【聚焦中考】(陜西)中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-第22講-平行四邊形(含多邊形)教學(xué)案

第22講平行四邊形(含多邊形)陜西《中考說(shuō)明》陜西2012～2014年中考試題分析考點(diǎn)歸納考試要求年份題型題號(hào)分值考查內(nèi)容分值比重考點(diǎn)1n邊形、四邊形的性質(zhì)、平面圖形的鑲嵌1.了解并探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；2.了解正多邊形的概念；3.了解四邊形的不穩(wěn)定性；4.通過(guò)探索平面圖形的鑲嵌(或密鋪)，知道任意一個(gè)三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運(yùn)用這幾種圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的鑲嵌設(shè)計(jì)2014填空題13(A)3正五邊形的性質(zhì)0.8%考點(diǎn)2平行四邊形的性質(zhì)以及判定1.掌握平行四邊形的概念和性質(zhì)；2.掌握并探索平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是平行四邊形的條件；3.了解并探索線段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義(如一根均勻木棒、一塊均勻的矩形木板的重心)2014解答題24(3)3二次函數(shù)綜合題中涉及平行四邊形的性質(zhì)2012解答題18(1)3利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形相似，證明線段相等2.5%考點(diǎn)3三角形中位線定理會(huì)證明三角形中位線定理————————————在近幾年的陜西中考試題中，這部分主要考查平行四邊形的性質(zhì)及判定，有時(shí)會(huì)與三角形的相似結(jié)合考查，有時(shí)會(huì)在二次函數(shù)綜合題中涉及平行四邊形的性質(zhì)，多邊形的性質(zhì)在2014年考查過(guò)一次，預(yù)計(jì)2015年中考對(duì)本部分內(nèi)容可能會(huì)考查以下內(nèi)容：1.平行四邊形的性質(zhì)與判定；2.多邊形及平面圖形的鑲嵌，對(duì)平行四邊形的性質(zhì)與判定的考查題型仍會(huì)以解答題為主，對(duì)多邊形及平面圖形的鑲嵌可能會(huì)以選擇或填空題進(jìn)行考查，難度不會(huì)太大．1．n邊形、四邊形的性質(zhì)、平面圖形的鑲嵌(1)n邊形的內(nèi)角和為_(kāi)_(n－2)·180°__，外角和為_(kāi)_360°__，對(duì)角線條數(shù)為_(kāi)_eq\f(n（n－3）,2)__．(2)四邊形的內(nèi)角和為_(kāi)_360°__，外角和為_(kāi)_360°__，對(duì)角線條數(shù)為_(kāi)_2__．(3)正多邊形的定義：各條邊都__相等__，且各內(nèi)角都__相等__的多邊形叫正多邊形．正(2n－1)邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸有__2n－1__條；正2n邊形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．(4)平面圖形的鑲嵌①定義：把形狀、大小相同的一種或幾種平面圖形拼接到一起，使得平面上不留空隙，又不重疊，這就是平面圖形的鑲嵌．②用同一種多邊形可以鑲嵌的有正三角形，正方形，正六邊形等；也可用幾種不同的多邊形進(jìn)行鑲嵌．③正多邊形鑲嵌問(wèn)題的關(guān)鍵是幾個(gè)多邊形的同一頂點(diǎn)的幾個(gè)角，它們的和等于__360°__．注意：通過(guò)正多邊形的鑲嵌問(wèn)題，進(jìn)而理解正三角形、正方形、正六邊形乃至任意三角形，任意四邊形都能進(jìn)行平面鑲嵌的道理．發(fā)現(xiàn)拼成一個(gè)不留空隙又不重疊的平面圖形的關(guān)鍵是幾個(gè)多邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)的幾個(gè)角，它們的和等于360°.2．平行四邊形的性質(zhì)以及判定(1)性質(zhì)：①平行四邊形兩組對(duì)邊分別__平行且相等__；②平行四邊形對(duì)角__相等__，鄰角__互補(bǔ)__；③平行四邊形對(duì)角線__互相平分__；④平行四邊形是__中心__對(duì)稱(chēng)圖形．(2)判定方法：①定義：__兩組對(duì)邊分別平行__的四邊形是平行四邊形；②__一組對(duì)邊平行且相等__的四邊形是平行四邊形；③__兩組對(duì)邊分別相等__的四邊形是平行四邊形；④__兩組對(duì)角分別相等__的四邊形是平行四邊形；⑤__對(duì)角線互相平分__的四邊形是平行四邊形．3．三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．一個(gè)方法面積法：在三角形和平行四邊形中，運(yùn)用“等積法”進(jìn)行求解，以不同的邊為底，其高也不相同，但面積是定值，從而得到不同底和高的關(guān)系．一個(gè)防范圖形的直觀性可幫助探求解題思路，但也可能因直觀判斷失誤或用直觀判斷代替嚴(yán)密推理，造成解題失誤．一定要對(duì)所有直觀判斷加以證明，不可以用直觀判斷代替嚴(yán)密的推理．四個(gè)誤區(qū)誤區(qū)一：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；誤區(qū)二：一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；誤區(qū)三：一組對(duì)邊相等，一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；誤區(qū)四：一組對(duì)角相等，一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形．四種輔助線(1)常用連對(duì)角線的方法把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題；(2)有平行線時(shí)，常作平行線構(gòu)造平行四邊形；(3)有中線時(shí)，常作加倍中線構(gòu)造平行四邊形；(4)圖形具有等鄰邊特征時(shí)(如：等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形等)，可以通過(guò)引輔助線把圖形的某一部分繞等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置．(2012·陜西)如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：AB＝AF；(2)當(dāng)AB＝3，BC＝5時(shí)，求eq\f(AE,AC)的值．解：(1)如圖，在?ABCD中，AD∥BC，∴∠2＝∠3.∵BF是∠ABC的平分線，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝AF(2)∵∠AEF＝∠CEB，∠2＝∠3，∴△AEF∽△CEB，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AF,BC)＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(3,5)，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(3,8)平行四邊形的判定【例1】(2014·徐州)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE＝CF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形．解：證明：如圖，連接BD，設(shè)對(duì)角線交于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF.∴四邊形BEDF是平行四邊形【點(diǎn)評(píng)】探索平行四邊形成立的條件，有多種方法判定平行四邊形：①若條件中涉及角，考慮用“兩組對(duì)角分別相等”或“兩組對(duì)邊分別平行”來(lái)證明；②若條件中涉及對(duì)角線，考慮用“對(duì)角線互相平分”來(lái)說(shuō)明；③若條件中涉及邊，考慮用“兩組對(duì)邊分別平行”或“一組對(duì)邊平行且相等”來(lái)證明，也可以巧添輔助線，構(gòu)建平行四邊形．1．(2013·鞍山)如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.求證：(1)△AFD≌△CEB；(2)四邊形ABCD是平行四邊形．證明：(1)∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DFA＝∠BEC.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)(2)由(1)知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理論證【例2】(2014·聊城)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE與G點(diǎn)，交DF與F點(diǎn)，CE交DF于H點(diǎn)，交BE于E點(diǎn)．求證：△EBC≌△FDA.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AF∥CE，BE∥DF，∴四邊形BHDK和四邊形AMCN是平行四邊形，∴∠FAD＝∠ECB，∠ADF＝∠EBC，在△EBC和△FDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EBC＝∠ADF，,,,BC＝AD，,∠BCE＝∠DAF，))∴△EBC≌△FDA(ASA)【點(diǎn)評(píng)】利用平行四邊形的性質(zhì)，可以證角相等、線段相等，其關(guān)鍵是根據(jù)所要證明的全等三角形，選擇需要的邊、角相等條件；也可以證明相關(guān)聯(lián)的四邊形是平行四邊形．2．(2013·寧夏)在?ABCD中，P是AB邊上的任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AB，交AD于E，連接CE，CP，已知∠A＝60°.(1)若BC＝8，AB＝6，當(dāng)AP的長(zhǎng)為多少時(shí)，△CPE的面積最大，并求出面積的最大值；(2)試探究當(dāng)△CPE≌△CPB時(shí)，?ABCD的兩邊AB與BC應(yīng)滿(mǎn)足什么關(guān)系？解：(1)延長(zhǎng)PE交CD的延長(zhǎng)線于F，設(shè)AP＝x，△CPE的面積為y，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，∵Rt△APE，∠A＝60°，∴∠PEA＝30°，∴AE＝2x，PE＝eq\r(3)x，在Rt△DEF中，∠DEF＝∠PEA＝30°，DE＝AD－AE＝8－2x，∴DF＝eq\f(1,2)DE＝4－x，∵AB∥CD，PF⊥AB，∴PF⊥CD，∴S△CPE＝eq\f(1,2)PE·CF，即y＝eq\f(1,2)×eq\r(3)x×(10－x)＝－eq\f(\r(3),2)x2＋5eq\r(3)x，配方得：y＝－eq\f(\r(3),2)(x－5)2＋eq\f(25\r(3),2)，當(dāng)x＝5時(shí)，y有最大值為eq\f(25\r(3),2)，即AP的長(zhǎng)為5時(shí)，△CPE的面積最大，最大面積為eq\f(25\r(3),2)(2)當(dāng)△CPE≌△CPB時(shí)，有BC＝CE，∠B＝∠PEC＝120°，∴∠CED＝180°－∠AEP－∠PEC＝30°，∵∠ADC＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°－120°－30°＝30°，∴DE＝CD，即△EDC是等腰三角形，過(guò)D作DM⊥CE于M，則CM＝eq\f(1,2)CE，在Rt△CMD中，∠ECD＝30°，∴cos30°＝eq\f(CM,CD)＝eq\f(\r(3),2)，∴CM＝eq\f(\r(3),2)CD，∴CE＝eq\r(3)CD，∵BC＝CE，AB＝CD，∴BC＝eq\r(3)AB，則當(dāng)△CPE≌△CPB時(shí)，BC與AB滿(mǎn)足的關(guān)系為BC＝eq\r(3)AB三角形中位線定理【例3】(2013·鞍山)如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，CD，BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是__11__.【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)已知三角形一邊中點(diǎn)時(shí)，可以設(shè)法找出另一邊的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線，進(jìn)一步利用三角形的中位線定理，證明線段平行或倍分問(wèn)題．3．(2014·邵陽(yáng))如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AB的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E.∠A＝30°，AB＝8，則DE的長(zhǎng)度是__2__．試題如圖，已知六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角均為120°，CD＝10cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝錯(cuò)解解：如圖，連接EB，DA，F(xiàn)C，分別交于點(diǎn)M，N，P.∵∠FED＝∠EDC＝120°，∴∠DEM＝∠EDM＝60°，∴△DEM是等邊三角形．同理，△MAB，△NFA也是等邊三角形．∴FN＝AF＝5，MA＝AB＝8.∵∠EFA＝120°，∴∠EFC＝60°，∴ED∥FC，同理，EF∥DN.∴四邊形EDNF是平行四邊形．同理，四邊形EMAF也是平行四邊形，∴ED＝FN＝5，EF＝MA＝8.∴六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋5＋8＋5＝44(cm)．剖析上述解法最根本的錯(cuò)誤在于多邊形的對(duì)角線不是角平分線，從證明的一開(kāi)始，由∠FED＝∠EDC＝120°得到∠DEM＝∠EDM＝60°的這個(gè)結(jié)論就是錯(cuò)誤的，所以后面的推理就沒(méi)有依據(jù)了，請(qǐng)注意對(duì)角線與角平分線的區(qū)別，只有菱形和正方形的對(duì)角線才有平分一組對(duì)角的特性，其他的不具有這一性質(zhì)．不可憑直觀感覺(jué)就以為對(duì)角線AD，BE平分∠CDE，∠DEF.切記：視覺(jué)不可代替論證，直觀判斷不能代替邏輯推理．正解解：如圖，分別延長(zhǎng)ED，BC交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)EF，BA交于點(diǎn)N.∵∠EDC＝∠DCB＝120°，∴∠MDC＝∠MCD＝60°，∴