第二章數(shù)學(xué)工具

第二章數(shù)學(xué)工具第一頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.1母函數(shù)定義：設(shè)為數(shù)列u的指數(shù)型母函數(shù)，簡(jiǎn)稱指母函數(shù)是一無限數(shù)列，則形式冪級(jí)數(shù)為數(shù)列u的普通型母函數(shù)，簡(jiǎn)稱普母函數(shù)或母函數(shù)；而稱形式冪級(jí)數(shù)相等：第二頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四母函數(shù)分別叫做數(shù)乘法，加法，乘法，將全體形式冪級(jí)數(shù)所組成的集記為的數(shù)乘定義定義：數(shù)對(duì)形式冪級(jí)數(shù)形式冪級(jí)數(shù)和相加、相乘的指母函數(shù)對(duì)于指母函數(shù)為數(shù)列第三頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四母函數(shù)則Blissard記號(hào)：記

注意：第四頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四母函數(shù)例例1：則例2：和適合,則例3：若有一克砝碼3枚，兩克砝碼4枚，四克砝碼2枚，問可稱出哪些重量？各有幾種稱法？第五頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四又例：例：設(shè)有1，2，4，8，16，32克砝碼各一個(gè)，則可稱出1~63克中每一個(gè)質(zhì)量，并且稱法唯一。第六頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.2遞歸關(guān)系求解稱為邊界條件。定義：設(shè)是函數(shù)，如果對(duì)一切，均有成立，則稱該式為函數(shù)的遞歸關(guān)系，并將第七頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四兩個(gè)例子例2

在n位十進(jìn)制正整數(shù)中，含有偶數(shù)個(gè)5的數(shù)有多少個(gè)？反應(yīng)器中有一個(gè)α粒子，求r秒時(shí)反應(yīng)器中α粒子和β粒子的數(shù)目。例1．

一個(gè)反應(yīng)器中有兩類粒子，設(shè)每秒鐘一個(gè)α粒子分裂成3個(gè)β粒子，而每秒鐘一個(gè)β粒子分裂成一個(gè)α粒子和兩個(gè)β粒子。假如在第八頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1解答例1解：設(shè)r秒時(shí)反應(yīng)器中α粒子和β粒子的數(shù)目分別為遞歸關(guān)系，則有邊界條件和。第九頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2解：在n位十進(jìn)制正整數(shù)中，含有偶數(shù)個(gè)5的有個(gè)，而含有奇數(shù)個(gè)5的有個(gè)。對(duì)于，位十進(jìn)制數(shù)共有個(gè)（最高位不為0），故邊界條件：例2解答n=2:奇數(shù)個(gè)515,25,35,45,55,65,75,85,9550,51,52,53,54,55,56,57,58,59第十頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四K階常系數(shù)線性遞歸關(guān)系不為0；當(dāng)常系數(shù)線性遞歸關(guān)系其中為常數(shù)，并且時(shí)，稱它為K階常系數(shù)線性齊次遞歸方程第十一頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四齊次方程其特征方程為：引理1：若是上式的r重根，則對(duì)每個(gè)是遞歸關(guān)系的一個(gè)解。是特征方程的個(gè)不同的根，其重?cái)?shù)分別為，則是遞歸方程的一個(gè)通解，其中為常數(shù)，可由邊界條件確定。定理：設(shè)齊次方程第十二頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四非齊次方程特解為冪級(jí)數(shù)形式（2）為指數(shù)函數(shù)類型A。若a不為其特征根，則特解為若a為r重特征根，則特解為（1）非齊次方程特解第十三頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四聯(lián)系常系數(shù)微分第十四頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四例：Fibnoacci數(shù)列