第九章 二元選擇模型

第九章二元選擇模型第一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四說(shuō)明在經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，被解釋變量通常被假定為連續(xù)變量。離散被解釋變量數(shù)據(jù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型（ModelswithDiscreteDependentVariables）和離散選擇模型(DCM,DiscreteChoiceModel)。二元選擇模型(BinaryChoiceModel)和多元選擇模型(MultipleChoiceModel)。本節(jié)只介紹二元選擇模型。第二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四離散選擇模型起源于Fechner于1860年進(jìn)行的動(dòng)物條件二元反射研究。1962年，Warner首次將它應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)研究領(lǐng)域，用以研究公共交通工具和私人交通工具的選擇問(wèn)題。70、80年代，離散選擇模型被普遍應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)布局、企業(yè)定點(diǎn)、交通問(wèn)題、就業(yè)問(wèn)題、購(gòu)買(mǎi)決策等經(jīng)濟(jì)決策領(lǐng)域的研究。模型的估計(jì)方法主要發(fā)展于80年代初期。第三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、二元離散選擇模型的經(jīng)濟(jì)背景第四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四實(shí)際經(jīng)濟(jì)生活中的二元選擇問(wèn)題研究選擇結(jié)果與影響因素之間的關(guān)系。影響因素包括兩部分：決策者的屬性和備選方案的屬性。對(duì)于單個(gè)方案的取舍。例如，購(gòu)買(mǎi)者對(duì)某種商品的購(gòu)買(mǎi)決策問(wèn)題，求職者對(duì)某種職業(yè)的選擇問(wèn)題，投票人對(duì)某候選人的投票決策，銀行對(duì)某客戶(hù)的貸款決策。由決策者的屬性決定。對(duì)于兩個(gè)方案的選擇。例如，兩種出行方式的選擇，兩種商品的選擇。由決策者的屬性和備選方案的屬性共同決定。第五頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、二元離散選擇模型第六頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四1.線性概率(LPM)模型假設(shè)有以下二元選擇模型：

(9.1) 其中，Xi是包含常數(shù)項(xiàng)的k元解釋變量，假設(shè)在給定Xi的時(shí)候，Yi=1的概率為p，即，則在給定Xi的時(shí)候，Yi=0的概率為1-p，即。第七頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四當(dāng)(9.1)式滿足時(shí)，

(9.2)

另外，因?yàn)閅i只取1和0兩個(gè)值，其條件期望為

(9.3)

綜合(9.2)式和(9.3)式得：

(9.4)第八頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四因此，(9.1)式擬合的是當(dāng)給定解釋變量Xi的值時(shí)，某事件發(fā)生（即Yi取值為1）的平均概率。在(9.4)式中，這一概率體現(xiàn)為線性的形式，因此(9.1)式稱(chēng)為線性概率模型（LinearProbabilityModel，LPM）。對(duì)于線性概率模型，可以采用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，但是會(huì)存在一些問(wèn)題。常見(jiàn)的問(wèn)題和相應(yīng)的解決方法如下：

第九頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四(1)對(duì)(9.1)式的擬合的結(jié)果是對(duì)某一事件發(fā)生的平均概率的預(yù)測(cè)，即但是，的值并不能保證在0和1之間，完全有可能出現(xiàn)大于1和小于0的情形。實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)出現(xiàn)的預(yù)測(cè)值大于1或小于0的情況不是太多時(shí)，如果預(yù)測(cè)值大于1，就把它看作是等于1，如果預(yù)測(cè)值小于0，就把它看作是等于0.第十頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四(2)由于Y是二元變量，因此擾動(dòng)項(xiàng) 也應(yīng)該是二元變量，它應(yīng)該服從二項(xiàng)分布，而不是我們通常假定的正態(tài)分布。但是，當(dāng)樣本足夠多時(shí)，二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布。第十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四(3)在LPM中，擾動(dòng)項(xiàng)的方差為： 因此，擾動(dòng)項(xiàng)是異方差的。為了克服異方差，可以采用處理異方差的方法去估計(jì)模型。第十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四(4)由于因變量是二元選擇的結(jié)果，因此按傳統(tǒng)線性回歸模型所計(jì)算的判定系數(shù)R2不再有實(shí)際的意義?？梢远x

當(dāng)Y的實(shí)際預(yù)測(cè)的值大于0.5時(shí)，我們視其預(yù)測(cè)值為1；當(dāng)小于0.5時(shí)，視其預(yù)測(cè)值為0。然后比較預(yù)測(cè)值與實(shí)際值是否存在差異，如果不存在差異，則認(rèn)為是正確的預(yù)測(cè)。然后將正確的預(yù)測(cè)的個(gè)數(shù)與總預(yù)測(cè)個(gè)數(shù)比較，得到一個(gè)新的擬合優(yōu)度的指標(biāo)。第十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四(5)邊際效應(yīng)的分析對(duì)LPM進(jìn)行邊際效應(yīng)分析得：因此，當(dāng)解釋變量是非虛擬變量時(shí)，表示的是解釋變量變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)對(duì)Y取值為1的平均概率的影響。如果解釋變量是虛擬變量，則表示的是虛擬解釋變量取值為1和取值為0時(shí)，Y的取值為1的概率的差異。因此，LPM的邊際效應(yīng)是一個(gè)常數(shù)，它與解釋變量取值的大小無(wú)關(guān)。第十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四在LPM中，假設(shè)Yi=1的概率是線性的，也就是假設(shè) 中的函數(shù)F為恒等函數(shù)，即 但是，不能保證概率的取值在0和1之間。第十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)

第十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四邏輯分布的概率分布函數(shù)

第十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四如果將函數(shù)F定義為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，即 會(huì)把概率的取值限定在0和1之間，這時(shí)的概率模型稱(chēng)為Probit模型。第十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四如果將函數(shù)F定義為L(zhǎng)ogistic分布函數(shù)，則產(chǎn)生的概率模型為L(zhǎng)ogit模型： 同樣，也將概率的取值限定在0和1之間。第十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.Probit模型考察以下模型

(9.6)

其中，Yi*是潛變量或隱變量(LatentVariable)，它無(wú)法獲得實(shí)際觀測(cè)值，但是卻可以觀測(cè)到它的性狀，如Yi*>0或Yi*≤0。因此，我們實(shí)際上觀測(cè)到的變量是Yi而不是Yi*。(9.6)式稱(chēng)為潛變量反應(yīng)函數(shù)（LatentResponseFunction）或指示函數(shù)(IndexFunction)。第二十頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四一般假設(shè)：

A1：；

A2：是i.i.d.的正態(tài)或Logistic分布；

A3：。在A1—A3的假定之下，考察(9.6)式中Yi的概率特征：(9.7)第二十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四當(dāng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù) 時(shí)，(9.7)式可以寫(xiě)成：

(9.8)

這樣，(9.8)式正是Probit模型。第二十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.Logit模型當(dāng)(9.7)式中的是Logistic的概率密度函數(shù)時(shí)，(9.7)式可以進(jìn)一步表達(dá)為

(9.9)

(9.9)式正是Logit模型。第二十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四邊際效應(yīng)分析對(duì)于Probit模型來(lái)說(shuō)，其邊際效應(yīng)為：

(9.10)對(duì)于Logit模型，其邊際效應(yīng)為：

(9.11)

其中，。第二十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四從(9.10)式和(9.11)式中可以看到，Probit和Logit模型中解釋變量對(duì)Yi取值為1的概率的邊際影響不是常數(shù)，它會(huì)隨著解釋變量取值的變化而變化。對(duì)于非虛擬的解釋變量，一般是用其樣本均值代入到(9.10)式和(9.11)式中，估計(jì)出平均的邊際影響。但是，對(duì)于虛擬解釋變量而言，則需要先分別計(jì)算其取值為1和0時(shí)的值，二者的差即為虛擬解釋變量的邊際影響。第二十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四最大似然估計(jì)（MLE）Probit和Logit模型都是非線性模型，不能用OLS法估計(jì)。對(duì)于非線性模型的估計(jì)方法之一是最大似然法。 對(duì)于Probit或Logit模型來(lái)說(shuō)，第二十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四所以似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

(9.12)第二十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四最大化logL的一階條件為

(9.13)由于(9.13)式不存在封閉解，所以要用非線性求解的迭代法求解。常用的迭代方法之一是建立在泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)基礎(chǔ)上的Newton-Raphson迭代法或二次攀峰算法（QuadraticHillClimbing）。第二十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四似然比檢驗(yàn)和擬合優(yōu)度似然比檢驗(yàn)類(lèi)似于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w顯著性的F檢驗(yàn),

原假設(shè)為全部解釋變量的系數(shù)都為0，檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量LR為：

(9.14)其中，lnL為對(duì)概率模型進(jìn)行MLE估計(jì)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值，lnL0為估計(jì)只有截距項(xiàng)的模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值。當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，LR的漸近分布是自由度為k-1（即除截距項(xiàng)外的解釋變量的個(gè)數(shù)）的分布。第二十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)于Probit和Logit模型，同樣可以計(jì)算(9.5)式中的以反映模型的擬合優(yōu)度。此外，還可以計(jì)算類(lèi)似于傳統(tǒng)R2的McFadden似然比指數(shù)(McFadden’sLikelihoodRatioIndex)來(lái)度量擬合優(yōu)度。似然比指數(shù)的定義為(9.15) McFaddenR2總是介于0和1之間。當(dāng)所有的斜率系數(shù)都為0時(shí)，McFaddenR2=0，但是，McFaddenR2不會(huì)恰好等于1。McFaddenR2越大，表明擬合得越好。第三十頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四例

貸款決策模型分析與建模：某商業(yè)銀行從歷史貸款客戶(hù)中隨機(jī)抽取78個(gè)樣本，根據(jù)設(shè)計(jì)的指標(biāo)體系分別計(jì)算它們的“商業(yè)信用支持度”（CC）和“市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)地位等級(jí)”（CM），對(duì)它們貸款的結(jié)果（JG）采用二元離散變量，1表示貸款成功，0表示貸款失敗。目的是研究JG與CC、CM之間的關(guān)系，并為正確貸款決策提供支持。第三十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四樣本觀測(cè)值CC=XYCM=SC第三十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四該方程表示，當(dāng)CC和CM已知時(shí)，代入方程，可以計(jì)算貸款成功的概率JGF。例如，將表中第19個(gè)樣本觀測(cè)值CC=15、CM=－1代入方程右邊，計(jì)算括號(hào)內(nèi)的值為0.1326552；查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對(duì)應(yīng)于0.1326552的累積正態(tài)分布為0.5517；于是，JG的預(yù)測(cè)值JGF=1－0.5517=0.4483，即對(duì)應(yīng)于該客戶(hù)，貸款成功的概率為0.4483。輸出的估計(jì)結(jié)果第三十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四模擬預(yù)測(cè)第三十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四預(yù)測(cè)：如果有一個(gè)新客戶(hù)，根據(jù)客戶(hù)資料，計(jì)算的“商業(yè)信用支持度”（XY）和“市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)地位等級(jí)”（SC），代入模型，就可以得到貸款成功的概率，以此決定是否給予貸款。第三十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四3、重復(fù)觀測(cè)值可以得到情況下二元Probit離散選擇模型的參數(shù)估計(jì)

對(duì)每個(gè)決策者有多個(gè)重復(fù)（例如10次左右）觀測(cè)值。對(duì)第i個(gè)決策者重復(fù)觀測(cè)ni次，選擇yi=1的次數(shù)比例為pi，那么可以將pi作為真實(shí)概率Pi的一個(gè)估計(jì)量。建立“概率單位模型”，采用廣義最小二乘法估計(jì)。實(shí)際中并不常用。第三十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四B?rsch-Supan于1987年指出:

如果選擇是按照效用最大化而進(jìn)行的，具有極限值的邏輯分布是較好的選擇，這種情況下的二元選擇模型應(yīng)該采用Logit模型。

第三十九