第五章留數(shù)及其應(yīng)用

第五章留數(shù)及其應(yīng)用第一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五參考用書《復(fù)變函數(shù)與積分變換》,華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,高等教育出版社,2003.6

《復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解》,華中科大,高等教育出版社

《復(fù)變函數(shù)》,西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室,高等教育出版社,1996.5

第二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五

目錄第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示第五章留數(shù)及其應(yīng)用第六章傅立葉變換第七章拉普拉斯變換第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五

第五章留數(shù)及其應(yīng)用

本章中心問題是留數(shù)定理，前面講的柯西定理、柯西積分公式都是留數(shù)定理的特殊情況，并且留數(shù)定理在作理論探討與實(shí)際應(yīng)用中都具有重要意義，它是復(fù)積分與復(fù)級數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物，為此先對解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類

第四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第五章留數(shù)及其應(yīng)用5.1孤立奇點(diǎn)5.2留數(shù)5.3留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用本章小結(jié)思考題第五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第一節(jié)孤立奇點(diǎn)一、奇點(diǎn)的分類

定義：

第六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五孤立奇點(diǎn)分類：(1)主部消失(2)主部僅含有限項(xiàng)

(3)主部含有無限多項(xiàng)，解析部分主要部分第七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例1．解：第八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五二、可去奇點(diǎn)

第九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五???第十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五三、極點(diǎn)

第十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例2．解：第十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五四、本性奇點(diǎn)

第十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例3．解：第十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例4．解：第十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例5．解：第十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五五、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系

定理1第二十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五證明：第二十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例6．解：定理2證明：第二十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第二十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例7．（通過零點(diǎn)階數(shù)判斷極點(diǎn)階數(shù)）解：第二十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例8．解：法二：第二十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五六、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)

分析：

第二十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第二十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五這樣，對無窮遠(yuǎn)點(diǎn)來說，它的特性與其洛朗級數(shù)之間的關(guān)系就跟有限遠(yuǎn)點(diǎn)一樣，不過只是把正冪項(xiàng)與負(fù)冪項(xiàng)的作用互相對調(diào)就是．

第二十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第二十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第三十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例9．說明：

解：第三十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例10．例11．解：解：第三十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例12．解：例13．解：第三十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例14．解：第三十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例15．解：第三十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例16．解：第三十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第三十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第二節(jié)留數(shù)一、留數(shù)的概念及留數(shù)定理

留數(shù)是復(fù)變函數(shù)論中重要的概念之一，它與解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的洛朗展開式、柯西復(fù)合閉路定理等有著密切的聯(lián)系．

1．留數(shù)概念

第三十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第三十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五留數(shù)定義：說明：例1．解：第四十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例2．解：例3．解：第四十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五定理1證明：第四十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五二、函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)

法則1：證明：結(jié)論：先知道奇點(diǎn)的類型，對求留數(shù)有時(shí)更為有利.

第四十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例4．解：第四十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五法則2：證明：由法則1：

第四十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例5．解：例6．解：第四十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五法則3：證明：第四十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例7．解：例8．解：第四十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例9．解：第四十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例10．解：再往下計(jì)算比較繁瑣！

第五十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第五十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)

第五十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五定理2證明：第五十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五法則4：證明：第五十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例11．解：第五十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例12．解：例13．解：第五十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第三節(jié)留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用留數(shù)定理為某些類型積分的計(jì)算提供了有效的方法．應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的定積分的方法稱為圍道積分法．圍道積分法就是把求實(shí)變函數(shù)的積分化為復(fù)變函數(shù)沿著圍線的積分，然后利用留數(shù)定理，使沿著圍線的積分計(jì)算，歸結(jié)為留數(shù)計(jì)算．要使用留數(shù)計(jì)算，需要兩個(gè)條件：一是被積函數(shù)與某個(gè)解析函數(shù)有關(guān)；其次，定積分可化為某個(gè)沿閉路的積分．其實(shí)質(zhì)就是用復(fù)積分來計(jì)算實(shí)積分，這一方法對有些不易求得的定積分和廣義積分常常比較有用．現(xiàn)在就幾個(gè)特殊類型舉例說明．第五十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五一、

第五十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例1．解：第五十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第六十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五二、

第六十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第六十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例2．解：第六十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五三、

第六十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五第六十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期五例3．解：第六十六頁