浙江省杭州市建德新安江中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

浙江省杭州市建德新安江中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如果函數(shù)的最小正周期是,且當(dāng)時(shí)取得最大值,那么（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A

解析：可以等于2.若弧長(zhǎng)為4的弧所對(duì)的圓心角是2，則這條弧所在的圓的半徑等于（

）

A．8

B．4

C．2

D．1參考答案：C略3.如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.函數(shù)y=的值域是

（

）A.［－1，1］

B.（－1，1］

C.［－1，1）

D.（－1，1）參考答案：B略5.函數(shù)的最小正周期是3π，則其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由三角函數(shù)的周期可得，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為，再求其對(duì)稱(chēng)軸方程即可.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)，經(jīng)過(guò)平移后得到函數(shù)解析式為，由，得，當(dāng)時(shí)，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.6.2log510+log50.25=(

)A．0 B．1 C．2 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可直接得到答案．【解答】解：∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．7.若直線2x+y﹣4=0，x+ky﹣3=0與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則此四邊形的面積為（）A． B． C． D．5參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，而x軸與y軸垂直，所以直線2x+y﹣4=0與x+ky﹣3=0垂直，再利用兩直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件A1A2+B1B2=0，列方程即可得k，即可得出結(jié)果【解答】解：圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，因?yàn)閤軸與y軸垂直，所以2x+y﹣4=0與x+ky﹣3=0垂直直線A1x+B1y+C1=0與直線A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是A1A2+B1B2=0由2×1+1×k=0，解得k=﹣2，直線2x+y﹣4=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（2，0），（0，4），x+ky﹣3=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，﹣），（3，0），兩直線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣，∴四邊形的面積為=．故選C8.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，2）、B（1、3），則直線AB的斜率是（

）

A．2

B．

C．-2

D．參考答案：B9.設(shè)、為兩條不重合的直線，為兩個(gè)不重合的平面，下列命題中正確命題的是A．若、與所成的角相等，則

B．若，，∥，則C．若，，，則

D．若，，⊥，則參考答案：D10.已知函數(shù)，則的值為

．參考答案：略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，其路程fi（x）（i=1，2，3，4）關(guān)于時(shí)間x（x≥0）的函數(shù)關(guān)系式分別為f1（x）=2x﹣1，f2（x）=x3，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下結(jié)論：①當(dāng)x＞1時(shí)，甲走在最前面；②當(dāng)x＞1時(shí)，乙走在最前面；③當(dāng)0＜x＜1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x＞1時(shí)，丁走在最前面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲．其中，正確結(jié)論的序號(hào)為（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上，多填或少填均不得分）參考答案：③④⑤【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)，冪函數(shù)，一次函數(shù)以及對(duì)數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)速度便可判斷每個(gè)結(jié)論的正誤，從而可寫(xiě)出正確結(jié)論的序號(hào)．【解答】解：路程fi（x）（i=1，2，3，4）關(guān)于時(shí)間x（x≥0）的函數(shù)關(guān)系式分別為：，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1）；它們相應(yīng)的函數(shù)模型分別是指數(shù)型函數(shù)，冪函數(shù)，一次函數(shù)，和對(duì)數(shù)型函數(shù)模型；①當(dāng)x=2時(shí)，f1（2）=3，f2（2）=8，∴該結(jié)論不正確；②∵指數(shù)型的增長(zhǎng)速度大于冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度，∴x＞1時(shí)，甲總會(huì)超過(guò)乙的，∴該結(jié)論不正確；③根據(jù)四種函數(shù)的變化特點(diǎn)，對(duì)數(shù)型函數(shù)的變化是先快后慢，當(dāng)x=1時(shí)甲、乙、丙、丁四個(gè)物體重合，從而可知當(dāng)0＜x＜1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x＞1時(shí)，丁走在最后面，∴該結(jié)論正確；④結(jié)合對(duì)數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴該結(jié)論正確；⑤指數(shù)函數(shù)變化是先慢后快，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間足夠長(zhǎng)，最前面的動(dòng)物一定是按照指數(shù)型函數(shù)運(yùn)動(dòng)的物體，即一定是甲物體，∴該結(jié)論正確；∴正確結(jié)論的序號(hào)為：③④⑤．故答案為：③④⑤．【點(diǎn)評(píng)】考查指數(shù)型函數(shù)，冪函數(shù)y=x3和y=x，以及對(duì)數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)速度的不同，取特值驗(yàn)證結(jié)論不成立的方法．12.設(shè)=（x，2），=（1，﹣1），⊥，則x=

．參考答案：2【考點(diǎn)】9T：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)椤停?，即x﹣2=0，解得x=2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)量積的應(yīng)用，向量垂直等價(jià)為向量的數(shù)量積為0．13.已知集合，，則

．參考答案：{4,7}14.（5分）設(shè)和是兩個(gè)單位向量，其夾角是60°，則向量=2+與=2﹣3的夾角是

．參考答案：120°考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專(zhuān)題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 根據(jù)已知條件容易求出，，根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出cos＜＞，從而求出向量的夾角．解答： =；=，=；∴cos=；∴夾角為120°．故答案為：120°．點(diǎn)評(píng)： 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量長(zhǎng)度求法：，以及向量夾角的余弦公式．15.如圖，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，過(guò)對(duì)角線BD1的一個(gè)平面交AA1于E，交CC1于F，①四邊形BFD1E一定是平行四邊形②四邊形BFD1E有可能是正方形③四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形④四邊形BFD1E有可能垂直于平面BB1D以上結(jié)論正確的為．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）參考答案：①③④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，前后、左右兩對(duì)側(cè)面相互平行，利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷四邊形BFD1E是平行四邊形；②先假設(shè)四邊形BFD1E是正方形，利用勾股定理可導(dǎo)出矛盾，從而可判斷其正誤；③四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影為ABCD，是正方形，可判斷其正誤；④四利用菱形的對(duì)角線互相垂直及面面垂直的性質(zhì)，可判斷四邊形BFD1E有可能垂直于平面BB1D．【解答】解：連接D1E、D1F、BE、BF、EF，對(duì)于①，正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，前后、左右兩對(duì)側(cè)面相互平行，由面面平行的性質(zhì)定理可得，BE∥D1F，D1E∥BF，故四邊形BFD1E一定是平行四邊形，①正確；對(duì)于②，設(shè)該正方體的邊長(zhǎng)為2，若四邊形BFD1E是正方形，則E、F分別為AA1與CC1的中點(diǎn)，D1E=BE且D1E⊥BE，實(shí)際上，D1E=BE=，BD1=2，并不滿(mǎn)足D1E2+BE2=BD12，即D1E⊥BE不成立，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影是ABCD，為正方形，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)E和F是所在棱的中點(diǎn)時(shí)，易證BE=D1E，則四邊形BFD1E是菱形，則EF垂直于BD1，同理四邊形B1FDE也是菱形，則EF垂直于B1D，因此EF垂直于平面BB1D1D，從而平面BFD1E垂直于平面BB1D1D，即四邊形BFD1E有可能垂直于平面BB1D，故④正確．綜上所述，以上結(jié)論正確的為①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，突出考查空間幾何中面面平行、面面垂直的性質(zhì)與判定，考查作圖、分析與邏輯推理能力，屬于難題．16.口袋內(nèi)裝有100個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，其中有45個(gè)紅球；從中摸出1個(gè)球，若摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為_(kāi)___________．參考答案：0.32略17.（5分）已知點(diǎn)A（4，﹣2）和點(diǎn)B（2，4），則線段AB的垂直平分線方程為

．參考答案：x﹣3y=0考點(diǎn)： 直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．專(zhuān)題： 直線與圓．分析： 由中點(diǎn)公式和斜率公式以及垂直關(guān)系可得直線的斜率和過(guò)的定點(diǎn)，可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可．解答： ∵點(diǎn)A（4，﹣2）和點(diǎn)B（2，4），∴AB的中點(diǎn)為（3，1），由斜率公式可得kAB==﹣3，∴由垂直關(guān)系可得所求直線的斜率為，∴所求直線的方程為y﹣1=（x﹣3）化為一般式可得x﹣3y=0故答案為：x﹣3y=0點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿(mǎn)分12分)

設(shè)函數(shù)，

(1)若f(-1)=0，且對(duì)于任意的x,≥0恒成立，求的表達(dá)式；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)[-2，2]時(shí)，g(x)=-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取

值范圍。參考答案：19.參考答案：20.為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在國(guó)家的號(hào)召下，把廢棄物回收轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，處理成本y（萬(wàn)元）與處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：y=x2﹣50x+900，且每處理一噸廢棄物可得價(jià)值為10萬(wàn)元的某種產(chǎn)品，同時(shí)獲得國(guó)家補(bǔ)貼10萬(wàn)元．（1）當(dāng)x∈[10，15]時(shí)，判斷該項(xiàng)舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不能獲利，請(qǐng)求出國(guó)家最少補(bǔ)貼多少萬(wàn)元，該工廠才不會(huì)虧損？（2）當(dāng)處理量為多少?lài)崟r(shí)，每噸的平均處理成本最少？參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．【專(zhuān)題】綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)處理成本y（萬(wàn)元）與處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：y=x2﹣50x+900，且每處理一噸廢棄物可得價(jià)值為10萬(wàn)元的某種產(chǎn)品，同時(shí)獲得國(guó)家補(bǔ)貼10萬(wàn)元，可得函數(shù)關(guān)系式，配方，求出P的范圍，即可得出結(jié)論；（2）求出平均處理成本，利用基本不等式，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，利潤(rùn)P和處理量x之間的關(guān)系：P=（10+10）x﹣y=20x﹣x2+50x﹣900=﹣x2+70x﹣900=﹣（x﹣35）2+325，x∈[10，15]．∵x=35?[10，15]，P=﹣（x﹣35）2+325在[10，15]上為增函數(shù)，可求得P∈[﹣300，﹣75]．

∴國(guó)家只需要補(bǔ)貼75萬(wàn)元，該工廠就不會(huì)虧損．

（2）設(shè)平均處理成本為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由x＞0得x=30．因此，當(dāng)處理量為30噸時(shí)，每噸的處理成本最少為10萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)最值的求解，正確運(yùn)用求函數(shù)最值的方法是關(guān)鍵．21.在凸四邊形ABCD中，．（1）若，，，求sinB的大?。?）若，且，求四邊形ABCD的面積．參考答案：(1)；(2)【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，從而可知，求得；在中利用正弦定理求得結(jié)果；（2）在中利用余弦定理和可表示出；在中利用余弦定理可得，從而構(gòu)造出關(guān)于的方程，結(jié)合和為銳角可求得；根據(jù)化簡(jiǎn)求值可得到結(jié)果.【詳解】（1）連接在中，，，由余弦定理得：

，則在中，由正弦定理得：，解得：（2）連接在中，由余弦定理得：又

在中，由余弦定理得：，即又

為銳角

，則四邊形面積：【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面積公式的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠利用余弦定理構(gòu)造出關(guān)于角的正余弦值的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系構(gòu)造方程可求得三角函數(shù)值；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略角的范圍，造成求解錯(cuò)誤.22.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角120°為的扇形AOB，小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，且小區(qū)里有一條平行于BO的小路CD.（1）已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(zhǎng)（精確到1米）（2）若該扇形的半徑為，已知某老人散步，從C沿CD走到D，再?gòu)腄沿DO走到O，試確定C的位置，使老人散步路線最長(zhǎng)。參考答案：（1）445米；（2）在弧的中