材料力學(xué)教案

第一章 緒論及根本概念一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)：明確材料力學(xué)的任務(wù)，理解變形體的的根本假設(shè)，把握桿件變形的根本形式。教學(xué)內(nèi)容：1 材料力學(xué)的特點(diǎn)2材料力學(xué)的任務(wù)3材料力學(xué)的爭(zhēng)論對(duì)象4變形體的根本假設(shè)5二、重點(diǎn)難點(diǎn)構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的概念；桿件變形的根本形式、變形體的根本假設(shè)。三、教學(xué)方式承受啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問(wèn)題。四、建議學(xué)時(shí)0.5五、講課提綱1、材料力學(xué)的任務(wù)材料力學(xué)是爭(zhēng)論構(gòu)件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性計(jì)算的學(xué)科。承載力量強(qiáng)度是指剛度是指構(gòu)件抵抗變形的力量。構(gòu)件具有足夠的剛度。穩(wěn)定性是指構(gòu)件承受在外力作用下，保持原有平衡狀態(tài)的力量，構(gòu)件在外力作用下，能保持原有的平衡形態(tài)，說(shuō)明構(gòu)件具有足夠的穩(wěn)定性。材料力學(xué)的任務(wù)：以最經(jīng)濟(jì)為代價(jià)，保證構(gòu)件具有足夠的承載力量。通過(guò)爭(zhēng)論構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性，為構(gòu)件選擇適宜的材料、確定合理的截面外形和尺寸供給計(jì)算理論。2、材料力學(xué)的爭(zhēng)論對(duì)象：可變形固體均勻連續(xù)性假設(shè):質(zhì)一樣。各向同性假設(shè):假設(shè)變形固體在各個(gè)方向上具有一樣的力學(xué)性質(zhì)。小變形假設(shè): 假設(shè)變形固體在外力作用下產(chǎn)生的變形與構(gòu)件原有尺寸相比是很微小的，稱(chēng)“小變形。在列平衡方程時(shí)，可以不考慮外力作用點(diǎn)處的微小位移，而按變形前的位置和尺寸進(jìn)展計(jì)算。3、桿件的幾何特征軸線：截面形心的連線橫截面：垂直于軸線的截面桿的分類(lèi)：4、桿件變形的根本形式種根本變形〔軸向拉壓、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲〕或是它們的組合。其次章 軸向拉伸和壓縮一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容1、教學(xué)目標(biāo)壓正應(yīng)力公式、胡克定律、強(qiáng)度條件，把握拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算方法。把握拉壓時(shí)材料的力學(xué)性能，弄清材料力學(xué)解決問(wèn)題的思路和方法。2、教學(xué)內(nèi)容1截面法、內(nèi)力、應(yīng)力2軸力、軸力圖3正應(yīng)力、應(yīng)力集中的概念4軸向拉〔壓〕時(shí)斜截面上的應(yīng)力5拉壓桿的變形、胡克定律、泊松比⑥拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算⑦材料拉壓時(shí)的力學(xué)性能⑧拉壓桿件系統(tǒng)的超靜定問(wèn)題二、重點(diǎn)難點(diǎn)1、內(nèi)力和截面法，軸力和軸力圖。2、應(yīng)力的概念，軸向拉壓時(shí)橫截面上的應(yīng)力，軸向拉壓時(shí)的變形。3、材料拉、壓時(shí)的力學(xué)性能。4、軸向拉壓的強(qiáng)度計(jì)算。5、應(yīng)力集中的概念，拉、壓靜不定問(wèn)題。三、教學(xué)方式發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱忱。四、建議學(xué)時(shí)7學(xué)時(shí)五、講課提綱軸向拉伸(壓縮)的概念受力特點(diǎn)：作用于桿件上外力或外力合力的作用線與桿件軸線重合。變形特點(diǎn)：構(gòu)件沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。軸力、軸力圖1、內(nèi)力、截面法內(nèi)力的概念內(nèi)力是構(gòu)件因受外力而變形，其內(nèi)部各局部之間因相對(duì)位移轉(zhuǎn)變而引起的附加內(nèi)力。截面法截面法四部曲：截〔切開(kāi)、取〔取分別體、代〔代替、平〔平衡〕2、軸力、軸力圖軸向拉壓時(shí)的內(nèi)力——軸力軸力的符號(hào)規(guī)章——軸力背離截面時(shí)為正，指向截面為負(fù)。軸力圖應(yīng)力與圣維南原理1、應(yīng)力的概念：定義：內(nèi)力在截面上的分布集度。數(shù)學(xué)表示：應(yīng)力重量；

lim PAA0正應(yīng)力與截面正交的應(yīng)力。切應(yīng)力

與截面相切的應(yīng)力。正應(yīng)力的代數(shù)符號(hào)規(guī)定：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。Pa〔N/m2〕2、軸向拉〔壓〕時(shí)橫截面上的正應(yīng)力：F應(yīng)力計(jì)算公式： NA公式的適用范圍：外力作用線必需與桿軸線重合，否則橫截面上應(yīng)力將不是均勻分布；距外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)局部正確，外力作用點(diǎn)四周應(yīng)力分布簡(jiǎn)單，由于加載方式的不同，只會(huì)使作用點(diǎn)四周不大的范圍內(nèi)受到影響〔圣維南原理。因此，只要作用于桿端合力作用線與桿軸線重合，除力作用處外，仍可用該公式計(jì)算。慢時(shí)，可近似用該公式計(jì)算。3、圣維南原理：外力作用在桿端的方式不同，只會(huì)使桿端距離不大于橫向尺寸的范圍內(nèi)應(yīng)力分布受到影響。4、軸向拉〔壓〕桿斜截面上的應(yīng)力 p

coscos2 p

sin2

變形、胡克定律、泊松比1、縱向變形、胡克定律：確定變形ll l1F .ll N EA

胡克定律E——彈性模量〔Pa〕 EA—抗拉〔壓〕剛度，反映桿件抵抗拉伸〔壓縮〕變形的力量相對(duì)變形〔線應(yīng)變〕l 拉伸為“+”，壓縮為“-”l在彈性范圍內(nèi)： E, P2、橫向變形及泊松比：確定變形

胡克定律橫向尺寸aa1

aaa1相對(duì)變形〔橫向應(yīng)變〕a 拉伸為“-”，壓縮為“+”a試驗(yàn)說(shuō)明：在彈性范圍內(nèi) 是反映材料性質(zhì)的常數(shù)，由試驗(yàn)確定，一般在-1～-0.5之間。材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能1、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能：試件：圓截面： l10d l5dAA矩形截面：l=11.3 l=5.65AAl—工作段長(zhǎng)度〔標(biāo)距〕 d—直徑 A—橫截面積低碳鋼拉伸時(shí)變形進(jìn)展的四個(gè)階段：彈性階段〔oa〕應(yīng)力特征值：比例極限p—材料應(yīng)力應(yīng)變成正比的最大應(yīng)力值〔聽(tīng)從虎克定律〕,

彈性極限e成比

—材料只消滅彈性變形的應(yīng)力極限值Etg〔比例系數(shù)〕E為與材料有關(guān)的比例常數(shù)，隨材料不同而異。當(dāng)1時(shí)，E，由此說(shuō)明說(shuō)明材料的剛性的大小；tg說(shuō)明幾何意義。屈服階段〔bc〕變，應(yīng)變不斷增加，從而明顯地產(chǎn)生塑性變形的現(xiàn)象稱(chēng)為屈服〔流淌?，F(xiàn)象：磨光試件外表消滅與軸線成45傾角條紋——滑移線，是由于材料晶格發(fā)生相對(duì)滑移所造成。材料產(chǎn)生顯著塑性變形，影響構(gòu)件正常使用，應(yīng)避開(kāi)消滅。應(yīng)力特征值：屈服極限

——衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)〔3〔3〕強(qiáng)化階段〔cd〕曲線表現(xiàn)為上升階段。應(yīng)力特征性：強(qiáng)度極限b——材料能承受的最大應(yīng)力值。冷作硬化——彈性極限e

和屈服極限

提高、塑性降低的現(xiàn)象。s〔4〕頸縮階段〔df〕在某一局部范圍內(nèi)，A〔急劇、 ，用A計(jì)算的 ， 試件被拉斷。兩個(gè)塑性指標(biāo)：延長(zhǎng)率〔伸長(zhǎng)率〕

ll100% 材料分類(lèi)塑性材料5%l 5%l 5%1截面收縮率：

AA1100%A2、其它材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能：16Mn鋼也有明顯的四個(gè)階段；H62〔黃銅〕沒(méi)有明顯的屈服階段，另三階段較明顯；T10A〔高碳鋼〕沒(méi)有屈服和頸縮階段，只有彈性和強(qiáng)化階段。鑄鐵拉伸時(shí)是一微彎曲線，沒(méi)有明顯的直線局部，拉斷前無(wú)屈服現(xiàn)象，拉斷時(shí)變形很小是典型的脆性材料。0.2%的塑性變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值作為屈服極限，稱(chēng)條件屈服極限，用3、材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能：低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性能：

0.2

表示。壓縮時(shí)曲線，在屈服階段以前與拉伸時(shí)一樣，

,E,p s到達(dá)s

越短，橫截面增大，試件端部由于與壓頭之間摩擦的影響，橫向變形受到阻礙，被壓成鼓形。得不到壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限。因此，鋼材的力學(xué)性質(zhì)主要時(shí)用拉伸試驗(yàn)來(lái)確定。差異。4、材料在拉伸與壓縮時(shí)力學(xué)性質(zhì)特點(diǎn)：〔不同材料其限度不同〕時(shí)，成正比；塑性材料的抗拉強(qiáng)度極限比脆性材料高，宜作受拉構(gòu)件；表示其強(qiáng)度特征的是和 ，而b

s是桿件強(qiáng)度設(shè)計(jì)的依據(jù)；脆性材料的抗壓強(qiáng)度極限遠(yuǎn)大于其抗拉強(qiáng)度極限，宜作受壓構(gòu)件；唯一表示強(qiáng)度特征的是據(jù)。

，它也是桿件強(qiáng)度設(shè)計(jì)的依b許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件1、極限應(yīng)力、安全系數(shù)、許用應(yīng)力：極限應(yīng)力：材料破壞時(shí)的應(yīng)力稱(chēng)為極限應(yīng)力。

s

0.2

塑性材料安全系數(shù)、許用應(yīng)力

n

u 脆性材料bn—安全系數(shù)〔1的數(shù)〕構(gòu)件工作時(shí)允許到達(dá)的最大應(yīng)力值贊許用應(yīng)力[]。許用應(yīng)力應(yīng)低于極限應(yīng)力。2、強(qiáng)度條件：[]，即F max

N []Amax它可解決工程上的三類(lèi)強(qiáng)度問(wèn)題：強(qiáng)度校核設(shè)計(jì)截面確定許可載荷應(yīng)力集中的概念局部應(yīng)力——截面突變處某些局部小范圍內(nèi)的應(yīng)力。應(yīng)力集中——在截面突變處消滅局部應(yīng)力劇增現(xiàn)象。性很強(qiáng)，而局部應(yīng)力對(duì)塑性材料的強(qiáng)度影響很小。拉伸和壓縮靜不定問(wèn)題1、靜不定問(wèn)題的解法：根本思路：靜力學(xué)關(guān)系，變形幾何關(guān)系，物理關(guān)系。解超靜定問(wèn)題變形的協(xié)調(diào)條件變形的物理?xiàng)l件〔內(nèi)力與變形的關(guān)系〕就可以列出所需要的補(bǔ)充方程。2、裝配應(yīng)力：桿件制成后，其尺寸有微小誤差是難免的，這種誤差使靜定構(gòu)造的幾何外形發(fā)生微小轉(zhuǎn)變，而不會(huì)引起內(nèi)力。但對(duì)超靜定構(gòu)造，這種誤差就會(huì)使桿件在承受載荷前產(chǎn)生較大的內(nèi)力。由于加工誤差，強(qiáng)行裝配而引起的內(nèi)力稱(chēng)為裝配內(nèi)力，與之相應(yīng)的應(yīng)力叫裝配應(yīng)力。3、溫度應(yīng)力：熱脹冷縮是金屬材料的通性，在靜定構(gòu)造中桿件可以自由變形，溫度均勻變化所產(chǎn)生的伸縮，不會(huì)在桿內(nèi)引起內(nèi)力。但在超靜定構(gòu)造中，桿件的伸縮受到局部或全部約束，溫度變化將會(huì)引起內(nèi)力，和它相應(yīng)的應(yīng)力稱(chēng)為溫度應(yīng)力。第三章扭轉(zhuǎn)與剪切一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)切胡克定律和剪應(yīng)力互等定理、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算。教學(xué)內(nèi)容1外力偶矩的計(jì)算，扭矩、扭矩圖，純剪切。2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形，扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和剛度條件。3扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算和剛度計(jì)算。4二、重點(diǎn)難點(diǎn)〔相對(duì)扭轉(zhuǎn)角〕計(jì)算。難點(diǎn)：扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力推導(dǎo)過(guò)程重點(diǎn)處理：通過(guò)例子，關(guān)鍵理 是指整個(gè)軸上的T 面上的最外邊緣點(diǎn)〔等截面；對(duì)max max變截面可用

T W ；嚴(yán)格區(qū)分剛度和扭轉(zhuǎn)角的區(qū)分max

PmaxF難點(diǎn)處理：結(jié)合、比照

N的推導(dǎo)過(guò)程，和薄壁圓筒橫截面上的推導(dǎo)，讓學(xué)生思考可A能承受的方法，然后在講解。三、教學(xué)方式承受啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問(wèn)題，到達(dá)課堂互動(dòng)。四、建議學(xué)時(shí)4學(xué)時(shí)五、講課提綱扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)于桿件軸線的兩組平行力偶系。桿件扭轉(zhuǎn)變形的特點(diǎn)動(dòng)而產(chǎn)生相對(duì)角位移，稱(chēng)為該兩個(gè)橫截面的扭轉(zhuǎn)角，用表示。扭矩的計(jì)算和扭矩圖1、外力偶矩的計(jì)算：軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速，則外力偶矩M

〔N?m〕ePMe9550nP——功率，單位為千瓦〔KW〕n——轉(zhuǎn)速，單位為r/min2、扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力——扭矩：：受扭桿件橫截面上的內(nèi)力是作用在該截面上的力偶，該力偶之矩稱(chēng)扭矩扭矩的計(jì)算方法——截面法〔假設(shè)扭矩為正，即設(shè)正法〕扭矩的符號(hào)規(guī)章——右手螺旋法則扭矩圖:表示桿件各橫截面上的扭矩沿桿軸的變化規(guī)律。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度條件1、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力①試驗(yàn)爭(zhēng)論：變形特點(diǎn)：各縱向線傾斜了同一微小角度，矩形歪斜成平行四邊形；各圓周線的外形、大小和間距不變，只是各圓周線繞桿軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了不同的角度。應(yīng)力分布：橫截面上只有切于截面的剪應(yīng)力，它組成與外加扭矩相平衡的內(nèi)力系T。因壁t很小，假設(shè)均勻分布且沿各點(diǎn)圓周的切線方向。由平衡條件

m 0得x2rtr T0 T2r2t0②切應(yīng)力互等定理：。由平衡方程m 0得z(tdy)dx(tdx)dy結(jié)論：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必定成對(duì)存在，且數(shù)值相等；二者都切應(yīng)力互等定理亦正確。規(guī)定：使單元體繞其內(nèi)部任意點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪應(yīng)力為正，反之為負(fù)。單元體上只要剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的狀況稱(chēng)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。③剪切胡克定律：切應(yīng)變的定義：在切應(yīng)力作用下，單元體的直角將發(fā)生微小的轉(zhuǎn)變，這個(gè)直角的轉(zhuǎn)變量稱(chēng)為切應(yīng)變。與成正比，即G G——剪切彈性模量G E2、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算①變形幾何關(guān)系假設(shè)圓軸各橫截面仍保持為一平面，且其外形大小不變；橫截面上的半徑亦保持為始終線，這個(gè)假設(shè)稱(chēng)平面假設(shè)。依據(jù)試驗(yàn)現(xiàn)象還可推斷，與薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的狀況一樣，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)其橫截面上不存在應(yīng)力作用。 tg

bbd ab dx②物理關(guān)系G ③靜力關(guān)系

G

GddxA

dAT A

G2

d ddAT， G 2dATdx dx A＝d——單位長(zhǎng)度上的扭轉(zhuǎn)角〔同一截面上為肯定值〕dxI 2dA——截面對(duì)形心的極慣性矩〔與截面外形、大小有關(guān)的幾何量〕P Ad Tdx GIP∴

TPIPmaxI

TIP

max

T 式中：WPW PP max

——抗扭截面模量〔系數(shù)〕I D4— WP 32

D316

——實(shí)心軸d D3I , 〔內(nèi)外徑之比〕 W P 32 D P

〔14——空心軸164、強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：對(duì)等直圓軸：

Tmax[]max WP圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和剛度計(jì)算1、扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)角〔：任意兩橫截面相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度d T

d

T dx dl T dxdx GIP

GI

0GIPT=C，軸為等截面條件下Tl 〔弧度〕PGIPGI ——截面的抗扭剛度〔與GIP

成反比、反映截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的力量〕2、剛度條件

T〔rad/m〕l GIPT剛度條件：

max[]max GIP可解決三類(lèi)剛度問(wèn)題。扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題第四章 彎曲內(nèi)力一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)①把握彎曲變形與平面彎曲等根本概念；②嫻熟把握用截面法求彎曲內(nèi)力；③嫻熟列出剪力方程和彎矩方程并繪制剪力圖和彎矩圖；④利用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖；⑤把握疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。教學(xué)內(nèi)容1平面彎曲等根本概念；2截面法及簡(jiǎn)便方法求彎曲內(nèi)力；3剪力方程和彎矩方程、繪制剪力圖和彎矩圖；4用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖；5二、重點(diǎn)難點(diǎn)1、平面彎曲的概念；2、剪力和彎矩，剪力和彎矩的正負(fù)符號(hào)規(guī)章；3、剪力圖和彎矩圖；4、剪力、彎矩和載荷集度的微分、積分關(guān)系；5、疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。三、教學(xué)方式承受啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問(wèn)題。四、建議學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)五、講課提綱平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖1、平面彎曲的概念繞垂直于軸線的軸發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的變形。梁：以彎曲為主要變形形式的構(gòu)件。平面彎曲：桿變形之后的軸線所在平面與外力所在平面重合或平行的彎曲變形。2、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖①幾何構(gòu)造的簡(jiǎn)化以梁的軸線來(lái)代替梁，無(wú)視構(gòu)造上的枝節(jié)，如鍵槽、銷(xiāo)孔、階梯等。②載何的簡(jiǎn)化載荷按作用方式可以簡(jiǎn)化成三類(lèi)1、集中力2、分布載荷3、集中力偶③約束的簡(jiǎn)化三種根本形式1、可動(dòng)鉸支座2、固定鉸支座3、固定端④靜定梁及其分類(lèi)1、簡(jiǎn)支梁2、外伸梁3、懸臂梁梁的內(nèi)力及內(nèi)力圖①?gòu)澢鷥?nèi)力各個(gè)載面上的彎曲內(nèi)力。F、M正負(fù)號(hào)規(guī)定：s使梁段繞其內(nèi)任意點(diǎn)有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力Fs

規(guī)定為正，反之為負(fù)；使梁段的下部產(chǎn)生拉伸而上部產(chǎn)生壓縮的彎矩M規(guī)定為正，反之為負(fù)。②用直接法計(jì)算梁內(nèi)力的規(guī)律Fs

〔或右側(cè)梁上全部外力在平行于橫截面方向投影的代數(shù)和。截面左側(cè)向上外力，或右側(cè)向下外力，產(chǎn)生正的剪力；反之產(chǎn)生負(fù)的剪力。Fs

Fs

為負(fù)。橫截面上的彎矩M〔或右側(cè)梁上全部外力對(duì)該截面形心的力矩的代數(shù)和。向上的外力產(chǎn)生正的彎矩，向下的外力產(chǎn)生負(fù)的彎矩。截面左側(cè)順時(shí)針轉(zhuǎn)向外力偶，或右側(cè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向外力偶，產(chǎn)生正的彎矩；反之產(chǎn)生負(fù)的彎矩。上正下負(fù)；M為正。③內(nèi)力圖為了形象地說(shuō)明梁各橫截面上的Fs

、MFs

M用圖形來(lái)表示，分別稱(chēng)為剪力圖和彎矩圖。上剪力和彎矩的數(shù)值〔包括正負(fù)號(hào)依據(jù)剪力方程和彎矩方程繪出。第五章 彎曲應(yīng)力一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)把握梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，理解推導(dǎo)中所作的根本假設(shè)。理解橫力彎曲正應(yīng)力計(jì)算仍用純彎曲公式的條件和近似程度。把握中性層、中性軸和翹曲等根本概念和含義。把握各種外形截面梁〔矩形、圓形、圓環(huán)形、工字形〕橫截面上切應(yīng)力的分布和計(jì)算。嫻熟彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件的建立和相應(yīng)的計(jì)算。了解什么狀況下需要對(duì)梁的彎曲切應(yīng)力進(jìn)展強(qiáng)度校核。從彎曲強(qiáng)度條件動(dòng)身，把握提高彎曲強(qiáng)度的假設(shè)干措施。理解等強(qiáng)度梁的概念。教學(xué)內(nèi)容梁純彎曲和橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力提高彎曲強(qiáng)度的假設(shè)干措施。二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力公式的分析推導(dǎo)。橫力彎曲橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的計(jì)算。彎曲的強(qiáng)度計(jì)算。彎曲橫截面上的切應(yīng)力。難點(diǎn)：彎曲正應(yīng)力、切應(yīng)力推導(dǎo)過(guò)程和彎曲中心的概念。重點(diǎn)處理：法，結(jié)合T型截面梁鑄鐵梁.這一典型問(wèn)題分析，并在作業(yè)中進(jìn)一步強(qiáng)化訓(xùn)練。難點(diǎn)處理：結(jié)合梁彎曲變形的特點(diǎn)，推導(dǎo)兩個(gè)應(yīng)力公式，在推導(dǎo)中，充分利用前面的學(xué)問(wèn)，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，讓學(xué)生自己選擇解決方法，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)內(nèi)容的把握。比照F N,A

TI 的推導(dǎo)消化難點(diǎn)，以學(xué)生理解這一推導(dǎo)思路。P三、教學(xué)方式承受啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問(wèn)題。四、建議學(xué)時(shí)4學(xué)時(shí)五、講課提綱彎曲正應(yīng)力1、純彎曲時(shí)梁的橫截面上的正應(yīng)力圖所示簡(jiǎn)支梁CD，載荷PCDACDB梁段的各橫截面上，剪力和彎矩同時(shí)存在，這種彎曲稱(chēng)為橫力彎曲；而在AB梁段內(nèi)，橫截面上則只有彎矩而沒(méi)有剪力，這種彎曲稱(chēng)為純彎曲。a aC P P DA BxFsxxMxM=常量。下面，首先分析梁在純彎曲時(shí)橫截面上的彎曲正應(yīng)力。①變形幾何關(guān)系mmbamnban試驗(yàn)觀看梁上的縱線〔包括軸線〕都彎曲成圓弧曲線，靠近梁凹側(cè)一邊的縱線縮短，而靠近凸側(cè)一邊的縱線伸長(zhǎng)。梁上的橫線仍為直線，各橫線間發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，不再相互平行，但仍與梁彎曲后的軸線垂直。在梁的縱線伸長(zhǎng)區(qū)，梁的寬度減??；而在梁的縱線縮短區(qū)，梁的寬度增大。中性層：這層纖維稱(chēng)為中性層。中性軸中性軸：中性層與梁橫截面的交線。如圖中性軸依據(jù)上述試驗(yàn)觀看到的純彎曲的變形現(xiàn)象，經(jīng)過(guò)推斷、綜合和推理，可作出如下假設(shè)：梁的橫截面在純彎曲變形后仍保持為平面，并垂直于梁彎曲后的軸線。橫截面只是繞其面內(nèi)的某一軸線剛性地轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。這就是彎曲變形的平面假設(shè)。梁的縱向纖維間無(wú)擠壓，只是發(fā)生了簡(jiǎn)潔的軸向拉伸或壓縮?？v線ab的伸長(zhǎng)為l(y)ddx(y)ddyd而其線應(yīng)變?yōu)?/p>

l

ydye d y的全部各點(diǎn)處的縱向纖維的線應(yīng)變。②物理關(guān)系不超過(guò)材料的比例極限

y處各點(diǎn)的正應(yīng)力為pEEy該式說(shuō)明，橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力與點(diǎn)的坐標(biāo)yE為常數(shù)，說(shuō)明彎曲正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律分布，如下圖。中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力均為零，中性軸上部橫截面的各點(diǎn)均為壓應(yīng)力，而下部各點(diǎn)則均為拉應(yīng)力。③靜力關(guān)系F dANAM zdAAyAM ydAAzA在純彎狀況下，梁橫截面上只有彎矩M M，而軸力F 和M 皆為零。z N yFN0，有

NdA0AEydAE

ydA0A AE由于彎曲時(shí)

0，必定有

ydAS 0A z此式說(shuō)明，中性軸z通過(guò)截面形心。My

0，可得M

yzdAEyzdAEI 0y A A其中

yzAI yzdAyzA稱(chēng)為截面對(duì)y、zIyz面形心，所以z軸為形心主軸。

0z最終，依據(jù)MM ，將物理關(guān)系代入下式zM z A

ydAE

y2dAMA1M EIz其中1M EIz

是純彎曲時(shí)梁軸線變形后的曲率；I y2dA稱(chēng)為截面對(duì)z軸的慣性矩；EI 稱(chēng)為截面的抗彎剛度，梁彎曲的曲率z zA與彎矩成正比，而與抗彎剛度成反比。將該式代入式物理關(guān)系，即可得到純彎曲時(shí)梁的橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式M yIz設(shè)y 為橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)到中性軸的距離，則截面上的最大正應(yīng)力為maxmax

MyI

maxz如令W z ymax則截面上最大彎曲正應(yīng)力可以表達(dá)為 Mmax Wz 3

稱(chēng)為截面圖形的抗截面模量它只與截面圖形的幾何性質(zhì)有關(guān)其量綱為長(zhǎng)度 。z矩形截面和圓截面的抗彎截面模量分別為：高為h，寬為b的矩形截面：W Iz

bh312

bh2z y h 6max2直徑為d的圓截面：Iz

D464

W D3z 32至于各種型鋼的抗彎截面模量，可從附錄Ⅱ的型鋼表中查找。T形截面。這時(shí)，應(yīng)把y和y 分別代入正應(yīng)力公式，計(jì)算截面上的最大正應(yīng)力。1 2最大拉應(yīng)力為：() My1t Iz最大壓應(yīng)力為：() My2e Iz2、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力對(duì)于瘦長(zhǎng)梁〔l/h5，l為梁長(zhǎng)，h為截面高度曲變形的影響很小，可以無(wú)視不計(jì)。而且，用純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式，即MyIz3、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為保證梁的安全，梁的最大正應(yīng)力點(diǎn)應(yīng)滿足強(qiáng)度條件max

MmaxyI

max[]z式中[]為材料的許用應(yīng)力。對(duì)于等截面直梁，假設(shè)材料的拉、壓強(qiáng)度相等，則最大彎矩的所在面稱(chēng)為危急截面，危急截面上距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)稱(chēng)為危急點(diǎn)。此時(shí)強(qiáng)度條件可表達(dá)為M max

max[]Wz點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)分別進(jìn)展校核。梁橫截面上的切應(yīng)力1、梁橫截面上的切應(yīng)力①矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力當(dāng)截面高度h大于寬度b截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力都平行于剪力F的方向。s切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即切應(yīng)力的大小只與y坐標(biāo)有關(guān)。從圖所示橫力彎曲的梁上截取長(zhǎng)為dx的微段梁N 1 A

dA1

MI z

ydA1Ay的橫線以外的面積，如下圖。式中積分S2

ydAA1A的截面積對(duì)矩形截面中性軸z的靜矩。因此，上式簡(jiǎn)化為N MS1 I zz同理， N2

MdMSI zzx方向的平衡，即 X0， N N1 2

(bdx)0將N 1

代入上式，有2MdMS

bdx0MI z I zMz z整理、化簡(jiǎn)后有

dMSzdxbIzdMQ，可得dx

QSzbIz由切應(yīng)力互等定理，可以推導(dǎo)出矩形截面上距中性軸為y處任意點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式為QSzbIzyh時(shí)，即矩形截面的上、下邊緣處切應(yīng)力0y=02應(yīng)力為最大值：max

3Q2bh說(shuō)明矩形截面上的最大彎曲切應(yīng)力為其平均切應(yīng)力的1.5倍。②工字形截面、T腹板上切應(yīng)力腹板高度按拋物線規(guī)律變化，如下圖。腹板上切應(yīng)力仍舊沿用矩形截面梁彎曲切應(yīng)力計(jì)算公式QS zbIzb最大切應(yīng)力在中性軸上，其值為Q(S) max

zmaxdIZ式中〔S〕z

max

為中性軸一側(cè)截面面積對(duì)中性軸的靜矩。對(duì)于軋制的工字鋼，式中的IzIz(S*)

可以從型鋼表中查得。翼緣上切應(yīng)力計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，腹板擔(dān)當(dāng)?shù)募袅s為〔0.95~0.97〕Q，因此翼緣上的豎向切應(yīng)力很小，可無(wú)視不計(jì)。水平切應(yīng)力QS*tIz③圓形截面梁在圓形截面上，任一平行于中性軸的橫線aa兩端處，1切應(yīng)力的方向必切于圓周，并相交于y軸上的c的方向皆平行于剪力Q，設(shè)為均勻分布，其值為最大。max

4Q3A式中Ad2，即圓截面的最大切應(yīng)力為其平均切應(yīng)力的4 倍。4 32、切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁沿某一方向的抗剪力量較差〔〕等，還需進(jìn)展彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度校核。等截面直梁的

max

一般發(fā)生在Q

截面的中性軸上，此處彎曲正應(yīng)力max0，微元體處于純切應(yīng)力狀態(tài)，其強(qiáng)度條件為 Q

max z

]max bIz式中[]為材料的許用切應(yīng)力。此時(shí)，一般先按正應(yīng)力的強(qiáng)度條件選擇截面的尺寸和外形，然后按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核。梁的合理設(shè)計(jì)1、合理安排梁的受力狀況降低梁的最大彎矩Mmax2、選擇合理截面外形

數(shù)值.Mmax

知梁可能承受的最大彎矩與抗彎截面系數(shù)成正比，W越大越有利，而W又與截面面積和外形有關(guān)。因此應(yīng)選擇W/A較大的截面〔工字形、槽形>矩形>圓形。應(yīng)使截面的上、下緣應(yīng)力同時(shí)到達(dá)材料的相應(yīng)容許應(yīng)力。3、承受變截面梁在橫力彎曲下，彎矩是沿梁軸變化的。因此在按最大彎矩設(shè)計(jì)的等截面梁中，除最大彎矩所在的截面外，其余截面材料的強(qiáng)度均未得到充分利用。為了節(jié)約材料，減輕梁的重量，可依據(jù)彎矩沿梁軸的變化狀況，將梁設(shè)計(jì)成變截面的。假設(shè)變截面梁的每一橫截面上的最大正應(yīng)力均等于材料的許用應(yīng)力，這種梁就稱(chēng)為等強(qiáng)度梁。中廣泛使用的魚(yú)腹梁和機(jī)械工程中常見(jiàn)的階梯軸等。第六章 彎曲變形一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)把握求梁變形的兩種方法：積分法和疊加法，明確疊加原理的使用條件，把握用變形比較法求解靜不定梁。教學(xué)內(nèi)容有關(guān)彎曲變形的根本概念積分法和疊加法明確疊加原理力法求解靜不定梁。二、 重點(diǎn)難點(diǎn)梁的變形分析。撓曲軸近似微分方程。積分法求變形。疊加法求梁的變形。靜不定梁。三、教學(xué)方式承受啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問(wèn)題。四、建議學(xué)時(shí)6五、講課提綱彎曲變形的根本概念關(guān)于梁的彎曲變形，可以從梁的軸線和橫截面兩個(gè)方面來(lái)爭(zhēng)論。xyxoy直角坐標(biāo)系。當(dāng)梁在xy面內(nèi)發(fā)生彎曲時(shí)，梁的軸線由直線變?yōu)閤y面內(nèi)的一條光滑連續(xù)曲線，稱(chēng)為梁的撓曲線，或彈性曲線。第六章中曾經(jīng)指出，梁彎曲后橫截面仍舊垂直于梁的撓曲線，因此，當(dāng)梁發(fā)生彎曲時(shí)梁的各個(gè)截面不僅發(fā)生了線位移，而且還產(chǎn)生了角位移，如圖7.1所示。橫截面的形心在垂直于梁軸〔x軸〕方向的線位移，稱(chēng)為橫截面的撓度，并用符號(hào)表示。關(guān)于撓度的正負(fù)符號(hào)，在圖示坐標(biāo)系下，規(guī)定撓度向下〔y軸同向〕為正；向上〔與y軸反向〕線位移。但在小變形條件下，這種位移微小，可以無(wú)視不計(jì)。梁彎曲時(shí)，各個(gè)截面的撓度是x的函數(shù)，即有

(x)上式是撓曲線的函數(shù)表達(dá)式，亦稱(chēng)為撓曲線方程。表示。關(guān)于轉(zhuǎn)角的正負(fù)符號(hào)，規(guī)定在圖示x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)到撓曲線的切線形成的轉(zhuǎn)角為正的；反之，為負(fù)的。明顯，轉(zhuǎn)角也是隨截面位置不同而變化的，它也是截面位置x的函數(shù)，即(x)此式稱(chēng)為轉(zhuǎn)角方程。工程實(shí)際中，小變形時(shí)轉(zhuǎn)角是一個(gè)很小的量，因此可表示為dytg

”(x)dx(x)撓曲線近似微分方程對(duì)瘦長(zhǎng)梁，梁上的彎矩M和相應(yīng)截面處梁軸的曲率半徑x的函數(shù)，因此，梁的撓曲線的曲率可表為

1 M(x)(x) EI即梁的任一截面處撓曲線的曲率與該截面上的彎矩成正比，與截面的抗彎剛度EI成反比。y(x任一點(diǎn)的曲率為1 “(x) 31(”)22明顯，上述關(guān)系同樣適用于撓曲線。比較上兩式，可得“

M(x)3 EI1(”)22y和轉(zhuǎn)角數(shù)值都很小，因此，(y)21于是，該式可簡(jiǎn)化為

“

M(x)EI式中左端的正負(fù)號(hào)的選擇，與彎矩Mxoy坐標(biāo)系的選擇有關(guān)。依據(jù)彎矩M的正負(fù)符號(hào)規(guī)定，當(dāng)梁的彎矩M0時(shí)，梁的撓曲線為凹曲線，按圖示坐標(biāo)系，撓曲線的二階導(dǎo)函數(shù)值””0M0時(shí)，撓曲線為凸曲線，在圖示坐標(biāo)系中撓曲線的””

0?？梢?jiàn)，在圖示右手坐標(biāo)系中，梁上的彎矩M與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)

””符號(hào)相反。所以，上式的左端應(yīng)取負(fù)號(hào)，即“

M(x)EI上式稱(chēng)為撓曲線近似微分方程。實(shí)踐說(shuō)明，由此方程求得的撓度和轉(zhuǎn)角，對(duì)工程計(jì)算來(lái)說(shuō)，已足夠準(zhǔn)確。積分法求彎曲變形積分法計(jì)算梁的變形 Mx積分一次：′=θ

EI dxC再積分一次：

EI

dxdxCxDC、D邊界條件：〔1〕固定端約束：限制線位移和角位移 0, 0A B A A(2)鉸支座：只限制線位移ABC 0, ABCA B連續(xù)條件：左右C C

左右C C疊加法求梁的變形在第五章介紹用疊加法作彎矩圖時(shí)，曾介紹了材料力學(xué)的一個(gè)普遍原理——疊加原理。在線彈性小變形前提下，構(gòu)件的支反力、內(nèi)力、應(yīng)力和變形都可以用疊加法的方法計(jì)算。彎曲變形時(shí)，梁的撓度與轉(zhuǎn)角都與載荷成線性關(guān)系。形。應(yīng)用疊加法求梁的變形時(shí)，假設(shè)梁在簡(jiǎn)潔載荷作用時(shí)的變形，是很便利的。梁的剛度校核1、剛度條件max

或

max[ ]max l l[]——構(gòu)件的許用轉(zhuǎn)角[2、剛度校核

]、[l]——分別為構(gòu)件的許用撓度、單位長(zhǎng)度許用撓度剛度校核是檢查梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是否超過(guò)容許值，在機(jī)械工程中，一般對(duì),都進(jìn)展校核；在建筑工程中，大多數(shù)只校核撓度。梁的合理剛度設(shè)計(jì)件，梁截面的慣性矩I、材料的彈性模量E有關(guān)。故提高梁剛度的措施為：改善構(gòu)造形式，減小彎矩M；增加支承，減小跨度l；選用適宜的材料，增加彈性模量E。但因各種鋼材的彈性模量根本一樣，所以為提高梁的剛度而承受高強(qiáng)度鋼，效果并不顯著；選擇合理的截面外形，提高慣性矩I，如工字形截面、空心截面等。簡(jiǎn)潔超靜定梁的解法超靜定梁：約束反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目的梁稱(chēng)為靜不定梁。兩者數(shù)目的差稱(chēng)為靜不定次數(shù)。第七章應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)通過(guò)本章學(xué)習(xí)，把握應(yīng)力狀態(tài)的概念及其爭(zhēng)論方法；會(huì)從具有受力桿件中截取單元〔按破壞現(xiàn)象區(qū)分；了解常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的觀點(diǎn)、破壞條件、強(qiáng)度條件；把握常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力；會(huì)用強(qiáng)度理論對(duì)一些簡(jiǎn)潔的桿件構(gòu)造進(jìn)展強(qiáng)度計(jì)算。教學(xué)內(nèi)容1應(yīng)力狀態(tài)的概念；2平面應(yīng)力狀態(tài)分析；3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力；4廣義胡克定律?體應(yīng)變；⑤簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的比能；⑥講解強(qiáng)度理論的概念及材料的兩種破壞形式。⑦講解常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的根本觀點(diǎn)，并推導(dǎo)其破壞條件從而建立強(qiáng)度計(jì)算方法。⑧介紹幾種強(qiáng)度理論的應(yīng)用范圍和各自的優(yōu)缺點(diǎn)。二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：12、廣義胡克定律及其應(yīng)用。3、強(qiáng)度理論的概念、常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的觀點(diǎn)、強(qiáng)度條件及其強(qiáng)度計(jì)算。難點(diǎn)：1、應(yīng)力狀態(tài)的概念，從具體受力桿件中截面單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力狀況。2、斜截面上的應(yīng)力計(jì)算公式中關(guān)于正負(fù)符號(hào)的商定。3、應(yīng)力主平面、主應(yīng)力的概念，主應(yīng)力的大小、方向確實(shí)定。4、廣義胡克定律及其應(yīng)用；5、常用四個(gè)強(qiáng)度理論的理解。6、危急點(diǎn)確實(shí)定及其強(qiáng)度計(jì)算。三、教學(xué)方式承受啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問(wèn)題。四、建議學(xué)時(shí)6學(xué)時(shí)五、講課提綱應(yīng)力狀態(tài)的概念所謂“應(yīng)力狀態(tài)”又稱(chēng)為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)〔stateofstressesatagivenpoint〕,是指過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合。應(yīng)力為零的截面稱(chēng)為應(yīng)力主平面，簡(jiǎn)稱(chēng)為主平面。例如，圖〔c〕中a、db、c單元體的前后一對(duì)外表均為主平面。由主平面構(gòu)成的單元體稱(chēng)為主單元體，如圖〔c〕中的a、d單元體。主平面的法向稱(chēng)為應(yīng)力主方向。簡(jiǎn)稱(chēng)主方向。主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主，如圖c〕中d單元體上的及。用彈性力學(xué)方法可以證明，物體中任一點(diǎn)1 3總可找到三個(gè)相互垂直的主方向，因而每一點(diǎn)處都有三個(gè)相互垂直的主平面和三個(gè)主應(yīng)力；但在三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)或三個(gè)主應(yīng)力相等的特別狀況下，主平面及主方向便會(huì)多于三個(gè)。一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力，通常按其代數(shù)值依次用 1 2

來(lái)表示，如圖〔c〕中a、d3單元體，雖然它們都只有一個(gè)不為零且確定值相等的主應(yīng)力，但須分別用1 3據(jù)一點(diǎn)處存在幾個(gè)不為零的主應(yīng)力，可以將應(yīng)力狀態(tài)分為三類(lèi)：?jiǎn)蜗颉不蚝?jiǎn)潔〕應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)主應(yīng)力不為零。二向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)主應(yīng)力不為零。三向〔或空間〕應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零。

表示。根平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析應(yīng)力、角正負(fù)號(hào)規(guī)定為：x方向反時(shí)針轉(zhuǎn)至n的角為正值；反之為負(fù)值。角的取值區(qū)間為[0]或[/2/2]。正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。針向轉(zhuǎn)90后的方向?yàn)檎?；反之為?fù)。求面上的應(yīng)力α、α的方法，有解析法和圖解法兩種。分別介紹如下：1、解析法利用截面法，沿截面ab將圖示單元切成兩局部，取其左邊局部為爭(zhēng)論對(duì)象。設(shè)面的面積為dA，則x面、y面的面積分別為dAcos及dAsin。于是，得爭(zhēng)論對(duì)象的受力狀況如圖〔b〕示。該局部沿面法向及切向的平衡方程分別為：由此得

dA(xcosxysin)dAcos(ysinyxcos)dAsin0dA(xsinxycos)dAcos(ycosyxsin)dAsin0xcos2ysin2xyyx)sincosxy)sincosxycos2yxsin2

〔a〕由 ，cos2(1cos2)/2，sin2(1cos2)/2及2sincossin2，式〔a〕xy yx可改寫(xiě)為： x

x

cos2

sin22

xy

〔9.1〕

x ysin22

的符號(hào)規(guī)定。

這就是斜面上應(yīng)力的計(jì)算公式。應(yīng)用時(shí)肯定要遵循應(yīng)力及角由式可知，斜截面上的應(yīng)力、均為角的函數(shù)，即它們的大小和方向隨斜截面的方位而變化。現(xiàn)在來(lái)求它們的極限及平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力。對(duì)于斜截面上的正應(yīng)力，設(shè)極值時(shí)的角為0，由d/d0得d(d

)sin2y

xy

0

2 00取極值的截面上切應(yīng)力為零，即的極值便是單元體的主應(yīng)力。這時(shí)的0可由上式求得為：tan2

2 xy 0 x y上式的0在取值區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)根0及090，它說(shuō)明與有關(guān)的兩個(gè)極值〔主應(yīng)力〕的作用面〔主平面〕是相互垂直的。的兩個(gè)極值為：

〔對(duì)應(yīng)面max 0

〔對(duì)應(yīng) 90面〕min 0maxmin

xx2y22xy2 、

為平面應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力中的兩個(gè)主應(yīng)力，它的另一個(gè)主應(yīng)力為max min零。至于如何依據(jù)這三個(gè)主應(yīng)力來(lái)排列、1 2來(lái)打算。2、圖解法①應(yīng)力圓方程將斜截面應(yīng)力公式改寫(xiě)為：

、的次序，應(yīng)視3

max

、min

的具體數(shù)值 x 2

x 2

cos2xy

sin2

〔a〕

x ysin22

于是，由上述二式得到一圓方程： xy xy 2

2 2

2xx2y2xy據(jù)此，假設(shè) 、 、 ，則在以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系中，可以畫(huà)x y xyxx2y22xy出一個(gè)圓，其圓心為(x y2

,0)，半徑為

。圓周上一點(diǎn)的坐標(biāo)就代表單元體一個(gè)斜截面上的應(yīng)力。因此，這個(gè)圓稱(chēng)為應(yīng)力圓或莫爾圓。②應(yīng)力圓的畫(huà)法在x、y及xy坐標(biāo)系中，按選定的比例尺，以(x,xyy,xy)為坐標(biāo)確定〔對(duì)應(yīng)x面〔對(duì)應(yīng)y面〕〔在應(yīng)力圓中，正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，切應(yīng)力以與其作用面外法線順時(shí)鐘轉(zhuǎn)向90后的方向全都時(shí)為正。然x、y兩點(diǎn)交CC點(diǎn)圓心，以Cx或Cy為半徑畫(huà)圓，此圓就是應(yīng)力圓。③幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓上的點(diǎn)與平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的應(yīng)力有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)面對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)單元體某一方面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力值。如圖上的n點(diǎn)的坐標(biāo)即為斜截面面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)應(yīng)力圓半徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)隨之轉(zhuǎn)變，對(duì)應(yīng)地，斜截面外法線亦沿一樣方向旋轉(zhuǎn)，才能保證某一方向面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)。二倍角對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度，等于斜截面外法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。由于，在單元體中，外法線與x軸間夾角相差180的兩個(gè)面是同一截面，而應(yīng)力圓中圓心角相差360時(shí)才能為同一點(diǎn)?？臻g應(yīng)力下的應(yīng)力分析在工程中還是存在不少三向應(yīng)力狀態(tài)的問(wèn)題。例如，在地層的肯定深度處的單元體，在處，也是處于三向應(yīng)力狀態(tài)的。本節(jié)只爭(zhēng)論三個(gè)主應(yīng)力均的三向應(yīng)力狀態(tài)，對(duì)于單元體各面上既有正1 2 應(yīng)力又有切應(yīng)力的三向應(yīng)力狀態(tài)可以用彈性力學(xué)方法求得這三個(gè)主應(yīng)力對(duì)于材料力學(xué)中的問(wèn)題，可以用1 2 1 2 3析平行于三個(gè)主應(yīng)力的三組特別方向面上的應(yīng)力。在平行于主應(yīng)力1

的方向面上，可視為只有2

和 作用的平面應(yīng)力狀態(tài)在平行于主應(yīng)力3

的方向面上可視為只有和 作用1 33

的方向面上，可視為只有和1 2

作用的平面應(yīng)力狀態(tài)。并可繪出圖〔b〕示三個(gè)應(yīng)力圖，并稱(chēng)為三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓。用彈性力學(xué)方法可以證明，主單元體中任意斜截面上的正應(yīng)力及切應(yīng)力，必位于以這三個(gè)應(yīng)力圓為界的陰影區(qū)內(nèi)。由三向應(yīng)力圓可以看出，在三向應(yīng)力狀態(tài)下，代數(shù)值最大和最小的正應(yīng)力為： ， max 1 min 3而最大切應(yīng)力為

max

132上兩式也適用于三向應(yīng)力狀態(tài)的兩種特別狀況：二向應(yīng)力狀態(tài)及單向應(yīng)力狀態(tài)。廣義胡克定律1、廣義胡克定律、1 2

及 作用，如下圖。這時(shí)，我3們把沿單元體主應(yīng)力方向的線應(yīng)變稱(chēng)為主應(yīng)變，習(xí)慣上分別用、1 2

及來(lái)表示。對(duì)于連3續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性材料在單獨(dú)作用下，沿主應(yīng)力、 及方向的線應(yīng)變分別為：1 1 2 3”1

，

1

，

11 E 2 E 3 EE、為材料的彈性模量及泊松比。同理，在 和單獨(dú)作用時(shí)，上述應(yīng)變分別為：2 3

，

，

21 E”””3

2，

E3

3 E， ”””31 E 1 E 3 E將同方向的線應(yīng)變疊加得三向應(yīng)力狀態(tài)下主單元體的主應(yīng)變?yōu)椋?1[E1 1[

( ]2 3]( E2 1[

3(

)]1 )]E3

1 2 式中的1、2及3均以代數(shù)值代入，求出的主應(yīng)變?yōu)檎当硎旧扉L(zhǎng)，負(fù)值表示縮短。假設(shè)不是主單元體，則單元體各面上將作用有正應(yīng)力x、y、z和切應(yīng)力xyyx、yzzy、zxxz。單元體除了沿x、y及z方向產(chǎn)生線應(yīng)變x、y及z外，還在三個(gè)坐xy、yz、zx內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變xy、yz及zx。正應(yīng)力不會(huì)引起切應(yīng)變，切應(yīng)力也不會(huì)引起線應(yīng)變，而且切應(yīng)力引起的切應(yīng)變互不耦聯(lián)。于是，線應(yīng)變可以按推導(dǎo)式〔9.10〕的方法求得，而切應(yīng)變可以利用剪切胡克定律得到，最終有 1[E x 1[E

(y(z

],zx

xyyyzyz G 1[ ( E z x y

zxzx G上兩式稱(chēng)為廣義胡克定律。式中G為剪切彈性模量。E，G均為與材料有關(guān)的彈性常數(shù)，但三者這中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，可以證明這三個(gè)常數(shù)之間存在著如下關(guān)系：G E2(1)2、體應(yīng)變體應(yīng)變又稱(chēng)體積應(yīng)變的變形前長(zhǎng)度分別為dx、dydz，變形前的單元體體積便為V dxdydz0在三向應(yīng)力狀態(tài)下，主單元體變形后的各棱邊長(zhǎng)度將分別為(11

dx(12

dy及

dz，因此，變形后主單元體的體積為3V(11 1

)dx(12

)dy(13

)dz由于、1

及均微小，略去高階微量后3V(11 1 2

)dxdydz(13 1

3 0依據(jù)主單元體體應(yīng)變的定義，有V 1V0V

(112

)V V3 0 0 V V 1 2 30 0將三個(gè)主應(yīng)變代入上式，化簡(jiǎn)后得12(E 1 2

)3上述說(shuō)明，小變形時(shí)的連續(xù)均質(zhì)各同性線彈性體，一點(diǎn)處的體應(yīng)變V與該點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力的代數(shù)和成正比?？梢?jiàn)，小變形時(shí)連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性體內(nèi)，一點(diǎn)處的體應(yīng)變，只與過(guò)該點(diǎn)沿三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸方向正應(yīng)力的代數(shù)和成正比，而與坐標(biāo)方位和切應(yīng)力無(wú)關(guān)。3、簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能應(yīng)變能所積蓄的應(yīng)變能稱(chēng)為比能。dxdydzx面的應(yīng)力為。1作用在單元體上的外力為1

dydz，沿外力方向的位移為1

dx，外力所做的功為dW12 1

dydzdx1依據(jù)能量守恒定律，外力功全部積蓄到彈性體內(nèi)，變成了彈性體的應(yīng)變能。單元體的應(yīng)變能單元體的應(yīng)變比能為

dV

dW12 11

dxdydz

1 21111dV 2 2E應(yīng)變比能為圖〔b〕示陰影面積。在三向應(yīng)力狀態(tài)下，假設(shè)、 及 三個(gè)主應(yīng)力，各對(duì)力通過(guò)其對(duì)應(yīng)位移所做1 2 3的功的總和，便為積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能。因此dV dW

12 11

dxdydz

12 2

dxdydz

12 3

dxdydz單元體的比能為

dW

1

1dV 2 11

2 22

2 33式中的、1 2

、分別表示沿、3 1

、方向的線應(yīng)變，應(yīng)按廣義胡克定律計(jì)算，3用三個(gè)主應(yīng)力、1 2

、表示主應(yīng)變、3 1 1

、，化簡(jiǎn)后有3

)]2E 1 2 3

1 2 2 3 3 1由于單元體的變形有體積轉(zhuǎn)變和外形轉(zhuǎn)變，因此，可以將比能分為相應(yīng)的兩局部。與體積轉(zhuǎn)變對(duì)應(yīng)的比能稱(chēng)為體積轉(zhuǎn)變比能，用V

表示；與外形轉(zhuǎn)變對(duì)應(yīng)的比能稱(chēng)為外形轉(zhuǎn)變比能，用d

表示。即Vd 〔a〕現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)體積轉(zhuǎn)變比能和外形轉(zhuǎn)變比能的計(jì)算公式。將圖示單元體表示為圖b、c兩局部疊加。圖〔b〕中的三個(gè)主應(yīng)力相等，其值為平均應(yīng)力，有1( 3 1 2

)3 1 [2

2)]V 2E3(1

12(

)22E 6E 1 2 31dV

[( 6E 1

2 2 2]2 3強(qiáng)度理論1、材料的破壞形式

2 3 1下二類(lèi)：脆性斷裂切應(yīng)力狀態(tài)下的破壞。塑性屈服剪切應(yīng)力狀態(tài)下的破壞。為脆性材料，在單向壓縮時(shí)發(fā)生的破壞為脆性斷裂，圖10.10.2(b)。2、強(qiáng)度理論的概念31、2、3可能都不為零，而且會(huì)消滅不同的需重試驗(yàn)。人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)爭(zhēng)論，總結(jié)材料破壞的規(guī)律，提出了各種不同的假說(shuō)：認(rèn)為材料之所以按某種形式破壞，是由于某一特定因素〔應(yīng)力、應(yīng)變、外形轉(zhuǎn)變比能〕引起限時(shí)，材料就會(huì)發(fā)生破壞。這樣的一些假說(shuō)稱(chēng)為強(qiáng)度理論。3、常用的強(qiáng)度理論類(lèi)是解釋材料塑性屈服破壞的強(qiáng)度理論，其中有最大切應(yīng)力理論和外形轉(zhuǎn)變比能理論。①第一強(qiáng)度理論——最大拉應(yīng)力理論強(qiáng)度條件為： []1〔例如鑄鐵、玻璃、石膏等。對(duì)于存在有壓應(yīng)力的脆性材料，只要最大壓應(yīng)力值不超過(guò)最大拉應(yīng)力值，也是正確的。②其次強(qiáng)度理論—最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論〔根本淘汰〕③第三強(qiáng)度理論—最大切應(yīng)力理論強(qiáng)度條件為 []1 3該理論對(duì)于單向拉伸和單向壓縮的抗力大體相當(dāng)?shù)牟牧稀踩绲吞间摗呈沁m合的。④第四強(qiáng)度理論—最大外形轉(zhuǎn)變比能理論強(qiáng)度條件為

1[( 1[( )2(2122)2( )2]33 1試驗(yàn)說(shuō)明，對(duì)于塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果。綜合以上三個(gè)強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件，可以把它們寫(xiě)成如下的統(tǒng)一形式：rr其中r

稱(chēng)為相當(dāng)應(yīng)力。四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為 r1 1 r4對(duì)于梁來(lái)講，

1[( 1[( )2(2122)2( )2]33 1r3r4留意：1、對(duì)以上四個(gè)強(qiáng)度理論的應(yīng)用，一般說(shuō)脆性材料如鑄鐵、混凝土等用第一和其次強(qiáng)度理論；對(duì)塑性材料如低碳鋼用第三和第四強(qiáng)度理論。2、脆性材料或塑性材料，在三向拉應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)當(dāng)用第一強(qiáng)度理論；在三向壓應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)當(dāng)用第三強(qiáng)度理論或第四強(qiáng)度理論。3、第三強(qiáng)度理論概念直觀，計(jì)算簡(jiǎn)捷，計(jì)算結(jié)果偏于保守；第四強(qiáng)度理論著眼于外形轉(zhuǎn)變比能，但其本質(zhì)仍舊是一種切應(yīng)力理論。4、在不同狀況下，如何選用強(qiáng)度理論，不單純是個(gè)力學(xué)問(wèn)題，而與有關(guān)工程技術(shù)部門(mén)長(zhǎng)期積存的閱歷及依據(jù)這些閱歷制訂的一整套計(jì)算方法和許用應(yīng)力值有關(guān)。第八章 組合變形的強(qiáng)度計(jì)算一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)把握組合變形的概念。把握斜彎扭、拉〔壓〕彎、偏心拉伸〔壓縮〕等組合變形形式的概念和區(qū)分、危急截面和危急點(diǎn)確實(shí)定、應(yīng)力計(jì)算、強(qiáng)度計(jì)算、變形計(jì)算、中性軸確實(shí)定等。教學(xué)內(nèi)容講解組合變形的概念及組合變形的一般計(jì)算方法：疊加法。講解彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形內(nèi)力計(jì)算、確定危急截面和危急點(diǎn)、強(qiáng)度計(jì)算。講解拉伸〔壓縮〕和彎曲組合變形的危急截面和危急點(diǎn)分析、強(qiáng)度計(jì)算。講解偏心拉伸〔壓縮〕組合變形的危急截面和危急點(diǎn)分析、應(yīng)力計(jì)算、強(qiáng)度計(jì)算。二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：彎扭、拉〔壓〕彎、偏心拉伸〔壓縮〕等組合變形形式的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算。難點(diǎn)：1、解決組合變形問(wèn)題最關(guān)鍵的一步是將組合變形分解為兩種或兩種以上的根本變形：彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形——分解為平面彎曲和扭轉(zhuǎn)；拉伸〔壓縮〕和彎曲組合變形——分解為軸向拉伸〔壓縮〕和平面彎曲〔因剪力較小通常無(wú)視不計(jì)；偏心拉伸〔壓縮〕組合變形——單向偏心拉伸〔壓縮〕時(shí)，分解為軸向拉伸〔壓縮〕和一個(gè)平面彎曲2、組合變形的強(qiáng)度計(jì)算，可歸納為兩類(lèi)：、危急點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)：拉〔壓〕彎、偏心拉伸〔壓縮〕組合變形的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)只需求出危急點(diǎn)的最大正應(yīng)力并與材料的許用正應(yīng)力比較即可；、危急點(diǎn)為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)：彎扭組合變形的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，危急點(diǎn)處于簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，必需考慮強(qiáng)度理論。三、教學(xué)方式承受啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問(wèn)題。四、建議學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)五、講課提綱8.1狀況，統(tǒng)稱(chēng)為組合變形。對(duì)于組合變形的計(jì)算，首先按靜力等效原理，將荷載進(jìn)展簡(jiǎn)化、分解，使每一種〔組〕荷載產(chǎn)生一種根本變形；其次，分別計(jì)算各根本變形的解〔內(nèi)力、應(yīng)力、變形，最終綜合考慮各根本變形，確定危急截面和危急點(diǎn)，疊加其應(yīng)力、變形，進(jìn)展強(qiáng)度和剛度計(jì)算。拉伸〔壓縮〕與彎曲拉彎、壓彎組合變形，是工程中常常遇到的狀況，圖〔〕實(shí)際例子，現(xiàn)以圖〔a〕示矩形截面桿為例分析拉彎、壓彎組合變形的強(qiáng)度計(jì)算。11.6力F 作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)性平面xy內(nèi)，引起桿件發(fā)生平面彎曲變形中性軸是z軸；F 引起p1 p2桿件發(fā)生軸向拉伸變形。FN

F ＝MzFp2

(lx)，M

MAFz

l。所以此桿的危急截p1面為固定端截面。應(yīng)力：軸向拉伸正應(yīng)力為N”FN

Fp2

，橫截面上均勻分布A A彎曲正應(yīng)力為

MzyI

F (lx)p2I

y，橫截面上呈線性分布z疊加可得任一橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力為F

zF (lx)”

p2 p1A Iz

y 〔11.7〕所以，桿件的最大、最小正應(yīng)力發(fā)生在固定端截面〔危急截面〕a、b處，其值為 Fp2Fp1l

〔＞0，為拉應(yīng)力〕max A Wz Fp2Fp1l

〔可能為拉應(yīng)力，可能為壓應(yīng)力〕min A Wz。由于危急點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)，故塑性材料強(qiáng)度條件為脆性材料強(qiáng)度條件為

max

偏心拉伸〔壓縮〕與截面核心

tmax

tc偏心拉壓。它是拉伸〔壓縮〕彎曲的組合。彎扭組合變形一般機(jī)械傳動(dòng)軸，大多同時(shí)受到扭轉(zhuǎn)力偶和橫向力的作用，發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲組合變形?，F(xiàn)以圓截面的鋼制搖臂軸為例說(shuō)明彎扭組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算方法。1.外力簡(jiǎn)化和內(nèi)力計(jì)算將外力F向截面B形心簡(jiǎn)化，得AB軸的計(jì)算簡(jiǎn)圖，如圖〔b〕所示。橫向力F 使軸發(fā)p p生平面彎曲，而力偶矩TFp

a使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)。作AB軸的彎矩圖和扭矩圖，如圖c〔d〕所示，可見(jiàn)，固定端截面為危急截面，其上的內(nèi)力〔彎矩M 和扭轉(zhuǎn)M 〕分別為z TM Flz pM TFT p

a (a)2、應(yīng)力計(jì)算畫(huà)出固定端截面上的彎曲正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的分布圖，如圖〔e〕所示，固定端截面K1K2點(diǎn)為危急點(diǎn)，其應(yīng)力為ZMZWMW

zT (a)p式中，Wz

d3，W32 W

d316

，它們分別為圓軸的抗彎和抗扭截面模量。由于圓軸的任始終K徑都是慣性主軸，抗彎截面模量都一樣WW W，故均用W表示。 點(diǎn)的單元體如Kz y 1圖〔f〕所示。3、強(qiáng)度條件2 2 221

(b)23 02AB軸為鋼材〔塑性材料，在簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下可按第三或第四強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件。假設(shè)承受第三強(qiáng)度理論，則軸的強(qiáng)度條件為3 3r3 1

將式〔b〕代入上式，得到用危急點(diǎn)K1〔K2〕的正應(yīng)力和切應(yīng)力表示的強(qiáng)度條件242242r3將式〔a〕中的和代入上式，并留意到圓截面的W 2W，可得到用危急截面上的彎矩p和扭矩表示的強(qiáng)度條件： r3 W z

〔11.5〕1M1M2M2假設(shè)承受第四強(qiáng)度理論，則軸的強(qiáng)度條件為r4或 r4 W z

〔11.6〕1M1M20.75M2上面式中M 應(yīng)理解為是危急截面處的組合彎矩M，假設(shè)同時(shí)存在M 和M 則組合彎矩z z yM2MM2M2zy第九章 壓桿穩(wěn)定一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)深入理解彈性平衡穩(wěn)定性的概念嫻熟應(yīng)用壓桿的臨界力公式，把握桿端約束對(duì)臨界力的影響壓桿的分類(lèi)與臨界應(yīng)力曲線把握壓桿穩(wěn)定性校核的方法教學(xué)內(nèi)容穩(wěn)定的概念兩端鉸支瘦長(zhǎng)壓桿的歐拉臨界力桿端約束的影響臨界應(yīng)力曲線壓桿穩(wěn)定性的校核二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：歐拉臨界力公式、壓桿的分類(lèi)、壓桿穩(wěn)定性的校核難點(diǎn)：歐拉臨界力公式、壓桿的分類(lèi)、壓桿穩(wěn)定性的校核三、教學(xué)方式承受啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問(wèn)題。四、建議學(xué)時(shí)6五、講課提綱壓桿穩(wěn)定的概念所謂彈性壓桿的穩(wěn)定性是指彈性壓桿在中心壓力作用下的直線位形的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定受壓后的軸向縮短的變外形態(tài)的穩(wěn)定性。設(shè)有一兩端球鉸支座的彈性均質(zhì)等直桿受毫無(wú)偏心的軸向壓力作用(這就是所謂的抱負(fù)壓桿)，桿呈軸向縮短變外形態(tài)，如圖?，F(xiàn)在要推斷這種變外形態(tài)(或直線位置的平衡狀態(tài))是否穩(wěn)定。要作這種推斷，可加一微小干擾力Ｑ，使桿軸到達(dá)一個(gè)微彎曲線位置，〔a〕 〔b〕然后撤銷(xiāo)干擾力，假設(shè)桿軸能回到直線位置，則稱(chēng)初始直線位置的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；假設(shè)它連續(xù)彎曲到一個(gè)撓度更大的曲線位置去平衡，則初始直線位置的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定彈性穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則狀態(tài)是否穩(wěn)定，視所受軸向壓力FP

的大小是否超過(guò)一個(gè)僅與桿的材料、尺寸、和支承方式Fcr

而定。這個(gè)取決于桿件本身的定值Fcr

，稱(chēng)為壓桿的臨界力或臨界荷載。FP

從零漸漸增大，則桿件在直線位置的平衡狀態(tài)表現(xiàn)為：FPFPFP

F，是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；crF ，是臨界的平衡狀態(tài)；crF ，是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；cr當(dāng)F FP

時(shí)，壓桿可在直線位置平衡(當(dāng)它不受干擾時(shí))，又可在干擾賜予的微彎曲線位置平衡，這種兩可性是彈性體系的臨界平衡的重要特點(diǎn)。穩(wěn)卻是一個(gè)短促而急劇的突變過(guò)程。2、兩端鉸支瘦長(zhǎng)壓桿的歐拉臨界力FPcr

2EIl2FPcr

的方法叫做微分方程法或臨界平衡法，其思路是：從臨界平衡狀態(tài)的微彎曲線取分別體，建立臨界平衡方程，再轉(zhuǎn)換為彈性曲線的微分方程式，在不能讓通解的全積分常數(shù)都等于零的條件下得到穩(wěn)定方程式，從而得出臨界力。是端士科學(xué)家L·歐拉(L.Euler〕在1744年提出的，所以叫做歐拉公式。人們把兩端2EI鉸支的抱負(fù)壓桿稱(chēng)為歐拉壓桿，稱(chēng)為l2 為歐拉荷載。兩端鉸支瘦長(zhǎng)壓桿的歐拉臨界力

FPcr

2EIl2FPcr

的方法叫做微分方程法或臨界平衡法，其思路是：從臨界平衡狀態(tài)的微彎曲線取分別體，建立臨界平衡方程，再轉(zhuǎn)換為彈性曲線的微分方程式，在不能讓通解的全積分常數(shù)都等于零的條件下得到穩(wěn)定方程式，從而得出臨界力。上式是端士科學(xué)家L·歐拉(L.Euler〕在1744年提出的，所以叫做歐拉公式。桿端約束的影響的臨界力表達(dá)式可統(tǒng)一寫(xiě)成F 2EI或F 2EI其中：

cr l20l0

cr＝l

(l)2l稱(chēng)為壓桿的計(jì)算長(zhǎng)度或有效長(zhǎng)度。l叫做長(zhǎng)度系數(shù)。0(ａ〕一端自由一端固定壓桿 2, l0

2l(ｂ〕兩端鉸支壓桿 l l0(ｃ〕一端固定一端鉸支壓桿 0.7, l0

0.7l(ｄ〕一端固定一端夾支壓桿 0.5, l0

0.5l實(shí)際支承應(yīng)簡(jiǎn)化成什么樣的計(jì)算簡(jiǎn)圖歐拉公式的適用范圍1、柔度臨界應(yīng)力記號(hào)

A，則crF

2E I Pcr cr A l2 A0I 2Ei2但 i2，i是截面的回轉(zhuǎn)半徑，于是得 A cr l20令l /i0λ，稱(chēng)為壓桿的長(zhǎng)細(xì)比或柔度，于是有cr

2E2

2E是一常數(shù)，因此值打算著cr

的大小，長(zhǎng)細(xì)比越大，臨界應(yīng)力

Pcr

越小。上式是歐拉公式的另一形式。2、歐拉公式適用范圍：歐拉公式的適用范圍是臨界應(yīng)力不超過(guò)比例極限，即 cr P假設(shè)用的最小值P

表示歐拉公式的適用范圍，則2E2EPP在使用歐拉公式前須算一下是否大于。P的直線公式。對(duì)于中長(zhǎng)桿，承受直線閱歷公式 ab〔 λ 〕cr s P壓桿穩(wěn)定性的校核

FA

cr＝[ ]stst第十章 桿件的應(yīng)變能及其應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)讓學(xué)生把握桿件彈性應(yīng)變能的有關(guān)概念。理解和把握在工程力學(xué)有廣泛應(yīng)用的能量方法。把握功能原理、卡氏定理。能夠嫻熟地計(jì)算根本變形桿件和常見(jiàn)的組合變形桿件的應(yīng)變能。對(duì)于簡(jiǎn)潔構(gòu)造應(yīng)變能，也能夠完成應(yīng)變能的計(jì)算。能夠較為嫻熟地應(yīng)用卡氏其次定理，完成桿件的位移計(jì)算，并可以求解簡(jiǎn)潔超靜定問(wèn)題。為進(jìn)一步在構(gòu)造力學(xué)等后續(xù)課程中，學(xué)習(xí)和應(yīng)用能量方法奠定根底。教學(xué)內(nèi)容介紹能量法的有關(guān)概念。例如，外力的功、應(yīng)變能、比能等等。介紹根本變形桿件應(yīng)變能計(jì)算和組合變形桿件應(yīng)變能計(jì)算。講解功能原理、余能概念和卡氏定理。二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：建立應(yīng)變能等有關(guān)概念。根本變形桿件和常見(jiàn)的組合變形桿件的應(yīng)變能的計(jì)算?？ㄊ掀浯味ɡ砑捌鋺?yīng)用。難點(diǎn)：桿件應(yīng)變能計(jì)算中的可否疊加問(wèn)題。對(duì)于廣義力和相應(yīng)廣義位移的正確理解和生疏。應(yīng)用卡氏其次定理求位移時(shí)，如何正確地選取或設(shè)定與位移相應(yīng)的廣義力。能否正確寫(xiě)出內(nèi)力方程，敏捷地進(jìn)展先求偏導(dǎo)數(shù)再積分的運(yùn)算。三、教學(xué)方式承受啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生答復(fù)以下問(wèn)題。四、建議學(xué)時(shí)6學(xué)時(shí)五、講課提綱概述彈性體在荷載作用下將發(fā)生變形，外力作用點(diǎn)要產(chǎn)生位移．因此，在彈性體的變形過(guò)外力功。彈性體伴隨彈性變形積蓄了能量，從而具有對(duì)外界作功的潛在力量，通常把這種形式的能量稱(chēng)為彈性應(yīng)變能〔Dlasticstrainenergy〕Dlasticdeformationenerg，用V表示。假設(shè)在加載過(guò)程中動(dòng)能及其它形式的能量損耗不計(jì)，應(yīng)有VW利用上述的這種功能概念解決固體力學(xué)問(wèn)題的方法統(tǒng)稱(chēng)為能量法，相應(yīng)的根本原理統(tǒng)稱(chēng)為功能原理。應(yīng)變能和余能外力功的計(jì)算外力作功分為以下兩種狀況。一種狀況為常力作功。這里所謂常力，是指工程動(dòng)力學(xué)中，作用在不變形的剛體上使剛體產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的力。當(dāng)外力在作功過(guò)程中保持不變時(shí)，它所作的功等于外力與其相應(yīng)位移的乘積。例如，在沿外力F方向線上有線位移，則WF另一種狀況為靜荷載作功。所謂靜荷載，是指構(gòu)件所承受的荷載從零開(kāi)頭緩慢地增加到最終值，然后不隨時(shí)間轉(zhuǎn)變。靜荷載下外力功的計(jì)算式可寫(xiě)為W1F2F是廣義力，它可以是集中力或集中力偶；F相對(duì)應(yīng)的位移，稱(chēng)為廣義位移，它可以是線位移或角位移。桿件的應(yīng)變能計(jì)算桿件在各種根本變形時(shí)應(yīng)變能的計(jì)算如前所述，應(yīng)變能是依據(jù)能量守衡原理通過(guò)外力功來(lái)計(jì)算的。以下我們爭(zhēng)論的均為靜荷載問(wèn)題，動(dòng)能和其他能量的損耗不計(jì)。軸向拉伸或壓縮桿的應(yīng)變能及比能當(dāng)拉〔壓〕桿的變形處于線彈性范圍內(nèi)時(shí)，外力所作的功為 W

1Fl2則桿內(nèi)的應(yīng)變能為 V

1Fl2桿