2022-2023學(xué)年上海九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講精練第10講解直角三角形解析版

第10講解直角三角形

「直角三角形的三邊關(guān)系

知識梳理直角三角形的邊角關(guān)系：三角比

直角三角形銳角關(guān)系：互余

解基本的直角三角形

題型探究解非直角三角形

解直角三角形的應(yīng)用

課后作業(yè)

知識梳理

在直角三角形中，由己知元素求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在RAABC中，如果NC=90。，那么它的三條邊和兩個銳角之間有以下的關(guān)系:

(1)三邊之間的關(guān)系:

a2+b2=

(2)銳角之間的關(guān)系:

ZA+ZB=90°

(3)邊角之間的關(guān)系:

sinA=cosB=—,cosA=smB=—

tanA=cotB=~,cotA=tanB=-

ba

題型探究

題型一、解直角三角形的基本類型

It【例1】（2019?全國）在4SC中，/C=90。，根據(jù)下列條件解直角三角形.

(1)ZA=30°,a=6；

(2)ZA=30。，b=10#1.

【答案】(1)Zfi=60°,b=66c=12；(2)Zfi=60°,a=10,c=20.

【解析】

解；(1)VZC=90°,ZA=30°,

AZB=60°,

Va=6,

c=AB=2BC=2x6=12,

b=12xsin600=65/3；

(2))VZC=90°,ZA=30°,

???ZB=60°,

Vb=10V3,

??.c二AB='°拒二20,

57/760°

Aa=-c=IO.

2

①【例2】（2020.山東九年級期中）在AABC中，已知NC=90。，〃+c=30,4—NB=30。.解

這個直角三角形.

【答案】zSA=60°?ZB=30°?a=10>/3,b=10,c=20.

【解析】

解：VZC=90°,

AZA+ZB=90°,

VZA-ZB=30°,

AZA=60°,ZB=30°,

；sin3(T=2=；

c2

??b=yC,

Vb+c=30,

?*.gc+c=30,

解得c=20,

則b=10,

a=j2()2_l()2=106

塞題型二、解非直角三角形

[例3]（2020?山東）在AABC中，AB=12cm,AC=6cm,ABAC=120",則AABC的面積

為.cm~

【答案】18G

【解析】

如圖，過點B作BDLAC交AC延長線于點D,

VZBAC=120°,

.?.ZBAD=180°-120°=60°,

sinZBAD=—

AB

/.BD=ABsin600=12x—=6>/3，

2

.二△ABC的面積=，AC-BD=1X6X6G=18G.

22

故答案為：18班.

網(wǎng)【例4】（2019?上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)九年級期中）等腰三角形的周長為2+百，

腰長為1,則底角等于

【答案】30°

【解析】

如圖

A

?:△ABC的周長為2+6,腰長為1,

：.AB=AC=\,BC=>/3,

???過A作AD1.BC于點D,則BD=B,

2

在心△48。中，cosZB=—=—,

AB2

,ZB=30°,

故填30°.

舉一反三

2

1.（2021?哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級三模）在AABC中，ZC=90°,BC=2,sinA=§,

則AC的長是（)

7

A.75B.3D.713

【答案】A

【解析】

解：??,sinA=,BC-2，

AB3

.\AB=3.

AC=yjAB2-BC2=V32-22=y[5?

故選：A.

2.如圖，在RhABC中，ZB=90°,tanC=2,AC=10,則AB的長為()

A

A.5B.5#>C.2石D.4石

【答案】D

【解析】

解：?；NB=90°,tanC=2,

—=2,BPAB=2BC,又AC=10,

BC

/.BC2+(2BC)2=102,

:.BC=2小或BC=-2退(舍)，

AB=4亞，

故選D.

3.（2021?遼寧九年級一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=6,點。

是A8邊上一點，若tanZDCB=；,則線段08的長度為（）

A.4B.3C.2亞D.72

【答案】C

【解析】

解：如圖，過點。作。于點E,

E'B

;等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=6,

：.BC=6,NB=45°,且OE_LBC,

ZEDB=ZB=45°,

：.DE=BE,設(shè)DEr,

1r)F

u：tanZDCB=-=—

2CE

/.CE=2DE=2x=6-x,

?\x=2,

:.DE=BE=2,

BD=ylDE2+BE2=20

故選c.

4.（2021?上海九年級專題練習(xí)）已知在中，ZC=90°,ZB=f3,AB=5,那么

AC的長為（)

55

A.5cos/B.5sin/7D.

cos/7sinP

【答案】B

【解析】

解：在RlZkABC中,

sin懺生

fAB

AC=AB*sinp=5sinp,

故選：B.

5.（2019?上海九年級單元測試）在AABC中，AB=8,ZABC=30°,AC=5,則BC=

【答案】4出±3

【解析】

B

如圖，過C點作CD_LAB于D,設(shè)BC=x,

VZABC=30°,

；.CD=!BC=!x,BD=3X,

222

，AD=(8-—x)

2

在RSADC中，根據(jù)勾股定理得:

AD2+CD2=AC2

即(8-立X)2+(lx)2=52

22

解得x=4否±3

即BC=4>/3±3.

6.（2021.天津九年級月考）如圖，在R/A/WC中，ZC=90°,ZB=30°,BC=^,解這

個直角三角形.

B

【答案】AB=^-,AC=-,ZA=60°

33

【解析】

解：VZC=90°,ZB=30°,

/.ZA=60°.

：sinA=￡taM=生

ABAC

即樂東房東

???日衛(wèi)ACe

33

7.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，在RMA8C中，設(shè)小b,c?分別為NA,ZB,ZC

的對邊，ZC=90°,b=8,/A的平分線A￡)=與G,求/B,a,c的值.

【答案】ZB=30°,。=8百，c=16

【解析】

解：VZC=90°,6=8,NC4B的平分線

AC873

AcosZCAD~AD-16函一2

3

AZCAD=30°,

jZCAB=60°,

JZB=30°,

h_8

c=2b=16,atan3QQ>/38G,

T

即N8=30°,。=86，c-16.

題型三、解直角三角形的應(yīng)用

【例5】（2021?上海九年級專題練習(xí)）在△ABC中，AB=5,8c=8,ZB=60°,則SAABC

（結(jié)果保留根號）

【答案】106

【解析】

解：'：AB=5,ZB=60°,

/.△ABC中，BC邊上的高=sin60°xAfi=也x5=延

22

???8C=8,

*,?S>ABC=5x8x~~=10>/3；

故答案為：106.

肛【例6】（2021?全國九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形A8C。中，々="=90。,4BM>=60。,

AB=4,AD=5.則AC的長的值為

D

C(^\

B

【答案】2#i

【解析】

解：如圖，延長8C,AD交于E,

?.?ZB=90°,/BAD=60°,AB=4,

/.Z￡=30°,

AE=2AB=8,BE=A&tan/.BAE=4xtan60°=4^3，

:AD=5,

：.DE=3,

'：ZADC=NCDE=90。，

DE3FT

.CE=-------=—^=273

:.cosE\/3

T

：?BC=BE-CE=26

AC=\lAB2+BC2="+(273J"=277.

故答案為：2幣

趾【例7】（2019?浙江九年級其他模擬）如圖，△ABC中，AB=AC=13,3OJ_AC于點￡>,

siM

13

(1)求3。的長;

(2)求tanC的值.

3

【答案】(1)12；(2);

【解析】

12

解：（1）???△ABC中，AB=AC=]39于點。，sinA=—

.BD12

*A8-T3,

嗒喑

解得：80=12；

(2)?.?AC=AB=13,BD=12,BDLAC,

：.AD=5f

，OC=8,

BD123

tanZC=

~DC~~S~2,

?^舉一反三

1.(2019?江蘇九年級期末)如圖，己知AABC中，NABC=3()。，ZACB=45°,AB=8.求A4BC

的面積.

BC

【答案】8+873

【解析】

解：過點A作AO_L8C,垂足為點。,

An

在RtAADB中,VsinZABC=—

AB

：.AD=ABsinZABC=8x-=4

2

VcosZABC=——

AB

，=ABcosZABC=8x—=4>/3

2

在RtZiADC中，；NACB=45°,

ZCAD=45\

：.AD=DC=4

：.=-BCAD=-(BD+CD)AD=-X(4+473)X4=8+8>/3

222

A

4

2.（2021?上海中考真題）已知在△A3。中，AC1BD,BC=^CD=4,cosZABC=-,BF

為4。邊上的中線.

(1)求AC的長;

(2)求tan/FB。的值.

3

【答案】(1)AC=6；(2)—

【解析】

4

(1)VAC±BD.cosZABC=-

/.cosZABC=—=-

AB5

：.AB=\O

22

工AC=y/AB-BC6；

(2)過點F作FGLBD,

?/8尸為AO邊上的中線.

是4。中點

'：FGLBD,AC±BD

：.FG//AC

；.FG是△AC。的中位線

.,.FG=』AC=3

2

CG=-C￡>=2

2

tanZFBD=-A-

,在R必BFG中,

BG8+210

3.（2021?安徽九年級其他模擬）如圖，在AABC中，A。是邊BC上的高，E為邊AC的中

4

點，8c=14,AO=12,sinB=~,求:

（I）線段。C的長;

(2)sin/EDC的值.

【答案】(1)CD=5；(2)sinZEDC=—.

【解析】

解：（1）在△48C中，是邊BC上的高,

：.ADLBC.

4

：.sinB=—

AB5

VAD=12,

AB=-AD=15.

4

在放△48。中，VBD=y]AB2-AD2=V152-122=9?

:.CD=BC-BD=14-9=5.

(2)在RfAADC中,'：AD=\2,DC=5,

AC='DC、AD2=5/52+122=13.

是4c的中點,

???DE=EC,

：.ZEDC=ZC.

：.sin/EDC=sinZC=—=—,

AC13

4

4.(2021?山東九年級期末)如圖，在△ABC中，是BC上的圖，BD=AC=W,tanB=-

(1)求AD的長;

(2)求cosNC的值和A8c.

3

【答案】(1)8；(2)求cos/C=g；S^AHC=M.

【解析】

解：⑴'：ADLBC,

ZADB=ZADC=90°,

.nAO4

..tanB=-----

BD5

:BD=AC=Wf

???AD=8；

(2)VZADC=90°,AC=10,AO=8,

*'-CD=^AC2-AD2=Jio2*=6,

???BC=BD+CD=T6,

CD63

cosC=

ACTo5

SAABC=I*BC?AD=1xl6x8=64.

3

5.（2020.上海九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,sin|,將△ABC繞

頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到△4B|C,點A、B分別與點Al、對應(yīng)，邊AiB分別交邊AB、

BD

8c于點。、E,如果點E是邊4S的中點，那么麻=__?

【答案】|3

【解析】

AC3

解：VZACB=90°,sinB=——=一,

AB5

.?.設(shè)AC=3x,AB=5x,

,?BC=-JAB2—AC2=4x，

:將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn),得到△AjBiC,

：.CBi=BC=4xfAiBi=5x,ZACB=ZAiCB\f

???點E是4囪的中點,

CE=—A.\B\=2.5x=B\E,

2

：.BE=BC-CE=\.5xt

?；NB=NBi,/CEBi=/BED

:.ACEBisADEB

BDBE1.5x3

B}CB}E2.5x5

3

故答案為：j

及作業(yè)

1.（2021?湖北省咸寧市馬橋鎮(zhèn)馬橋中學(xué)九年級月考）在放AA8C中，NC=90。，AB=26,tanA

=3,則AC的長為（）

A.25B.13C.24D.12

【答案】C

【解析】

解：如圖,

A

VZC=90°,tanA=—,

12

AcosZA=—

13

VAB=26,

AC=ABcosZA=24；

故選c.

2.（2020?四川九年級二模）如圖，在RtAABC中，直角邊BC的長為NA=40。，則斜

邊AB的長是（)

m

A.A?isin40°B.^cos40°C.—D.

sin40°cos40°

【答案】C

【解析】

BC

解:TsinA

BCtn

：.AB=

sir/sin40°

故選：C.

3.（2021?安徽九年級二模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=6,。是AC

上一點，如果tan/￡>BA=g,那么AO的長為（）

A.1B.2C.6D.20

【答案】B

【解析】

解：作。后,鉆于足點.

1np

?.?tanNO8A=—=——

5BE

BE-5DE,

???AABC為等腰直角三角形,

.\ZA=45°,

AE=DE.

BE=5AE,

又?:AC=6，

AB=60.

:.AE+BE=5AE+AE=6y/2,

AE=0，

二在等腰直角AADE中，由勾股定理，^AD=42AE=2.

故選：B.

D,

AEB

4.（2021?山東九年級二模）如圖，。為RhABC的AC邊上一點，ZC=90°,NDBC=ZA,

4

AC=4,cosA=-,則8=()

c

91215

A.B.C.D.4

454

【答案】A

【解析】

4

解：:Rt4ABC,AC=4,cosA=-

.AC_4_4

*AB-5-4B

：.AB=59

ABC=7AB2-AC2=3,Rt>BCD中，ZDBC=ZA,

3CD3

tanZDBC=tanZA=~,B|J----=—

4BC4

.CD_3

,?——

34

9

：.CD=-,

4

故選：A.

5.（2019?全國九年級專題練習(xí)）已知△ABC中，ZB=30°,ZC=45°,AB=4,則BC的長

為.

【答案】2+2班

【解析】

【解析】

解：作ADJ_BC于D,如圖,

在RsABD中,

VsinB=—,cosB=—

ABAB

@=26

???AD=4sin30°=4x-=2BD=ABcosB=4x

22

在RSACD中,

VtanC^,

CD

AD

：.CD=

tanC

則BC=BD+CD=2+26,

故答案為：2+26.

6.（2019?樂清市育英寄宿學(xué)校七年級期中）如圖，等腰直角AABC的面積為16,點。在斜

邊AC的延長線上，ZBDC=30°,則ABQC的面積是一

B

【答案】8V3-8

【解析】

解：如圖，作BH_LAC于H.

:等腰直角△ABC的面積為16,

由=H8=H3=HV'Q=z(ZA^)+z(S切="

(DVTHa*o06=Davz'"少=Da=va;.

*zA^=Da=vav

在RtABDH中，ZBHD=90°,ZBDC=30°,

???DH=y[3BH=4>/3,

AD=4V3-4,

；?="。?BH=?（4仃-4）.4=8/-8.

7.（2020.甘州中學(xué)九年級期中）如圖,四邊形ABC。中，NB=/O=90。，ZA=120°,AB

=12,C￡>=10百，求AO的長.

D

【答案】6

【解析】

解：延長DA交CB的延長線于E,

ZABC=90°,

ZABE=90°,

%0￡=H7?.,

%ozi=avaz.\

AAE=2AB=24,

ZD=90°,

JZC=60°,

；.DE=6CD=30,

，AD=DE-AE=6.

D

8.（2020?全國九年級專題練習(xí)）已知RfAABC中，ZC=90,NB=60,AB=6,解這個

直角三角形.

【答案】ZA=30°,BC=3,AC=35/3.

【解析】

解：在向AABC中，vZC=90°,ZB=60°,AB=6,

.-.ZA=90°-60°=30°,

/.BC=—AB=3,

2

:.AC=JAB2-BC?=舊-號=3行

B

故答案為/A=30。，BC=3,AC=3G.

9.（2019?全國）已知在AAfiC中，ZA:Zfl:ZC=l:2:3,c-b=4-26.解這個直角三角形.

【答案】ZA=3O°,ZB=60°,ZC=90°,a=2,h=2^3,c=4.

【解析】

解：VZA：ZB：ZC=1：2：3,

ZA=180°x-?—=30°,

1+2+3

ZB=60°,ZC=90°,

*/sin60°=—=^-，

c2

?：c-b=4-2y/3.

.'.c-^-c=4-2V3,

2

解得：c=4,

b=2.

a=個=2.

10.（2020?上海市位育初級中學(xué)九年級期中）在RlAABC中，ZC=90°,a=6,b=66.解

這個三角形.

【答案】c=12,ZA=30°,ZB=60°.

【解析】

在Rtz^ABC中，ZC=90°,a=6,b=6后,

c=y/a2+b2=+(6行＞=12?

?一、h6y/3石

?sinA=—=—=—,sinB=—=-----='-，

c122c122

；./A=30°,ZB=60°.

11.（2021?上海九年級二模）如圖，四邊形A8CO是平行四邊形，聯(lián)結(jié)AC,

3

AB=5,BC=7,cosB=—.

5

(1)求ZACB的度數(shù).

(2)求sinNA8的值.

【答案】(1)45°；(2)逋.

10

【解析】

解：（1）過點A作

3

-：AB=5,cosB=-

BE3

~AB~5

..BE=3

.\AE=>jAB2-BE2=V52-32=4

???BC=7

.?.CE=7-3=4

Rt/^ACE111

tanZACE=—=-=l

CE4

.\ZACB=ZACE=45°：

(2)過點A作AFLCD,如圖,

???四邊形ABC。是平行四邊形,

??.BCAE=CDAF

BCAE7x428

/.AF=

CD"I--!-

心△AEC中,

AC=VAE2+EC2=V42+42=4>/2

28

.._A1_M_7c.

..sinN4CD==—=------

AC4夜10

12.（2020?湖南九年級期末）如圖，四邊形ABC。中，4=90。，AB=2,CD=8,ACJ.CD,

sinNACB」.

3

(1)求AC的長.

(2)求tan/ZMCcos/ZMC的值.

D

A

B

4

【答案】(1)AC=6；(2)y.

【解析】

解：(1)?.?N8=90"8=2,sinNAC8=L

3

AB21

B|J：

ACAC~3

經(jīng)檢驗：AC=6符合題意;

(2)vAC±CZ),CD=8,AC=6,

??.AD=VAC2+CD2=A/62+82=10,

小…DC84/?廠AC63

tanZ.DAC==—=—,cosZDAC=----=—=—,

AC63AD105

434

z.tanND4ccosADAC=-x-=-.

355

3

13.（2021?上海）如圖，在△ABC中，ZC=90°,sinZA=-,AB=5f3。平分NA5C.

(1)求BC的長;

(2)求NC8O的正切值.

【答案】(1)3；(2)1

【解析】

解：（1）在AABC中，ZC=90°,

..sinZA=^3

AB5

???A