第三章頻數(shù)分布與集中趨勢

第三章 頻數(shù)分布與集中趨勢頻數(shù)分布的補充知識百分位數(shù)百分等級內(nèi)插法莖葉圖百分位數(shù)與百分等級原始分數(shù)的不足在班級中該分數(shù)高嗎？考試成績：43在班級中該分數(shù)低嗎？百分位數(shù)與百分等級原始分數(shù)不能提供更多信息，可將其轉(zhuǎn)化為更有意義的形式，如百分位數(shù)。

百分等級：一個特定分數(shù)百分等級指的是分布中分數(shù)不高于該特定分數(shù)的人數(shù)所占的百分率。

比如，如果低于或等于43分的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的60%，則稱43分對應的百分等級為60%；百分等級和百分位數(shù)百分位數(shù)：當一個分數(shù)用它所在的百分等級描述時，該分數(shù)即為百分位數(shù)。在這組數(shù)據(jù)中第60個百分位數(shù)43分。百分等級指的是一個分數(shù)對應的百分等級，而百分位數(shù)指的是某個百分等級對應的分數(shù)。百分位數(shù)與百分等級當全班恰好有60%的人的分數(shù)等于或低于43時考試成績：43分數(shù)43具有百分等級60%分數(shù)43也被稱為第60個百分位數(shù)指百分率指一個分數(shù)累積頻數(shù)和累積百分率累積頻數(shù)：計算量表中位于或低于每個類別的個體數(shù)目的所得的值，表示了沿著量表向上時積累的個體個數(shù)。累積百分率：將累積頻數(shù)轉(zhuǎn)化為百分率，得到的值即為累積百分率，表示了沿著量表向上時累積的個體百分率。累積頻數(shù)和累積百分率累積百分率XfcfC%5120100%451995%381470%24630%12210%累積頻數(shù)累積頻數(shù)和累積百分率注意：表中的X值并非量表中的點而是區(qū)間。 例如，分數(shù)X=2的意思是這個測量處于實限1.5和2.5之間。當一個表顯示分數(shù)X=2具有累積百分率30%時，應解釋為，在達到區(qū)間X=2的上限前積累了

30%的個體個數(shù)。每個累積百分率值都與它區(qū)間的上實限對應。累積頻數(shù)和累積百分率XfcfC%5120100%451995%381470%24630%12210%X=3.5的百分等級是多少？第95個百分位數(shù)是多少？X=4的百分等級是多少？第50個百分位數(shù)是多少？內(nèi)插法內(nèi)插法是一種估計中間值的方法基本假定：一個區(qū)間從一端到另一端的變化是正常的，線性變化X=7.0位于實限6.5和7.5限定的區(qū)間內(nèi)。右方下表對應著這個實限的累積百分率分別為20%和44%數(shù)值X百分率7.544%7.0?6.520%XC%860%744%620%54%內(nèi)插法假設與A1對應的數(shù)據(jù)是B1，與A2對應的數(shù)據(jù)是B2，現(xiàn)在已知與A對應的數(shù)據(jù)是B，A介于A1和A2之間則可以按照(A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)計算得出A的數(shù)值，其中A1、A2、B1、B2、B都是已知數(shù)據(jù)。內(nèi)插法步驟：a

找出兩個量表的區(qū)間寬度；b找出中間值在區(qū)間中的位置，這個位置對應著整個區(qū)間的一個分數(shù)：分數(shù)=到區(qū)間定點的距離/區(qū)間寬度c用這個分數(shù)確定另一量表中到區(qū)間頂點的距離：距離=分數(shù)*寬度d

用這個距離決定所求值在另一個量表中的位置內(nèi)插法XfcfC%20-24220100%15-1931890%10-1431575%5-9101260%0-42210%第50個百分位數(shù)是多少？練習第80個百分位數(shù)和第40個百分位數(shù)對應的原始分數(shù)那個值高？對于下表中的數(shù)據(jù)分布找出第60個百分位數(shù)；找出39.5對應的百分等級。XfcfC%40-49425100%30-3962184%20-29101560%10-193520%0-9228%練習找出第40個百分位數(shù)；分數(shù)32對應的百分等級。XfcfC%40-49425100%30-3962184%20-29101560%10-193520%0-9228%莖葉圖數(shù)據(jù)莖葉圖83

82

63

62

93

7871

68

33

76

52

9785

42

46

32

57

5956

73

74

74

81

76排序：97

93

85

83

82

8178

76

76

74

73

7168

63

62

59

57

5652

46

42

33

323

234

265

62796

2837

1643868

35219

37莖葉莖葉圖莖葉圖：將每個數(shù)字分為兩個部分，數(shù)字的第一位或前幾位被稱為莖，數(shù)字的后幾位或最后一位被稱為葉。如X=85的莖為8，葉為5。思考：莖葉圖和頻數(shù)分布圖的比較？莖葉圖集中趨勢平均數(shù)中數(shù)眾數(shù)集中趨勢集中趨勢：是一種統(tǒng)計測量，它確定了能夠代表分布中心的一個數(shù)值。集中趨勢的目的是找到最典型的或最能代表整個數(shù)據(jù)分布的單個數(shù)值。即確認“平均的”或

“典型的”個體。注意：沒有一種測量集中趨勢的代表性數(shù)值的方法適用于所有情況。（正態(tài)分布，偏態(tài)分

布……）平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（arithmeticaverage,mean）：將分布中的所有數(shù)據(jù)相加并除以數(shù)據(jù)的個數(shù)得到的值?？傮w平均數(shù)：樣本平均數(shù)：nXMNX

平均數(shù)平均數(shù)是平衡點由上述公式可得平均數(shù)的幾個重要性質(zhì)X

nM

X

nM

0C

X

nC

X

C

Mn

n連加和計算規(guī)則CX

CX

CMn

n學習檢查

a.計算下面樣本中數(shù)據(jù)的平均數(shù)：6，1，8，0，5b.將每個數(shù)據(jù)增加4，計算之后的樣本平均數(shù)；c.將每個數(shù)據(jù)乘以5，計算之后的樣本平均數(shù)；一總體平均數(shù)為μ=80。如果每個數(shù)據(jù)增加6，新的平均數(shù)是多少？

b.如果每個數(shù)據(jù)都乘以2，新的平均數(shù)是多少？一個樣本有n=5個數(shù)據(jù)，平均值為M=8。如果增加一個 新數(shù)據(jù)2，那么新的平均數(shù)將是？加權(quán)平均數(shù)第一個樣本：n=12，M=6；第二個樣本：n=8，M=7；如果將兩個樣本合并，整體組的平均數(shù)是多少？加權(quán)平均數(shù)

數(shù)據(jù)總和

X

1

X

2數(shù)據(jù)個數(shù)

n1

n2加權(quán)平均數(shù)注意：

整體平均數(shù)并非原先兩個樣本的平均數(shù)中心。由于兩個樣本大小不同，其中一個對整體組做出了更大貢獻，因此，決定整體平均數(shù)時占了更大權(quán)數(shù)。頻數(shù)分布表計算公式j

Cjkkf

Xn

j

1f1

f2

fM

f1

XC1

f2

XC

2

fkXCk

1CnM

1

fXXf102958773625041XffX102209545875673216212500414和2015820

158

7.9CnM

1

fX表3-252名學生數(shù)學成績平均數(shù)計算表CnX

1

fX

72

.1523749

.0成績Xc頻數(shù)fF*Xc95-99972194

90-94922184

85-89873261

80-84825410

75-79778616

70-747211792

65-69679603

60-64625310

55-59574228

50-54522104

45-4947147合計5237491：下表是花園小學5年級各半語文期末考試的成績和各班人數(shù)，計算全年級的平均成績。學習檢查2：西山小學規(guī)定，評定學生一個學期的學習成績時，期中成績占40％，期末成績占60％。五（1）班楊華的算術(shù)期中成績是86分，期末成績是94分；李杰的算術(shù)成績是94分，期末成績是86分，分別計算他們的算術(shù)學期總成績。學習檢查中數(shù)中數(shù)（median）：恰好將一個分布一分為二的數(shù)值。分布中恰好有50%的個體得分高于或低于中數(shù)。一般用Md或Mdn表示。中數(shù)當N為奇數(shù)時：將所有數(shù)據(jù)由低至高按順序排列，中數(shù)就是排在中間的那個分數(shù)中數(shù)是？3，5，8，10，11當N為偶數(shù)時：將所有數(shù)據(jù)由低至高按順序排列，并找出中間的兩個數(shù)，它們的平均值即為中數(shù)。3，3，4，5，7，8

中數(shù)是？中數(shù)分布的中點，將分布圖分成相等的兩半眾數(shù)眾數(shù)：在一個頻數(shù)分布中，眾數(shù)是具有最大頻率的分數(shù)或類別。眾數(shù)（mode）用Mo表示。一個分布可能具有多個眾數(shù)。術(shù)語眾數(shù)經(jīng)常也被用來指那些具有相對高頻數(shù)的值，如果有兩個眾數(shù)的話，頻數(shù)較多的眾數(shù)稱為主要眾數(shù)，頻數(shù)較少的眾數(shù)稱為次要眾數(shù)。選擇一種集中趨勢測量平均數(shù)：用到了分布中的每個數(shù)值，通常具有很好的代表性；與方差和標準差等最常見的變異性測量具有緊密關(guān)系；通常被認為是三種集中趨勢測量中最好的一種。但是存在一些特殊情況，無法計算平均數(shù)或平均數(shù)并不是特別具有代表性。何時使用中數(shù)一、極端數(shù)值和偏態(tài)分布當一個分布含有幾個與其他數(shù)值非常不同的極端數(shù)值時，平均數(shù)可能不能很好的代表分布。此時中數(shù)是一個較好的集中趨勢測量。二、未確定數(shù)值由于存在未確定值，無法計算平均數(shù)，但是可以計算中數(shù)。何時使用中數(shù)三、尾端開放式分布當一個分布的類別沒有上限和下限時，該分布稱為尾端開放式分布。此時也不可以計算所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可以找出中數(shù)。孩子的個數(shù)（X）f5個或更3多2423326104何時使用中數(shù)四、順序量表許多研究者認為，用平均數(shù)描述順序數(shù)據(jù)的集中趨勢是不對的。當用順序量表的數(shù)據(jù)時，中數(shù)是較為合理、常采用的集中趨勢測量。何時使用眾數(shù)一、稱名量表眾數(shù)主要優(yōu)勢是它可以用來測量和描述用稱名量表測量數(shù)據(jù)的集中趨勢。二、離散變量此時眾數(shù)是更加合理的集中趨勢測量三、描述形狀經(jīng)常作為額外的無成本的平均數(shù)和中數(shù)的補充測量。不僅測量集中趨勢，而且表示了分布的形狀。練習：42請問下列數(shù)據(jù)適合用哪種幾種集中量數(shù)？學習成績（原始分數(shù)、等級）人均年收入/消費水平身高/體重飯量民族/性別鞋號/衣服尺寸壽命用圖表示平均數(shù)和中數(shù)圖形也可以用于報告和比較集中趨