第十章 機械振動

第十章機械振動第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五

1、什么是振動：物體在一固定位置附近作來回的往復運動，稱為機械振動。廣義地，凡是描述物質運動狀態(tài)的物理量，在某一固定值附近作周期性變化，都可稱該物理量作振動。振動的概念任何一個具有質量和彈性的系統(tǒng)在其運動狀態(tài)發(fā)生突變時,都會發(fā)生振動。物體在發(fā)生搖擺、顛簸、打擊、發(fā)聲之處均有振動。

前言2、振動的特征(在時間上）具有某種重復性。第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五廣義地，凡是描述物質運動狀態(tài)的物理量，在某一固定值附近作周期性變化，都可稱該物理量作振動。2、振動的特征(在時間上）具有某種重復性。廣義地說，只要某一物理量在時間上做周期性變化，就存在一種振動；如果某一物理量不僅在時間上做周期性變化，而且在空間上也做周期性變化，那么就存在一種波動在力學、電磁學、光學、原子物理學中都普遍存在振動和波動現(xiàn)象，雖然本質不同，但對它們的數(shù)學描述是完全相同的第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五以幾個例子導出系統(tǒng)簡諧振動的動力學方程，分析其動力學和運動學的共同特征，給出簡諧振動的幾何描述，介紹簡諧振動的合成，用以解決系統(tǒng)的簡諧振動問題。給出阻尼振動的微分方程以及運動學解，進一步分析弱阻尼時的系統(tǒng)的能量問題。給出受迫振動的微分方程及其運動學解，重點討論穩(wěn)態(tài)振動時的共振特征。第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五§10-1簡諧振動的動力學特征任何一個振動都可看成若干不同頻率的簡諧振動的合成。振動中最簡單最基本的是簡諧振動。第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五1）定義：構成：輕質彈簧一端固定其另一端 與剛體聯(lián)結。條件：位移限定在彈性限度內，不 計彈簧內部摩擦。2）無阻尼時的自由振動阻尼：干摩擦、濕摩擦（介質阻力）、輻射自由振動：指系統(tǒng)只受外界一次性擾動，而后的運動 只在系統(tǒng)內部恢復力作用下運動。（1）平衡位置與坐標原點：平衡位置：是系統(tǒng)處于穩(wěn)定平穩(wěn)的位置，并選該點為 坐標原點（對水平面上的彈簧振子，則是其自由伸長處）。X0xFK一、簡諧振動的幾個例子1.

彈簧振子第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五（3）慣性的作用整個系統(tǒng)是在內部線性恢復力和慣性的交互作用下來實現(xiàn)振動的?；謴土εc位移成正比而反向（線性回復力），即（2）彈性恢復力的特點：此處位移特指系統(tǒng)偏離平衡位置的位移。F=-kx

X0xFK第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五3）彈簧振子的運動微分方程由牛頓定律：以振子為對象解微分方程得：第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五4）.簡諧振動的定義—胡克定律—諧振動的微分方程—諧振動的運動方程

若物體的運動規(guī)律滿足上述方程中的任一個，則其運動為簡諧振動。第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五2）無阻尼時的自由振動（1）平衡位置與坐標原點：鉛直位置為角平衡位置，o為角坐標原點。（2）恢復力矩的特點：重力對過懸點0/的水平軸的力矩為：負號表示力矩方向始終與角位移方向相反。1）定義2、單擺對于較小幅度的擺動，

第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五3）單擺的運動微分方程由定軸轉動的轉動定律：方程的解為對于較小幅度的擺動，

第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五3.復擺

對于較小幅度的擺動，

令

整理得：1)定義2）同單擺一樣分析可得復擺運動微分方程方程的解為第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五4.扭擺實驗表明：

轉動定律得：

令

整理得：

結論：在回復力或回復力矩作用下，以平衡位置為坐標原點，簡諧振動的標準微分方程為：第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五二.簡諧振動的速度和加速度圖圖圖第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五§10.2簡諧振動的運動學

本節(jié)主要講解：根據(jù)簡諧振動的動力學方程求其運動學方程，并討論簡諧運動的運動學特征。一、簡諧振動的運動學方程方程的解為：（1）上式就是簡諧振動的運動學方程，該式又是周期函數(shù)，故簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運動。式中A和0為由初始條件所決定的兩個積分常數(shù)。第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五二、描述簡諧振動的物理量1.周期（T）完成一次全振動所用的時間：對彈簧振子：2.

頻率（）單位時間內完成的全振動的次數(shù)：的含義：個單位時間內完成的全振動的次數(shù)，即圓頻率。第十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五固有角頻率固有振動周期第十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五3.振幅定義：物體離開平衡位置的最大位移。振幅可以由初始條件決定。如：t=0時刻，第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五

4、位相和初位相位相是描述系統(tǒng)機械運動狀態(tài)的物理量。（相又指月相之相─取其具有周期性）(i)用分析法確定特殊情況下的位相

t=0時，x0=A,v0=0.(位——位置；相——變化的態(tài)勢）X0X0=+A（2）0

是t=0時刻的位相，即初位相（0—2之間取值）第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五X0

t=0時,x0=0,v0<0vX0

t=0時,x0=-A,v0=0-AX0v

t=0時,x0=0,v0>0第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五即由初始條件所決定的兩個積分常數(shù)(ii)用由初始條件決定的積分常數(shù)求初位相φ0取使x0、v0均滿足的值X0A／2

t=0時,x0=A/2,v0<0v第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五相位:⑴

相位決定了振動物體任時刻相對平衡位置的位移和速度，是反映振動物體的運動狀態(tài)的物理量。⑵為初相位，描述質點初始時刻的運動狀態(tài).⑶相位在內變化，質點無相同的運動狀態(tài)；反映出簡諧運動的周期性。相位相差為整數(shù)質點運動狀態(tài)全同。討論：第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五討論質點做諧振動，討論=0、、/2、-/2時，質點的運動狀態(tài)。位于正最大位移處，速度為零位于負最大位移處，速度為零位于平衡位置，以速度A沿x負方向運動

位于平衡位置，以速度A沿x正方向運動

第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五相位差：兩振動相位之差。討論：（1）若是的整數(shù)倍，則振動同相位；（2）若是的奇數(shù)倍，則振動相位相反；（3）若，則稱超前；（4）若，則稱落后；相位差的不同，表明二振動有不同程度的參差錯落，振動步調不同。第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五例1

一彈簧振子，t＝0時，求振動的初位相。解：因此，在第一象限，第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五總結：⑴簡諧振動是周期性運動；⑵簡諧振動各瞬時的運動狀態(tài)由振幅A、頻率及初相位決定，或者說，由振幅和相位決定。⑶簡諧振動的頻率是由振動系統(tǒng)本身固有性質決定的，而振幅和初相位不僅決定于系統(tǒng)本身性質，而且取決于初始條件。三、簡諧振動的圖象：x-t圖線

描述：質點在各個時刻的偏離平衡位置的位移。中學里經(jīng)常作正弦、余弦函數(shù)的圖象，故不再多講，請看書。第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五1、旋轉矢量的規(guī)定法則

(1)旋轉矢量的制作(2)旋轉矢量的作用：(3)旋轉矢量本身不是諧振動若已知一個諧振動

x=Acos(t+0)相應的旋轉矢量如圖所示。習慣上用

A的位置xt+t時刻t=0

時刻A的位置x0XO四、簡諧振動的旋轉矢量表示法第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五用旋轉矢量的投影表示簡諧振動。如圖示：為一長度不變的矢量，的始點在坐標軸的原點處，記時起點t=0時，矢量與坐標軸的夾角為，矢量以角速度逆時針勻速轉動。第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五由此可見：⑴勻速旋轉矢量在坐標軸上的投影即表示一特定的簡諧振動的運動學方程。⑵矢端的速度大小為，在x軸上的投影為：⑶矢端沿圓周運動的加速度即向心加速度的大小為：，在x軸上的投影：第二十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五總結：旋轉矢量、旋轉矢量端點沿圓周運動的速度和加速度在坐標軸上的投影等于特定的簡諧振動的位移、速度和加速度。因此，用旋轉矢量在坐標軸上的投影描述簡諧振動的方法叫簡諧振動的矢量表示法。第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五例：已知如圖示的諧振動曲線，試寫出振動方程.t(s)x(cm)p420-4-21解：方法一設諧振動方程為

從圖中得：A＝4cmt＝0時，x0＝-2cm，且0＜0，得得再分析，t＝1s時，x＝2cm，>0，第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五得即＝所以振動方程為方法二：用旋轉矢量法求解t(s)x(cm)p420-4-21t=0x第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五一、動能二、勢能三、總能四、動能和勢能在一個周期內的平均值設x(t)=Acos(ωt+0)v(t)=-Aωsin(ωt+0)§10-3簡諧振動的能量第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五（1）振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間作周期性變化，Ｅｋ最大，Ｅｐ=0；Ｅｐ最大，Ｅｋ=0，但任一時刻總機械能保持不變。即：動能和勢能互相轉化（3）動能和勢能的變化頻率是彈簧振子振動頻率的兩倍。

（2）諧振動的總能量與振幅的平方成正比。（適合于任何諧振系統(tǒng)）結論：討論：第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五簡諧運動勢能曲線在任意位置，動能與勢能之和為．在一周期內平均動能和平均勢能是相等的，都等于總能量的一半．第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五例題當簡諧振動的位移為振幅的一半時，其動能和勢能各占總能量的多少？物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一半？解第三十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五§10—4簡諧振動的合成一、同方向同頻率簡諧振動的合成設質點參與同方向同頻率的兩個簡諧振動：合位移：令：第三十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五則：因此，（1）⑴式表明：同方向同頻率的兩個簡諧振動合成后仍為一簡諧振動，其頻率和分振動頻率相同。或者：由簡諧振動的旋轉矢量法表示：、以頻率旋轉，、之間的夾角不變，也以旋轉，平行四邊形的形狀不變。

第三十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五討論：（1）若相位差，即同相位，則：，振幅最大；（2）若相位差，即反相位，則：，振幅最小；（3）一般情況下，振幅A介于與之間。同方向同頻率簡諧振動的原理，在光波、聲波等的干涉和衍射中很有用。第三十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期五二、同方向不同頻率簡諧振動的合成若：兩振動的周期之比：，n，m有最小公倍數(shù)，則：二振動合成后仍有周期，但不是簡諧振動，由旋轉矢量圖可知。若：周期之比