第九講對(duì)應(yīng)分析

第九講對(duì)應(yīng)分析第一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)應(yīng)分析(correspondenceanalysis)是用于尋求列聯(lián)表的行和列之間聯(lián)系的一種低維圖形表示法，它可以從直覺(jué)上揭示出同一分類(lèi)變量的各個(gè)類(lèi)別之間的差異，以及不同分類(lèi)變量各個(gè)類(lèi)別之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在對(duì)應(yīng)分析中，列聯(lián)表的每一行對(duì)應(yīng)（通常是二維）圖中的一點(diǎn)，每一列也對(duì)應(yīng)同一圖中的一點(diǎn)。本質(zhì)上，這些點(diǎn)都是列聯(lián)表的各行各列向一個(gè)二維歐式空間的投影，這種投影最大限度地保持了各行（或各列）之間的關(guān)系。對(duì)應(yīng)分析是由法國(guó)人Benzecri于1970年提出的，起初在法國(guó)和日本最為流行，然后引入美國(guó)。第二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

中美純水有限公司欲為其新推出的一種純水產(chǎn)品起一個(gè)合適的名字，為此專(zhuān)門(mén)委托了當(dāng)?shù)氐牟邉澴稍?xún)公司，取了一個(gè)名字“波瀾”。一個(gè)好的名字至少應(yīng)該滿(mǎn)足兩個(gè)條件：

1）會(huì)使消費(fèi)者聯(lián)想到正確的產(chǎn)品“純水”；

2）會(huì)使消費(fèi)者產(chǎn)生與正確產(chǎn)品密切相關(guān)的聯(lián)想，如“純凈”、“清爽”等。后來(lái)中美純水有限公司委托調(diào)查統(tǒng)計(jì)研究所，進(jìn)行了一次全面的市場(chǎng)研究，在調(diào)查中還包括簡(jiǎn)單的名稱(chēng)測(cè)試。調(diào)查的代碼和含義如下：起名為“波瀾”恰當(dāng)嗎第三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四代碼含義代碼含義代碼含義Name1玉泉Product1雪糕Feel1清爽Name2雪源Product2純水Feel2甘甜Name3春溪Product3碳酸飲料Feel3歡快Name4期望Product4果汁飲料Feel4純凈Name5波瀾Product5保健食品Feel5安閑Name6天山綠Product6空調(diào)Feel6個(gè)性Name7中美純Product7洗衣機(jī)Feel7興奮Name8雪浪花Product8毛毯Feel8高檔第四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)應(yīng)分析圖Dimensionl第六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

由直觀圖可以看出，“波瀾”（Name5）與“洗衣機(jī)”（Product7）產(chǎn)品相聯(lián)系，引起的感覺(jué)是“興奮”，因此“波瀾”不是合適的純凈水品牌名稱(chēng)。中美純水公司的產(chǎn)品是“純水”（Product2），如果想要使該名稱(chēng)給人們一種“純凈”（Feel4）的感覺(jué)，那么“中美純”（Name7）將是最好的商品名稱(chēng)。如果想要使該名稱(chēng)給人們一種“清爽”（Feel1）的感覺(jué)，那么“玉泉”（Name1）將是最好的商品名稱(chēng)。第七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四產(chǎn)地

1='American'

2='Japanese'

3='European';轎車(chē)的尺寸

1='Small'

2='Medium'

3='Large';車(chē)型

1='Family'

2='Sporty'

3='Work';擁有方式

1='Own'

2='Rent';車(chē)主的性別

1='Male'

2='Female';收入

1='1Income'

2='2Incomes';婚姻狀況

1='SinglewithKids'

2='MarriedwithKids'

3='Single'

4='Married';車(chē)主的車(chē)型及車(chē)主特征第八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

從對(duì)應(yīng)圖可以看出，已婚帶孩子和擁有美國(guó)車(chē)存在一定的關(guān)系；單身與日本車(chē)有關(guān)系。第十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

圖中的右上象限表明“單身”、“租用的”、“一項(xiàng)收入”和“單身帶孩子”有關(guān)系；在右下象限“跑車(chē)”、“小型”和“日本車(chē)”有關(guān)；在左下象限表明“已婚”、“自己的”、“兩項(xiàng)收入”和“女性”有關(guān)系；左上象限表明“已婚帶孩子”、和擁有一輛“大型”“美國(guó)”產(chǎn)“家用車(chē)”相對(duì)應(yīng)。這些信息對(duì)于市場(chǎng)調(diào)研部門(mén)確定廣告的宣傳對(duì)象很有用。第十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§7.1

列聯(lián)表及列聯(lián)表分析一、列聯(lián)表二、對(duì)應(yīng)矩陣三、行、列輪廓第十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四列聯(lián)表(contingencytable)：綜合了兩個(gè)變量的聯(lián)合分布表，同時(shí)匯總兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)的方法。又稱(chēng)交叉分組表（crosstabulation)家庭狀況青少年行為犯罪未犯罪破裂14645和好334499第十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、列聯(lián)表第十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

其中，是第行、第列類(lèi)別組合的頻數(shù)，；

為第行的頻數(shù)之和，；為第列的頻數(shù)之和，；

為所有類(lèi)別組合的頻數(shù)總和。第十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、對(duì)應(yīng)矩陣這里，顯然有第十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四稱(chēng) 為對(duì)應(yīng)矩陣。將對(duì)應(yīng)矩陣表中的最后一列用表示，即其中是元素均為1的維向量，最后一行用表示，即

其中是元素均為1的維向量，向量和的元素有時(shí)稱(chēng)為行和列密度（masses）。第十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、行、列獨(dú)立的檢驗(yàn)在列聯(lián)表中，檢驗(yàn)行變量和列變量相互獨(dú)立假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量為

當(dāng)獨(dú)立性的原假設(shè)為真，且樣本容量充分大，期望頻數(shù)時(shí)，近似服從自由度為的卡方分布。拒絕規(guī)則為若，則拒絕獨(dú)立性的原假設(shè)，其中是的上分位點(diǎn)。第二十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

例某醫(yī)師研究用蘭芩口服液與銀黃口服液治療慢性咽炎療效有無(wú)差別，將病情相似的80名患者隨機(jī)分成兩組，分別用兩種藥物治療，第二十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四藥物療效合計(jì)有效無(wú)效蘭芩口服液41(36.56)4(8.44)45(固定值)銀黃口服液24(28.44)11(6.56)35(固定值)合計(jì)651580慢性咽炎兩種藥物療效資料第二十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四處理屬性合計(jì)陽(yáng)性陰性1組A11(T11)A12(T12)n1(固定值)2組A21(T21)A22(T22)n2(固定值)合計(jì)m1m2n完全隨機(jī)設(shè)計(jì)下兩組頻數(shù)分布的四格表第二十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四建立檢驗(yàn)假設(shè)并確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0:兩藥的有效概率相同，π1=π2H1:兩藥的有效概率不同，π1≠π2α=0.052.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：H0成立時(shí)，兩組有效概率相同，均近似地等于合并估計(jì)的有效概率，由此得到四格表中每一格的理論數(shù)，第二十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四自由度為：ν=(行數(shù)-1)(列數(shù)-1)=(2-1)(2-1)=13.確定P值查附表84.結(jié)論：按α=0.05水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，兩樣本頻率的差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。可以認(rèn)為，蘭芩口服液和銀黃口服液的總體有效概率不同。前者(91.1%)高于后者(68.6%).第二十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§7.2對(duì)應(yīng)分析的基本理論

一、有關(guān)概念二、對(duì)應(yīng)分析的基本理論第二十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四1、行、列輪廓第行輪廓：其各元素之和等于1，即。第列輪廓：其各元素之和等于1，即。第二十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四行輪廓矩陣

其中。第二十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四列輪廓矩陣

其中。第二十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

可見(jiàn)，可以表示成各列輪廓的加權(quán)平均。類(lèi)似地，即可以表示成各行輪廓的加權(quán)平均。第三十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例將由個(gè)人組成的樣本按心理健康狀況與社會(huì)經(jīng)濟(jì)狀況進(jìn)行交叉分類(lèi)，分類(lèi)結(jié)果見(jiàn)表9.1.3。第三十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

將表9.1.3中的數(shù)據(jù)除以，得到對(duì)應(yīng)矩陣，列于表9.1.4中。表9.1.4給出的行密度和列密度向量為第三十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

行輪廓矩陣為

列輪廓矩陣為第三十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四兩個(gè)馬賽克圖

對(duì)心理健康的每一種狀況，A、B、C、D、E五個(gè)小方塊的寬度顯示了行輪廓，0、1、2、3四種心理健康狀況的小方塊高度顯示了行密度。

第三十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的每一種狀況，0、1、2、3四個(gè)小方塊的高度顯示了列輪廓，A、B、C、D、E五種社會(huì)經(jīng)濟(jì)狀況的小方塊寬度顯示了列密度。第三十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四2、行（列）點(diǎn)之間的距離如果兩個(gè)行（列）點(diǎn)接近，則表明相應(yīng)的兩個(gè)行（列）輪廓是類(lèi)似的；反之，如果兩個(gè)行（列）點(diǎn)遠(yuǎn)離，則表明相應(yīng)的兩個(gè)行（列）輪廓是非常不同的。因此，引入距離來(lái)分別描述各種狀態(tài)之間的接近程度。需要指出的是，行點(diǎn)與列點(diǎn)之間并沒(méi)有直接的距離關(guān)系。第三十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

將每一行視為P維空間中的一個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)樣本點(diǎn)的坐標(biāo)是個(gè)變量在該樣本點(diǎn)的相對(duì)比例。經(jīng)過(guò)這個(gè)變換后對(duì)n個(gè)樣本的研究就變成了對(duì)n個(gè)樣本點(diǎn)的相對(duì)關(guān)系的研究。這里只對(duì)行做詳細(xì)說(shuō)明第三十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

任意兩個(gè)樣本與之間的距離：消除變量的數(shù)量級(jí)加權(quán)距離第三十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

等價(jià)于我們有了一個(gè)新的矩陣：第三十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

類(lèi)似的，可將p個(gè)變量看成n為空間的點(diǎn)，按照同樣的方法即可得到兩個(gè)變量間的加權(quán)距離：第四十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四也即是等價(jià)于我們有了一個(gè)新的矩陣：第四十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四3、總慣量

總慣量還可以行輪廓和列輪廓的形式表達(dá)如下：第四十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

稱(chēng)為第行輪廓到行輪廓中心的卡方（）距離，它可看作是一個(gè)加權(quán)的平方歐氏距離。同樣，是第列輪廓到列輪廓中心的卡方距離。故總慣量可看成是行輪廓到其中心的卡方距離的加權(quán)平均，也可看成是列輪廓到其中心的卡方距離的加權(quán)平均。它既度量了行輪廓之間的總變差，也度量了列輪廓之間的總變差。其中第四十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)應(yīng)分析就是在總慣量信息損失最小的前提下，簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以反映量屬性變量之間的相關(guān)系數(shù)。實(shí)際上，總慣量的概念類(lèi)似于主成分分析或因子分析中總方差總和的概念。第四十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四？樣本與變量間的關(guān)系

要通過(guò)樣本來(lái)獲得變量的觀測(cè)值，反之又要通過(guò)變量來(lái)對(duì)樣本進(jìn)行刻畫(huà)和解釋。

3、對(duì)應(yīng)分析的基本理論第四十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

對(duì)應(yīng)分析是將R型因子分析與Q型因子分析結(jié)合起來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的統(tǒng)計(jì)方法。

對(duì)變量進(jìn)行因子分析稱(chēng)R型因子分析，對(duì)樣本進(jìn)行因子分析稱(chēng)Q型因子分析

對(duì)應(yīng)分析從R型因子分析出發(fā)，而直接獲得Q型因子的分析結(jié)果。

根據(jù)R型和Q型分析的內(nèi)在聯(lián)系，將變量和指標(biāo)同時(shí)反映到相同坐標(biāo)軸的一張圖形上，旨在以簡(jiǎn)潔、明了的方式揭示屬性變量之間及屬性變量各種狀態(tài)之間的相關(guān)關(guān)系。便于對(duì)問(wèn)題分析。第四十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)應(yīng)分析提供三個(gè)方面的信息：指標(biāo)之間的信息樣本之間的信息指標(biāo)與樣本之間的信息這些關(guān)系是通過(guò)作圖來(lái)表示的。第四十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四樣本數(shù)據(jù)第四十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四概率矩陣第五十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四i=1,2,…,n稱(chēng)為n個(gè)p維空間中樣本點(diǎn),研究?jī)蓚€(gè)樣本點(diǎn)K,L之間的歐氏距離。第五十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四加權(quán)距離，可以消除數(shù)量級(jí)的影響,第五十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四可以理解成n個(gè)樣本點(diǎn)第i個(gè)樣本的座標(biāo)變?yōu)閕=1,2,…,n兩個(gè)樣本點(diǎn)K,L的距離為第五十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四同理從列的方向看,可以將樣本矩陣中的列看成是n維空間中的點(diǎn)，變量Xi列為第五十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)兩個(gè)變量Xi與Xj的距離為加權(quán)距離，可以消除數(shù)量級(jí)的影響,第五十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四矩陣變?yōu)榍蟾髁械募訖?quán)平均值第五十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四這是按概率加權(quán)平均因?yàn)樽兞烤?由于第五十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四因?yàn)閰f(xié)方差公式為所以從矩陣第五十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四兩個(gè)變量Xi,Xj的協(xié)方差P個(gè)變量的協(xié)方差第五十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第六十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第六十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第六十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四類(lèi)似對(duì)變量的方法,對(duì)樣本點(diǎn)好可得協(xié)方差矩陣A與B通過(guò)Z矩陣聯(lián)系起來(lái)了,存在對(duì)應(yīng)關(guān)系A(chǔ)與B的非零特征根相同第六十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四因?yàn)橛袃蛇呌页薢有相同的特征根第六十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)前兩個(gè)因子載荷作圖。對(duì)A進(jìn)行因子分析，求得因子載荷矩陣A=Z’Z第六十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)前兩個(gè)因子載荷作圖。B=ZZ’對(duì)B進(jìn)行因子分析，求得因子載荷矩陣第六十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

我們知道因子載荷矩陣的含義是原始數(shù)據(jù)與公共因子之間的相關(guān)系數(shù)，所以如果我們構(gòu)造一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，將第一公共因子的載荷與第二個(gè)公共因子的載荷看成平面上的點(diǎn)，在坐標(biāo)系中繪制散點(diǎn)圖，則構(gòu)成對(duì)應(yīng)圖。對(duì)應(yīng)圖第六十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

某地環(huán)境檢測(cè)部門(mén)對(duì)該地所屬8個(gè)地區(qū)的大氣污染狀況進(jìn)行了系統(tǒng)的的檢測(cè)，每天4次同時(shí)在各個(gè)地區(qū)抽取大氣樣品，則定其中的氯、硫化氫、二氧化硫、碳4、環(huán)氧氯丙烷、環(huán)已烷6種氣體的濃度。數(shù)據(jù)資料略。第六十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

特征根貢獻(xiàn)率（%）累積貢獻(xiàn)率（%）10.5066870.0070.0020.1221316.8786.8730.056587.8294.69第六十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四R型因子分析的載荷F1F20.13831-0.043850.203330.026500.11003-0.019850.21754-0.186870.217200.28831-0.582750.03279Q型因子分析的載荷G1G20.10599-0.023540.15369-0.061640.16284-0.009280.223880.223770.15853-0.19307-0.561530.019000.16656-0.106640.164290.13644第七十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出兩種因子的載荷圖，這種圖稱(chēng)為對(duì)應(yīng)圖。

第七十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.30-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.3變量樣品對(duì)應(yīng)圖第七十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

由圖我們可以看出，全部變量與樣品分為3類(lèi)。每一類(lèi)聚合一些變量和樣品。