演示文稿應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計第二章參數(shù)估計區(qū)間估計

1應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計第二章參數(shù)估計區(qū)間估計本文檔共25頁；當前第1頁；編輯于星期日\18點22分定義1

設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x;)含有一個未知參數(shù),,對于給定值(0<<1),若由樣本X1,X2,…,Xn確定的兩個統(tǒng)計量和滿足則稱隨機區(qū)間是的置信度為的置信區(qū)間,

和分別稱為置信度為的雙側(cè)置信區(qū)間的置信下限與置信上限，稱為置信水平(置信度)．2.4.1區(qū)間估計的一般步驟這種估計的方法叫做區(qū)間估計.評價一置信區(qū)間好壞的兩個標準：1）精度：越小越好；2）置信度：越大越好.本文檔共25頁；當前第2頁；編輯于星期日\18點22分１）當Ｘ是連續(xù)型隨機變量時，對于給定的，我們總是按要求：求出置信區(qū)間．［注］２）當Ｘ是離散型隨機變量時，對于給定的，常常找不到區(qū)間使得恰好為．此時我們?nèi)フ沂沟帽M可能地接近．本文檔共25頁；當前第3頁；編輯于星期日\18點22分區(qū)間估計的一般步驟：1.給出“好”的點估計（按前面的標準），并知道它的分布（只依賴待估的未知參數(shù)）；2.求一個區(qū)間（參數(shù)的一個鄰域）或，使得對于給定的置信水平，且一般要求區(qū)間長盡可能小。將不等式變形得到等價的形式

其中g(shù)(x)為可逆的已知函數(shù)，的分布已知且與θ無關(guān)。本文檔共25頁；當前第4頁；編輯于星期日\18點22分對于給定的(0<<1),令

設(shè)總體X~N(,2),X1,X2,…,Xn是總體X的樣本，求,2

的置信水平為(1)的置信區(qū)間.

2.4.2單個正態(tài)總體的情況⑴均值的置信區(qū)間(a)2為已知時,因為求得的置信度水平為(1)的置信區(qū)間:(2為已知)/2/2或X是,的無偏估計,且本文檔共25頁；當前第5頁；編輯于星期日\18點22分(b)2為未知時,因為S2是2的點估計量,所以用S替換,求得的置信水平為(1)的置信區(qū)間:(2未知)/2/2本文檔共25頁；當前第6頁；編輯于星期日\18點22分1)例如當=0.05

時,即1-=0.95,查表得于是得到的置信水平為0.95的置信區(qū)間:即即(4.71,5.69)這時已不是隨機區(qū)間,說明的真值含在(4.71,5.69)的可信程度為95%.2)若樣本值為,則得到一個置信區(qū)間3)置信水平為(1)的置信區(qū)間不唯一.如上例=0.05,可證又若=1,n=16,置信區(qū)間長度越短表示估計的精度越高.÷÷????è?+-96.099.0,znXznXss本文檔共25頁；當前第7頁；編輯于星期日\18點22分例1

有一大批月餅，現(xiàn)從中隨機地取16袋，稱得重量（以克計）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496，設(shè)袋裝月餅的重量近似地服從正態(tài)分布，試求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：2未知,1-=0.95,/2=0.025,n-1=15,

由公式(2)得均值的置信度為0.95的置信區(qū)間為即（500.4,507.1）

這就是說估計袋裝月餅重量的均值在500.4與507.1之間，這個估計的可信程度為95%。若以此區(qū)間內(nèi)任一值作為的近似值，其誤差不大于（克），這個誤差估計的可信程度為95%。由已知的數(shù)據(jù)算得本文檔共25頁；當前第8頁；編輯于星期日\18點22分

2的無偏估計量為S*2

，(只介紹未知的情況)當1-給定后,因為即得到方差2

的一個置信度為1-

的置信區(qū)間:(2)方差2

的置信區(qū)間標準差的一個置信度為1-

的置信區(qū)間/2/2本文檔共25頁；當前第9頁；編輯于星期日\18點22分例2

有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機地取16袋,稱得重量（以克計）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496,設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布，試求總體標準差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：現(xiàn)在查表得又S*=6.2022，(4.58,9.60)得所求的標準差的置信區(qū)間為由(4)式本文檔共25頁；當前第10頁；編輯于星期日\18點22分2.4.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計

[例2.27]有A、B兩種牌號的燈泡各一批，A、B種燈泡的壽命是獨立的且分別服從.希望通過抽樣試驗并進行區(qū)間估計，考察：

(ⅰ)兩種燈泡的壽命是否有明顯差異；(ⅱ)兩種燈泡的質(zhì)量穩(wěn)定性是否有明顯差異.

在實際中常遇到下面的問題：已知產(chǎn)品的某一質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，但由于原料、設(shè)備條件、操作人員不同，或工藝過程的改變等因素，引起總體均值、總體方差有所改變,我們需要知道這些變化有多大，這就需要考慮兩個正態(tài)總體均值差或方差比的估計問題。本文檔共25頁；當前第11頁；編輯于星期日\18點22分1．兩個總體均值差的置信區(qū)間

(a)

和已知,求的置信區(qū)間

相互獨立由此可得的一個置信水平為的置信區(qū)間為：

設(shè)總體X~N(1,12),Y~N(2,22),X1,X2,…,Xn1是X的樣本,Y1,Y2,…,Yn2是Y的樣本.這兩個樣本相互獨立，分別為第一、二個總體的樣本均值與方差.本文檔共25頁；當前第12頁；編輯于星期日\18點22分

(b),但為未知.從而可得的一個置信度為的置信區(qū)間為由定理1.15,時，本文檔共25頁；當前第13頁；編輯于星期日\18點22分[例2.28]在例2.27中,隨機選取A種燈泡5只,B種燈泡7只,做燈泡壽命實驗,算得兩種牌號的平均壽命分別為1000和980小時,樣本方差分別為784和1024小時2.取置信度0.99,希望進行區(qū)間估計.考察：

(ⅰ)兩種燈泡的壽命是否有明顯差異；(ⅱ)兩種燈泡的質(zhì)量穩(wěn)定性是否有明顯差異.

本文檔共25頁；當前第14頁；編輯于星期日\18點22分僅討論總體均值1,2

為未知的情況。

(2)兩個總體方差比的置信區(qū)間由于于是得的一個置信度為的置信區(qū)間為本文檔共25頁；當前第15頁；編輯于星期日\18點22分例

研究由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑，隨機抽取機器A生產(chǎn)的管子18只，測得樣本方差；抽取機器生產(chǎn)的管子13只，測得樣本方差。設(shè)兩樣本相互獨立，且設(shè)由機器A、機器B生產(chǎn)的管子的內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布，這里均未知。試求方差比的置信度為0.90的置信區(qū)間。即（0.45,2.79）由于的置信區(qū)間包含1，在實際中我們就認為兩者沒有顯著差別。解現(xiàn)在本文檔共25頁；當前第16頁；編輯于星期日\18點22分*單側(cè)置信區(qū)間

定義設(shè)總體的分布函數(shù)為，其中是未知參數(shù)，為總體的樣本，給定，如果存在統(tǒng)計量滿足：，則稱隨機區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間，稱為單側(cè)置信下限，稱為置信水平或置信度。如果存在統(tǒng)計量，滿足則稱隨機區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間，稱為單側(cè)置信上限。本文檔共25頁；當前第17頁；編輯于星期日\18點22分

例從某批燈泡中隨機地取5只作壽命試驗．測得其壽命（單位：h）如下：

10501100112012501280設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布，試求均值的置信度為0.95的單側(cè)置信區(qū)間(θ1,+∞)．

解設(shè)燈泡壽命為，由于．由=0.95查表得，使得，即，本文檔共25頁；當前第18頁；編輯于星期日\18點22分

本題中，=2.1318,因此的置信度為0.95的單側(cè)置信區(qū)間為亦即的0.95置信下限為1065．于是得的置信度為的單側(cè)置信區(qū)間為亦即的置信下限為..本文檔共25頁；當前第19頁；編輯于星期日\18點22分記，置信水平為，則

[例2.29]

大樣本場合下非正態(tài)總體均值μ的區(qū)間估計

由中心極限定理知，只要n充分大，近似地有：當已知時，的置信區(qū)間為當未知時，的置信區(qū)間為2.4.4非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計本文檔共25頁；當前第20頁；編輯于星期日\18點22分X1,X2,…,Xn(n>50)是X的大樣本，求p的置信度為(1)

的置信區(qū)間.2.4.4非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計[例2.30]設(shè)總體X~b(1,p),p為未知參數(shù),X的分布律為由中心極限定理，知已知(0-1)分布的均值和方差分別為于是有近似N(0，1)本文檔共25頁；當前第21頁；編輯于星期日\18點22分記而不等式等價于此處