣8，∴d＝CD＝OD+OC＝﹣2t﹣8+8＝﹣2t，∴d與t的函數(shù)關(guān)系式為d＝﹣2t；（3）如圖2，在BN上取點Q，使NQ＝EQ，則∠QNE＝∠QEN，設(shè)BN與KE交于點T，設(shè)∠KFE＝α，∵EK＝FK．∴∠KEF＝∠KFE＝α，∴∠NKE＝∠KFE+∠KEF＝2α，∴∠FNO＝2∠KFE＝2α，∴∠FNO＝∠NKE＝2α，∴TN＝TK，∵∠FNO+2∠BNE＝180°，∠QNE＝∠QEN，∠QNE+∠QEN+∠NQE＝180°，∴∠FNO＝∠NQE＝2α，∴EQ∥FK，∴∠KEQ＝∠NKE＝2α，∠KFE＝∠QEF＝α，∴∠QET＝∠QEF+∠KEF＝2α＝∠NQE，∴QT＝TE，∵TN＝TK，∴QN＝EK＝KF，∴KF＝QE．在△KFE和△QFE中，，∴△KFE≌△QFE（SAS），∴KE＝QF．∴EQ＝FQ＝EK＝FK＝QN，∴四邊形KEQF是菱形．如圖3，延長FQ到M，使QM＝FQ，連接NM，EB，∴FQ＝QM＝NQ，∴∠QFN＝∠QNF，∠M＝∠QNM，∴∠FNQ+∠QNM＝90°，∴∠FKM＝90°．∵FM＝2FQ＝2EK，BD＝2EK，∴FM＝BD．在Rt△BOD和Rt△MNF中，，∴Rt△BOD≌Rt△MNF（HL），∴∠BDO＝∠MFN＝2α，∴∠FNB＝2α＝∠BDO．在△BOD和△BFN中，，∴△BOD≌△BFN（AAS），∴BD＝BN＝2EK＝2NQ，∠BFN＝∠BOD＝90°，∴Q是BN的中點．∴QF＝QE＝QB＝QN．∴點F，N，E，B四點在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上．∴∠NBE＝∠NFE＝α，∵BN⊥DE，∴∠DEB＝90°﹣α．∵∠BFN＝90°，∴∠FBN＝90°﹣∠FNB＝90°﹣2α．∴∠DBE＝∠FBN+∠EBN＝90°﹣α．∴∠DEB＝∠DBE．∴DE＝DB．∴DE＝DB＝NB．設(shè)以點Q為圓心，QB為半徑的圓的半徑為r，OD＝x，則DE＝DB＝NB＝2r，OE＝2r﹣x，ON＝BN﹣OB＝2r﹣8．∵OD2+OB2＝BD2，∴x2+82＝（2r）2．①∵BN是直徑，∴NE⊥BE，∵EO⊥BN．∴△ONE∽△OEB．∴．∴OE2＝ON?OB．∴（2r﹣x）2＝8（2r﹣8）．②將①②聯(lián)立組成方程組，解得：r＝5，x＝6．∴D（0，6）．設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，∴，解得：．∴直線BD的解析式為y＝x+6．∴．解得：，．∴點P（﹣7，）．4．解：（1）設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x+3）（x﹣4），把C（0，4）代入得：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，∴y＝（x+3）（x﹣4）＝﹣x2+x+4，故該拋物線的表達式y(tǒng)＝﹣x2+x+4；（2）如圖1，設(shè)AP與y軸交于點D（0，d），過點D作DF⊥AC于點F，由翻折得：∠PAC＝∠PAB，∵DO⊥AB，DF⊥AC，∴DO＝DF，即DO＝DF＝d，∵A（﹣3，0），C（0，4），O（0，0），∴OA＝3，OC＝4，CD＝4﹣d，由勾股定理得：AC＝＝＝5，∵sin∠ACO＝＝，∴＝，解得：d＝，∴D（0，），設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線AD的解析式為y＝x+，聯(lián)立方程組得，解得：，，∴P點的坐標為（，）；（3）存在點M，使得∠AMC是銳角．∵y＝﹣x2+x+4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝，如圖2，以AC為直徑作圓交直線x＝于點M1，M1，設(shè)M（，m），∵A（﹣3，0），C（0，4），則：AM2＝（﹣3﹣）2+（0﹣m）2＝m2+，CM2＝（﹣0）2+（m﹣4）2＝m2﹣8m+，AC2＝25，當∠AMC＝90°時，AM2+CM2＝AC2，∴m2++m2﹣8m+＝25，解得：m1＝，m2＝，設(shè)直線AC的解析式為y＝k′x+b′，則，解得：，∴y＝x+4，當x＝時，y＝×+4＝，當m＝時，點M在直線AC上，∠AMC不存在，當點M在圓外時，∠AMC＜90°，∴當m＜或m＞且m≠時，∠AMC是銳角．5．解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，3）代入得：3a＝3，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，故該拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3；（2）在BC下方的拋物線上存在點P，使△PBC面積最大.設(shè)P（m，m2﹣4m+3），過點P作PE∥y軸交BC于點E，如圖1，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，則，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，則E（m，﹣m+3），∴PE＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m，∴S△PBC＝×PE×OB＝×（﹣m2+3m）×3＝（m﹣）2+，∵＜0，∴當m＝時，S△PBC有最大值，最大面積為，此時點P的坐標為（，﹣）；（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴拋物線頂點D（2，﹣1），如圖2，過點D作DF⊥x軸于點F，連接BD，則∠BFD＝90°，F(xiàn)（2，0），BF＝DF＝1，∴△BDF是等腰直角三角形，∴∠DBF＝45°，BD＝，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠CBO＝45°，BC＝3，∴∠CBD＝∠CBO+∠DBF＝45°+45°＝90°，∴tan∠DCB＝＝＝，過點B在x軸下方作BK⊥x軸，使BK＝AB＝，連接AK交拋物線于另一點Q，則∠ABK＝90°，tan∠QAB＝＝，K（3，﹣），∴tan∠QAB＝tan∠DCB，∴∠QAB＝∠BCD，設(shè)直線AK的解析式為y＝ex+f，則，解得：，∴直線AK的解析式為y＝x+，聯(lián)立方程組得：，解得：，．∴Q（，﹣）．6．解：（1）直線y＝﹣x+m經(jīng)過A（2，﹣3）．代入得m＝﹣1．∴直線解析式為y＝﹣x﹣1．令y＝0時，則﹣x﹣1＝0，∴x＝﹣1，∴B（﹣1，0）．∵拋物線經(jīng)過A（2，﹣3）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3）三點，∴，解得，∴拋物線的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；（2）由圖象可得不等式ax2+bx+c＜﹣x+m的解集為﹣1＜x＜2；（3）過點A作AE⊥x軸于E，∵點A（2，﹣3），B（﹣1，0），∴BE＝3，AE＝3，∴tan∠OBA＝＝1，假設(shè)在y軸上存在點D，使∠BDO＝∠OBA，則tan∠BDO＝tan∠OBA＝＝1，∴OB＝OD，設(shè)點D（0，n）．若點D在y軸的正半軸上，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴OD＝OB＝n＝1．∴點D（0，1）；若點D在y軸的負半軸上，∵OD＝OB＝1，∴點D（0，﹣1）．故在y軸上存在點D．使∠BDO＝∠OBA，點D的坐標是（0，1）或（0，﹣1）．7．解：（1）如圖：∵∠ACB＝90°，∠BOC＝90°，∴∠OCB+∠ACO＝∠OCB+∠CBO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO，∴tan∠ACO＝tan∠CBO，∴，∵A（﹣1，0），C（0，2），∴OA＝1，OC＝2，∴，∴OB＝4，∴B（4，0），∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A，B，C．∴，解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）①點P在CB上方時，如圖：過點P作PM⊥x軸于M，∵∠PCB＝∠ACO，∠OCB+∠ACO＝90°，∴∠OCB+∠PCB＝90°，∵PM⊥x軸，∠COB＝90°，∴四邊形CMPC是矩形，∴PM＝2，∵點P是y軸右側(cè)拋物線y＝﹣x2+x+2上一點，∴2＝﹣x2+x+2，解得x＝3或0（舍去），∴點P的坐標為（3，2）；②點P在CB下方時，如圖：設(shè)PC與x軸交于點D，過點D作DE⊥BC于E，∵∠PCB＝∠ACO，∠ACO＝∠CBO，∴∠PCB＝∠CBO，∴CD＝BD，∵DE⊥BC，∴CE＝BE，∵B（4，0），C（0，2），∴BC＝＝2，∴CE＝BE＝，∵∠PCB＝∠ACO，∠CED＝∠COA＝90°，∴△CED∽△COA，∴，∴，∴DE＝，∴BD＝CD＝＝，∴OD＝4﹣＝，∴D（，0），設(shè)CD的解析式為y＝kx+2，∴k+2＝0，解得k＝﹣，∴CD的解析式為y＝﹣x+2，聯(lián)立y＝﹣x2+x+2得x＝或0（舍去），x＝時，y＝﹣x2+x+2＝﹣，∴點P的坐標為（，﹣）；綜上，點P的坐標為（3，2）或（，﹣）；3）設(shè)P（t，﹣t2+t+2），過點P作PN⊥x軸于N，∴PN∥OC，∵AB＝5，OC＝2，∴S△PAB＝（﹣t2+t+2）×5＝﹣t2+t+5，∵PN∥OC，∴，∴＝，∴OF＝﹣（t﹣4），∴S△AFO＝×1×[﹣（t﹣4）]＝﹣（t﹣4），且S△BOC＝×2×4＝4，∴S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AFO﹣S四邊形EFOB﹣（S△BOC﹣S四邊形EFOB）＝S△PAB﹣S△AFO﹣S△BOC＝﹣t2+t+5+（t﹣4）﹣4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣）2+，∴當t＝時，有S1﹣S2有最大值，S1﹣S2的最大值為．8．（1）解：∵拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點為（﹣2，8），∴拋物線為y＝﹣（x+2）2+8＝﹣（x2+4x+4）+8＝﹣x2﹣2x+6，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+6；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+6，∴點C坐標為（0，6），∵A（﹣6，0），設(shè)AC解析式為y＝kx+a，∴，解得，∴AC解析式為y＝x+6，設(shè)點P坐標為（m，﹣m2﹣2m+6），則點E坐標為（m，m+6），∵點P在AC上方的拋物線上，∴PE＝﹣m2﹣2m+6﹣（m+6）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+3）2+，∵﹣＜0，開口向下，∴當m＝3時，PE的最大值為；（3）存在，∵點C坐標為（0，6），A（﹣6，0），∴OA＝OC，∴△AOC為等腰直角三角形，∵拋物線的頂點坐標為（﹣2，8），∴A、B兩點關(guān)于x＝﹣2對稱，∴∠ACO＝45°，點B坐標為（2，0），①當∠ACM在∠ACO內(nèi)部且∠ACM+∠OCB＝45°時，令直線CM與x軸的交點為點F，∵∠ACM+∠MCO＝∠ACO＝45°，∠ACM+∠OCB＝45°，∴∠MCO＝∠OCB，又∵CO⊥BF，∴OF＝OB＝2，∴點F的坐標為（﹣2，0），∴直線CM與x軸的交點的坐標為（﹣2，0）；②當∠ACM在∠ACO外部，且∠ACM+∠OCB＝45°時，∵∠AOC＝45°，∠ACM+∠OCB＝45°，∴∠MCB＝90°，即過點C作BC的垂線與拋物線的交點即為點M，令直線CM與x軸的交點為點N（n，0），則在Rt△NCB中，有CN2+CB2＝NB2，∴n2+62+22+62＝（2﹣n）2，解得n＝﹣18，∴CM與x軸的交點N的坐標為（﹣18，0），綜上所述，直線CM與x軸的交點的坐標為（﹣2，0）或（﹣18，0）．9．解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A（1，0），C（0，﹣2）兩點，∴，解得：，∴拋物線的表達式為y＝x2+x﹣2，設(shè)直線AC的表達式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線AC的表達式為y＝2x﹣2；（2）點D不在拋物線的對稱軸上，理由是：∵拋物線的表達式為y＝x2+x﹣2，∴點B坐標為（﹣4，0）．∵OA＝1，OC＝2，∴＝．又∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB．∴∠ACO＝∠CBO．∴∠ACO+∠BCO＝∠OBC+∠BCO＝90°，∴AC⊥BC．∴將△ABC沿BC所在直線折疊，點D一定落在直線AC上，延長AC至D，使DC＝AC，過點D作DE⊥y軸交y軸于點E，如圖1．又∵∠ACO＝∠DCE，∴△ACO≌△DCE（AAS）．∴DE＝AO＝1，則點D橫坐標為﹣1，∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣．故點D不在拋物線的對稱軸上．（3）當點P在x軸下方時，如圖2，∵∠PCB＝∠ABC，∴CP∥AB，∴點P的縱坐標為﹣2，令y＝﹣2，得x2+x﹣2＝﹣2，解得：x＝0（舍去）或x＝﹣3，∴P1（﹣3，﹣2）；當點P在x軸上方時，如圖2，設(shè)CP交x軸于點G，設(shè)G（t，0），則OG＝﹣t，BG＝t+4，由勾股定理得：CG2＝OG2+OC2＝t2+4，∵∠PCB＝∠ABC，∴BG＝CG，即（t+4）2＝t2+4，解得：t＝﹣，∴G（﹣，0），設(shè)直線CG的解析式為y＝mx+n，則，解得：，∴直線CG的解析式為y＝﹣x﹣2，聯(lián)立方程組得，解得：，，∴P2（﹣，），綜上所述，點P的坐標為（﹣3，﹣2）或（﹣，）．10．解：（1）一次函數(shù)y＝x﹣3中，a＝1，b＝﹣3，∴一次函數(shù)y＝x﹣3的“次生函數(shù)”為：y＝＝﹣，“再生函數(shù)”為：y＝x2﹣3x﹣（1﹣3）＝x2﹣3x+2，故答案為：y＝﹣，y＝x2﹣3x+2；（2）∵關(guān)于x的一次函數(shù)y＝x+b的“再生函數(shù)”為：y＝x2+bx﹣（1+b），且頂點在x軸上，∴Δ＝b2﹣4[﹣（1+b）]＝0，∴b1＝b2＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴頂點坐標為（1，0）；（3）①∵一次函數(shù)y＝ax+b與其“次生函數(shù)”交于點（1，﹣2）、（4，﹣）兩點，∴，解得：，∴其“再生函數(shù)”為：y＝x2﹣x﹣（﹣）＝x2﹣x+2，當y＝0時，x2﹣x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝4，∴A（1，0），B（4，0），如圖1，當x＝0時，y＝2，∴C（0，2），∵D（1，3），∴CD2＝12+（3﹣2）2＝2，BD2＝（4﹣1）2+32＝18，BC2＝42+22＝20，∴CD2+BD2＝BC2，∴∠CDB＝90°，∴tan∠CBD＝＝＝；②如圖2，過點C作CF⊥BC于C，交BE的延長線于F，過點F作FM∥y軸，過點C作MN∥x軸，過點B作BN⊥MN于N，∵∠CBF＝45°，∴△CBF是等腰直角三角形，∴BC＝CF，∵∠BCN+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，∴∠BCN＝∠CFM，∵∠N＝∠M＝90°，∴△BNC≌△CMF（AAS），∴BN＝CM＝2，CN＝FM＝4，∴F（﹣2，﹣2），∵B（4，0），設(shè)直線BF的解析式為：y＝kx+n，∴，解得：，∴BF的解析式為：y＝x﹣，∵點E在直線x＝1上，∴點E的橫坐標為1，當x＝1時，y＝﹣1，∴E（1，﹣1）．11．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（2）令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，∴，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，過點P作PH∥y軸，交直線BC于點H，如圖，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則H（t，﹣t+3），∵P為直線BC上方拋物線上任意一點，∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∵PH∥y軸，∴△PFH∽△OFC，∴．∴＝k．∴k＝（﹣t2+3t）＝+t＝+，∵＜0，∴當t＝時k有最大值，此時點P的坐標為（，），∴當k取最大值時，點P的坐標為（，）；（3）∵PQ⊥x軸，CO⊥x軸，∴OC∥PQ，∴∠AEO＝∠APQ，∵∠AEO＝∠ACO+∠CAE，∴∠APQ＝∠ACO+∠CAE，∵∠APQ＝2∠ACO，∴∠ACO＝∠CAE．∴AE＝CE，設(shè)OE＝e，則CE＝AE＝3﹣e，∵OA2+OE2＝AE2，∴12+e2＝（3﹣e）2，解得：e＝，∴E（0，）．設(shè)直線AP的解析式為y＝cx+d，∴，解得：．∴直線AP的解析式為y＝x+．12．解：（1）令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∵OC＝2OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），∵OB＝OA，∴OB＝3，∴B（3，0），將點A、B代入y＝ax2+bx+4，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+4；（2）∵點P的橫坐標為t，∴P（t，﹣t2+t+4），過點P作PQ∥x軸交AC于Q，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝2x+4，∴Q（﹣t2+t，﹣t2+t+4），∴PQ＝t2+t，∴S＝×（t2+t）×4＝t2+t；（3）設(shè)D（m，2m+4），E（n，4），∴DB＝，DE＝，∵DE＝DB，∴＝，∴（m+5）2＝（m﹣n）2，∴n＝﹣5或2m﹣n＝﹣5，∵m＞0，n＜0，∴2m﹣n＞0，∴n＝﹣5，∴E（﹣5，4），∴CE＝5，∴BC＝5，∴BC＝CE，∴△DCE≌△DCB（SSS），∴∠DEC＝∠DBC，∠EDC＝∠BDC，延長DF交x軸于點N，過D作DM⊥x軸交于M，過D作DQ∥x軸，交y軸于點T，設(shè)∠DEC＝∠DBC＝α，∠CBA＝β，則∠QDE＝α，∠DBA＝α+β，∵BC＝AB＝5，∴∠CAB＝∠ACB＝，在Rt△AOC中，∠ACF＝90°﹣∠CAB＝，∵∠EDF＝2∠ACF，∴∠EDF＝2∠ACF＝β，∠QDE＝α，∵DQ∥x軸，∴∠QDN＝∠DNB＝∠QDE+∠EDF，∴∠DNB＝α+β＝∠DBA，∴DN＝DB，∵BD＝2DF，∴DF＝FN，∵∠DFT＝∠OFN，∠DTC＝∠FON，∴△DTC≌△NOF（AAS），∴DT＝ON＝m，∵OM＝DT＝m，∴OM＝ON＝m，MN＝2m，∵DN＝DB，DM⊥NB，∴M是BN的中點，∴BM＝MN，∴3﹣m＝2m，∴m＝1，∴D（1，6），由B（3，0），可得直線BD的解析式為y＝﹣3x+9，聯(lián)立，∴﹣x2+x+4＝﹣3x+9，解得x＝3（舍）或x＝，∴P（，），∴S＝t2+t＝．13．解：（1）把點A（0，3），點B（5，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3；（2）如圖：∵∠AOD＝∠ADE＝∠DHE＝90°，∴∠ADO+∠OAD＝90°，∠ADO+∠EDH＝90°，∴∠OAD＝∠EDH，∵AD＝DE，∴△OAD≌△HDE（AAS），∴EH＝OD＝1，DH＝OA＝3，∴E（4，1），∵過點E作直線l⊥x軸，垂足為H，交拋物線y＝﹣x2+x+3于點F．∴F（4，3），∴FH＝3，∴FH＝DH＝3，∵∠DHE＝90°，∴∠DFH＝45°，DF＝3，過點E作EK⊥DF于K，∵EF＝3﹣1＝2，∴KF＝KE＝，∴DK＝DF﹣KF＝2，在Rt△DKE中，cot∠EDF＝＝2；（3）①當點P在點E的上方時，∵∠EDP＝∠DFH＝45°，∠DEP是公共角，∴△EDF∽△EPD，∴，∴ED2＝EF?EP，設(shè)P（4，y），則EP＝y(tǒng)﹣1，又∵EF＝2，ED＝＝，∴10＝2（y﹣1），解得y＝6，∴點P的坐標為（4，6）；②當點P在點E的下方時，∵∠EDP＝∠DFP＝45°，∠DPF是公共角，∴△PED∽△PDF，∴，∴DP2＝PE?PF，設(shè)P（4，y），則EP＝1﹣y，F(xiàn)P＝3﹣y，DP＝，∴9+y2＝（1﹣y）（3﹣y），解得y＝﹣，∴點P的坐標為（4，﹣）；綜上所述，當∠EDP＝45°時，點P的坐標為（4，6）或（4，﹣）．14．解：（1）令y＝0，則x＝﹣4，∴B（﹣4，0），令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），將點B（﹣4，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c，∴，∴，∴y＝x2+5x+4；（2）過點D作DG⊥x軸于G，設(shè)D（t，t2+5t+4），∴OG＝﹣t，DG＝﹣t2﹣5t﹣4，∴BG＝4+t，∵OE⊥BE，∴∠BEO＝90°，∴tanB＝＝，∵OE＝2BE，∴＝2，∴DG＝2BG，∴﹣t2﹣5t﹣4＝2（4+t），解得：t1＝﹣3，t2＝﹣4（舍），∴D（﹣3，﹣2）；（3）設(shè)F（m，m2+5m+4），如圖2，過點A作AG⊥BC交于點G，在BC上截取HC＝HA，∵B（﹣4，0），C（0，4），∴OB＝OC，BC＝4，∴∠CBO＝45°，∵x2+5x+4＝0時，x＝﹣1或x＝﹣4，∴A（﹣1，0），∴AB＝4﹣1＝3，在Rt△ABG中，BG＝AG＝，∴CG＝4﹣＝，∵HC＝HA，∴∠GHA＝2∠ACB，在Rt△AGH中，HA2＝（CG﹣HA）2+AG2，∴HA2＝（﹣HA）2+，解得HA＝，∴HG＝﹣＝，∴tan∠GHA＝＝＝，∵∠BAF＝2∠ACB，∴∠BAF＝∠GHA，∴＝，解得m＝﹣1（舍）或m＝﹣或m＝﹣，∴F點坐標為（﹣，）或（﹣，﹣）．15．解：（1）由題意得，，∴，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖1，作FM⊥CH于M，∵點C（0，3），B（3，0），∴OC＝OB＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵HF⊥BC，DE⊥AB，∴∠CFH＝∠BEF＝90°，∴∠CHF＝90°﹣∠OCB＝45°，∠EFB＝90°﹣∠OBC＝45°，∴CF＝FH，EF＝BE＝3﹣m，∴CH＝2FM＝2m，CH＝，∵DF＝DE﹣EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+3m，∴DF+HF＝﹣m2+3m+2m＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，∴當m＝時，（DF+）最大＝；②如圖2，作FM⊥CH于M，作HN⊥拋物線的對稱軸：x＝1，可得：△GHN是等腰直角三角形，∴GH＝，∵OM＝EF＝BE＝3﹣m，HM＝FM＝m，∴OH＝HM﹣OM＝2m﹣3，∴EH2＝OE2+OH2＝m2+（2m﹣3）2＝5m2﹣12m+9，∵∠CFH＝90°，∠BFE＝45°，∴∠HFE＝45°，∴∠HEG＝∠HFE＝45°，∵∠EHG＝∠FHE，∴△EHG∽△FHE，∴＝，∴EH2＝GH?FH，∵GH＝，F(xiàn)H＝m，∴5m2﹣12m+9＝2m，∴m1＝1（舍去），m2＝，∴當∠GEF＝45°時，m＝．16．解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）．將C（0，3）代入得：﹣4a＝3，解得a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+3；（2）過點D作DG⊥x軸于點G，交BC于點F，過點A作AK⊥x軸交BC的延長線于點K，∴AK∥DG，∴△AKE∽△DFE，∴．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b1，∴，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，∵A（﹣1，0），∴y＝+3＝，∴AK＝，設(shè)D（m，﹣m2+m+3），則F（m，﹣m+3），∴DF＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∴＝＝﹣（m﹣2）2+．∴當m＝2時，有最大值，的最大值是；（3）①當點P在直線BQ下方時，如圖，設(shè)PC交x軸于點N，過點N作NM⊥x軸交直線BC于點M，∴MN∥y軸，∴∠MNC＝∠OCN，∵2∠PCB＝∠OCB，∴∠PCB＝∠OCN，∴∠PCB＝∠MNC，∴MN＝MC，設(shè)N（n，0），則M（n，﹣n+3），∴MN2＝MC2，即（﹣n+3）2＝n2+（﹣n+3﹣3）2，解得n＝﹣6（舍去）或，∴N（，0），∵C（0，3），∴直線CN的解析式為y＝﹣2x+3，聯(lián)立y＝﹣x2+x+3解得x＝0（舍去）或，x＝時，y＝﹣，∴點P的坐標為（，﹣）；②當點P在直線BC上方時，過點B作BQ⊥BC交直線P′C于點Q，過點Q作QH⊥x軸于點H，∴∠CBQ＝∠BHQ＝∠CON＝90°，∴∠QBH+∠OBC＝90°，∠QBH+∠HQB＝90°，∵∠HQB＝∠OBC，∴△HQB∽△OBC，∴，∵2∠P′CB＝∠OCB，∴∠P′CB＝∠OCN，∴△QCB∽△NCO，∴，∵B（4，0），C（0，3）．∴BC＝5，∴BQ＝，∴，∴BH＝，QH＝2，∴OH＝OB+BH＝，∴Q（，2），∴直線CQ的解析式為y＝﹣x+3，聯(lián)立y＝﹣x2+x+3解得x＝0（舍去）或，x＝時，y＝，∴點P的坐標為（，）；綜上所述，符合條件的點P的坐標是（，﹣）或（，）．17．解：（1）把（0，0）代入y＝ax2﹣ax﹣2a+1得：﹣2a+1＝0，解得a＝，∴拋物線的表達式為y＝x2﹣x；（2）∵y＝ax2﹣ax﹣2a+1＝a（x2﹣x﹣2）+1＝a（x﹣2）（x+1）+1，∴x＝2或x＝﹣1時，y＝1，即二次函數(shù)的圖象過兩定點C（2，1）和D（﹣1，1），∴直線CD為y＝1，CD∥x軸，在y＝x+中，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，），∴OA＝3，OB＝，AB＝＝，1如圖：作A關(guān)于直線y＝1的對稱點A′（﹣3，2），再過A′做AH⊥AB于H，交直線y＝1于點P，此時AP+PH＝A′H最小，設(shè)AA′交CD于點N，P（p，1），∴∠ANP＝∠AOB＝90°，AA′∥y軸，∴∠A′AH＝∠BAO，∴∠AA′H＝∠BAO，∴△A′PN∽△ABO，∴，∴，∴PN＝，∴點P的橫坐標為3﹣＝，此時點P的坐標為（﹣，1）；（3）如圖，∵∠NMA+∠OBA＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠NMA＝∠OAB，∴MN∥AB，∵直線AB：y＝x+，設(shè)直線MN為y＝x+m，∵點M（﹣4，0），∴﹣2+m＝0，解得m＝2，∴N在過點M且與直線AB平行的直線y＝x+2上，或在直線y＝﹣x﹣2上，由圖得a＞0，直線y＝x+2與拋物線y＝ax2﹣ax﹣2a+1總有兩個交點，∴當直線y＝﹣x﹣2與拋物線y＝ax2﹣ax﹣2a+1只有1個交點時即滿足題意，由ax2﹣ax﹣2a+1＝﹣x﹣2得：ax2+（﹣a）x+3﹣2a＝0，當Δ＝0，即（﹣a）2﹣4a（3﹣2a）