第二章 解析函數(shù)

第二章解析函數(shù)第一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四1、導數(shù)與微分§1解析函數(shù)的概念定義：設定義于區(qū)域D，為D中一點，且點，若極限

存在，則稱在點可導，此極限值稱為在點的導數(shù)，記第二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四（3）可導必然連續(xù)，反之不然。若在D內(nèi)處處可導，則稱在D內(nèi)可導。注:（1）定義中極限可改為；（2）的方式是任意的，因此較一元實變函數(shù)具有許多獨特的性質和應用。第三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四求導法則例1證明：在復平面上處處不可導。（1）（c為常數(shù)）（2）（n為正整數(shù)）（3）第四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四（4）（5）（6）（7）其中與互為反函數(shù)。第五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四可微與可導等價微分：在點可導，則有則稱為函數(shù)在的微分記為。若函數(shù)在點的微分存在，則稱在處可微。第六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四2、解析的概念定義：若在的某鄰域內(nèi)處處可微，則稱在點解析。若在區(qū)域D內(nèi)每一點解析，則稱在D內(nèi)解析，或稱是D內(nèi)的一個解析函數(shù)（全純函數(shù)、正則函數(shù)）。若在點不解析，則稱為的奇點。第七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四注：可微與解析在區(qū)域內(nèi)等價。但對點不等價。

定理：（1）解析函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍為解析函數(shù)。（2）解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù)。例1討論的解析性。例2討論的解析性。第八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四3、函數(shù)解析的充要條件定理（Cauchy-Riemann條件）函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：與在D內(nèi)任一點可微，且滿足Cauchy-Riemann方程第九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四注意：（1）若在D內(nèi)滿足C-R方程，且u，v具有一階連續(xù)偏導，則在D解析。（2）定理中“D內(nèi)任一點”改為“D中某一點”，則變?yōu)樵贒內(nèi)某一點可導的充要條件。且第十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四例1：判定下列函數(shù)的解析性（1）（2）（3）例2：設函數(shù)問常數(shù)a，b，c，d取何值時，在復平面內(nèi)處處解析？第十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四推論1：若在區(qū)域D內(nèi)解析，且

則在D內(nèi)。推論2：若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，且，則（為常數(shù)）是D內(nèi)兩組正交曲線族。第十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四證明：由于，故在D內(nèi)點與不全為0。1）設在點。則曲線的斜率：由得曲線的斜率：結論得證。第十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四2）若中有一個為0，此時過交點的兩條切線，必然一條為水平線，另一條為鉛直線。結論自然成立。第十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四1、指數(shù)函數(shù)§2初等函數(shù)性質：（1），；（2）時，，其中；（3）在復平面上解析，且

第十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四2、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)（4）加法定理：（5）是以為周期的周期函數(shù)。三角函數(shù)第十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四余弦函數(shù)：正弦函數(shù)：第十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四性質（1）在復平面內(nèi)解析，且（2）第十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四（3）是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且它們均是以為周期的周期函數(shù)。（4）在復數(shù)域內(nèi)不成立。如：，則第十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四其它三角函數(shù)定義：例1:求的值。例2:對任意的復數(shù)，若則必有（為整數(shù)）。

正切

余切正割余割第二十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四性質：（1）這四個函數(shù)都在復平面上使分母不為零的點處解析，且（2）正切和余切的周期為，正割和余割的周期為。第二十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四雙曲函數(shù)它們的性質類似于三角函數(shù)可通過定義來討論.雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切

雙曲余切雙曲正割雙曲余割第二十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四１、根式函數(shù)§3初等多值函數(shù)定義:設函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有定義，且對D內(nèi)任意不同的兩點及，有，則稱函數(shù)在D內(nèi)是單葉的．并且稱區(qū)域D為的單葉性區(qū)域．根式函數(shù)為冪函數(shù)的反函數(shù)（n是大于１的整數(shù)）．第二十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四（１）冪函數(shù)的變換（映射）性質及其單葉性區(qū)域

函數(shù)在平面上是單值解析，它將擴充平面變成擴充平面，且分別對應于．而由函數(shù)知對每一個不為零或的，在平面上有n個原象．

令，則第二十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四結論：１）變換將從原點出發(fā)的射線變成從原點出發(fā)的射線，并將圓周變成圓周．（如下圖）

２）平面上的角形區(qū)域變成平面上的角形區(qū)域．第二十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四第二十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四特別：將平面上的角形區(qū)域變成平面上除原點與負實軸的區(qū)域．

一般：將張角為的角形區(qū)域都變成平面除去原點與負實軸的區(qū)域．第二十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四冪函數(shù)的單葉性區(qū)域是頂點在原點，張角不超過的角形區(qū)域．（２）分出的單值解析分支函數(shù)出現(xiàn)多值性的原因是由于確定后，其輻角并不唯一確定。第二十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四

處理方法：在平面上從原點到任意引一條射線（或一條無界簡單曲線），將平面割破，割破的平面構成一個以此割線為邊界的區(qū)域，記為G（同時也表示該區(qū)域中的某一子區(qū)域）。第二十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四

假定從原點起割破負實軸，C為G內(nèi)過的一條簡單閉曲線，即C不穿過負實軸，它的內(nèi)部不包含原點，則當變點從出發(fā)繞C一周時，它的象點各畫出一條閉曲線（包含在角形區(qū)域內(nèi)）而回到它原來的位置，因為這時回到其起始的值（下圖為n=3的情形）．第三十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四第三十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四結論：上述的n個單值連續(xù)函數(shù)都是解析函數(shù)，且在區(qū)域G內(nèi)得到的n個不同的單值連續(xù)分支函數(shù)第三十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四

支點：使當變點繞這一點一周時，多值函數(shù)從其一支變到另一支，即當變點回到原來的位置時，函數(shù)值與原來的值相異，則稱此點為此多值函數(shù)的支點．（３）的支點及支割線如：和都為的支點．第三十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四支割線：用來割破平面，借以分出的單值解析分支的割線，稱為的支割線．

例：設確定在從原點起沿負實軸割破的平面上，且，求的值．第三十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四2、對數(shù)函數(shù)

(1)對數(shù)函數(shù)：滿足方程的函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，記為。令，則故第三十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四主值：注：對每個固定的，上式為一單值函數(shù)，稱為的一個分支。

例1、求，以及它們的主值。第三十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四性質：1）2）(2)指數(shù)函數(shù)的變換性質及其單葉性區(qū)域令，則第三十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四結論:1)變換將平面上的直線變成平面上從原點出發(fā)的射線，將線段變成圓周.

2)將平面上的帶形區(qū)域變成平面上的角形區(qū)域(如下圖).第三十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四第三十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四特別:變換將平面上的帶形區(qū)域變成平面上除去原點及負實軸的區(qū)域.一般:變換將寬為的帶形區(qū)域都變成平面上除去原點及負實軸的區(qū)域(如下圖).第四十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四第四十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四

指數(shù)函數(shù)的單葉性區(qū)域是：平面上平行于實軸，寬不超過的帶形區(qū)域.(3)分出的單值解析分支參照下圖類似于對函數(shù)的討論.在平面上從原點起割破負實軸的區(qū)域G內(nèi)，可得到的多個不同的單值連續(xù)分支函數(shù)第四十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四第四十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四3、一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)

在區(qū)域G內(nèi)解析，且．以與為支點，以連接它們的廣義簡單曲線（特別是負實軸）為支割線．冪函數(shù)：第四十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四關于a的三種特殊情形：設表示中的任意一個確定值，表示所有值中的一個.則（１）a為正整數(shù)n時，，故是的單值函數(shù)．第四十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四（３）a為無理數(shù)或虛數(shù)時，有無限多值．（２）a為有理數(shù)（既約分數(shù)）時，于是，有p個不同的值．第四十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四

綜述：由于的多值性，一般也是多值的（僅當a為整數(shù)時例外）．將分成單值解析分支的方法與相同，且仍以０與為支點．當從原點起沿負實軸割破平面后，的每一分支都解析，且第四十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四一般指數(shù)函數(shù)：它是無窮多個獨立的，在平面上單值解析的函數(shù)．

例：求與的值及主值．第四十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四４、具有多個有限支點的情形根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的支點都是一個有限支點０和無窮遠點

∞.支割線可以是從0到∞的一條射線(如包含原點的負實軸)，與限制變點的輻角范圍(如)是一致的.從而，在平面上以此割線為邊界的區(qū)域G內(nèi)，能分出單值解析分支．第四十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四對具有多個有限支點的多值函數(shù)，就不能采用限制輻角范圍的方法，而首先求出函數(shù)的一切支點，然后適當連接支點割破平面．在平面上以此割線為邊界的區(qū)域G內(nèi)，分出該函數(shù)的單值解析分支．第五十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四（１）討論函數(shù)的支點．其中是的所有相異零點，分別是它們的重數(shù)，且

例１討論下列函數(shù)的支點：（ａ）（ｂ）第五十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四解：（ａ）當z沿包含０（但不包含１）的簡單閉曲線正方向繞行一周后，得到輻角增量的值較初值增加了一個因子發(fā)生了變化，由此０是的支點．類似討論可得１也是其支點．第五十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四當z沿同時包含０與１的簡單閉曲線C繞行一周后，結果為初值乘以，并不改變其值．故∞不是的支點．第五十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四（ｂ）的可能支點是０，１，∞．由于第五十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四結果的值均較初值發(fā)生了變化．故０，１，∞都是的支點，且此外別無支點．第五十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期四結論：１）的可能支點是和∞；２