2023年分式知識(shí)點(diǎn)及典型例題

分式

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

.分式概念?-―

IW

t分式方程H二

【重要公式】1.同分母加減法則：^±￡=生(.？())

aaa

2.異分母加減法則：&±@="±女=史卅(4力0,070);

acacacac

c八#由工、4■一以、+bdbdbcbdbd

3.分式的乘法與除法：一?一=——，_+_=_?一=一

acacadacac

4.同底數(shù)基的加減運(yùn)算法則:實(shí)際是合并同類項(xiàng)

5.同底數(shù)基的乘法與除法；an=am+n;am4"a"=尸

6.積的乘方與累的乘方：(ab)三ambn,(a1")n=am

7.負(fù)指數(shù)幕：a-吐口a°=l

a'

8.乘法公式與因式分解:平方差與完全平方式

(a+b)(a-b)=a2-bL;(a+b)2=a-+2ab+b2

一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)一:分式的定義

一般地，假如A,B表達(dá)兩個(gè)整數(shù)，并且B中具有字母，那么式子介叫做分式,A為分

B

子，B為分母。

知識(shí)點(diǎn)二:與分式有關(guān)的條件

①分式故意義：分母不為O(BwO)

②分式無意義：分母為0(B=0)

4二。

③分式值為0：分子為0且分母不為0（一）

5^0

4>nf4<0

④分式值為正或大于0：分子分母同號(hào)（或）

B>0[5<0

4>0f4<0

⑤分式值為負(fù)或小于0：分子分母異號(hào)（或）

B<0[B>0

⑥分式值為1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值為-1：分子分母值互為相反數(shù)（A+B=0）

知識(shí)點(diǎn)三:分式的基本性質(zhì)

分式的分子和分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

字母表達(dá)：A=A=其中A、B、C是整式，CH0。

BB?CBB+C

拓展：分式的符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式自身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式

的值不變,即

A_-A_-A__A

萬一金一一

注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意C#0這個(gè)限制條件和隱含條件BwO。

知識(shí)點(diǎn)四:分式的約分

定義:根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

環(huán)節(jié):把分式分子分母因式分解,然后約去分子與分母的公因。

注意:①分式的分子與分母為單項(xiàng)式時(shí)可直接約分,約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，

然后約去分子分母相同因式的最低次基。

②分子分母若為多項(xiàng)式，約分時(shí)先對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。

知識(shí)點(diǎn)四：最簡分式的定義

一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫做最簡分式。

知識(shí)點(diǎn)五:分式的通分

①分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與本來的分式相

等的同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最重要的環(huán)節(jié)是最簡公分母的擬定。

最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次基的積作公分母，這樣的公分母叫

做最簡公分母。

擬定最簡公分母的一般環(huán)節(jié)：

I取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

II單獨(dú)出現(xiàn)的字母（或具有字母的式子）的幕的因式連同它的指數(shù)作為一個(gè)因式；

III相同字母（或具有字母的式子）的基的因式取指數(shù)最大的。

IV保證凡出現(xiàn)的字母（或具有字母的式子）為底的事的因式都要取。

注意:分式的分母為多項(xiàng)式時(shí),一般應(yīng)先因式分解。

知識(shí)點(diǎn)六分式的四則運(yùn)算與分式的乘方

①分式的乘除法法則：

分式乘分式,用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表達(dá)為：

ac_a?c

bd

分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表達(dá)為

acada?d

—；———■——-----

bdbcb*c

②分式的乘方:把分子、分母分別乘方。式子

③分式的加減法則：

同分母分式加減法:分母不變,把分子相加減。式子表達(dá)為

a,ba±b

一±-=----

CCC

異分母分式加減法:先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表達(dá)為

ac_ad±he

b-dbd

整式與分式加減法:可以把整式當(dāng)作一個(gè)整數(shù),整式前面是負(fù)號(hào),要加括號(hào)，看作是分

母為1的分式,再通分。

④分式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序

先乘方、再乘除、后加減，同級(jí)運(yùn)算中，誰在前先算誰，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，

也要注意靈活,提高解題質(zhì)量。

注意:在運(yùn)算過程中，要明確每一步變形的目的和依據(jù)，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨

便跳步，以便核對(duì)有無錯(cuò)誤或分析犯錯(cuò)的因素。

加減后得出的結(jié)果一定要化成最簡分式（或整式）。

知識(shí)點(diǎn)六整數(shù)指數(shù)幕

①引入負(fù)整數(shù)、零指數(shù)辱后，指數(shù)的取值范圍就推廣到了全體實(shí)數(shù)，并且正正整數(shù)幕

的法則對(duì)對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)塞同樣合用。即

-kam-an=am+n★（a"）"=anw

★（M）"=a?"★a"；a"=a"i（awO）

.faYan.1（八、

★一=—★ci=—（。w0）

IbJbna11

★a°=lQwO）（任何不等于零的數(shù)的零次累都等于1）

其中m,n均為整數(shù)。

科學(xué)記數(shù)法

若一個(gè)數(shù)x是0<x<l的數(shù)，則可以表達(dá)為axlO"（l<|a|<10,即a的整數(shù)部分只有一

位，n為整數(shù)）的形式，n的擬定n=從左邊第一個(gè)0起到第一個(gè)不為0的數(shù)為止所有的0

的個(gè)數(shù)的相反數(shù)。如0.=1.25x10-7

7個(gè)。

若一個(gè)數(shù)x是x>10的數(shù)則可以表達(dá)為axl（T（1<同<10,即a的整數(shù)部分只有一位,n

為整數(shù)）的形式，n的擬定n=比整數(shù)部分的數(shù)位的個(gè)數(shù)少10如120000000

=1.2xl08

知識(shí)點(diǎn)七分式方程的解的環(huán)節(jié)

⑴去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。（產(chǎn)生增根的過程）

⑵解整式方程,得到整式方程的解。

⑶檢查,把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：

假如最簡公分母為0,則原方程無解，這個(gè)未知數(shù)的值是原方程的增根;假如最簡公分母

不為0,則是原方程的解。

產(chǎn)生增根的條件是:①是得到的整式方程的解;②代入最簡公分母后值為0。

知識(shí)點(diǎn)八列分式方程

基本環(huán)節(jié)

①審一仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系。

②設(shè)一合理設(shè)未知數(shù)。

③列一根據(jù)等量關(guān)系列出方程(組)。

④解一解出方程(組)。注意檢查

⑤答一答題。

二、典型例題

(一)、分式定義及有關(guān)題型

題型一:考察分式的定義

【例1】下列代數(shù)式中：土」是分式的有.

42y]a+bx+yx-y

題型二:考察分式故意義的條件

【例2】當(dāng)x有何值時(shí)，下列分式故意義

。(3)--(4)2二土。(5)-L-

22

x+4x+2x-1|x|-3V_1

題型三:考察分式的值為0的條件

【例3】當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式的值為0.

式2)14^x"—2x—3

X2—5x—6

題型四：考察分式的值為正、負(fù)的條件

【例4】(1)當(dāng)x為什么值時(shí)，分式」一為正；

8-x

(2)當(dāng)x為什么值時(shí)，分式§-x為負(fù);

3+U-1)2

(3)當(dāng)x為什么值時(shí)，分式二為非負(fù)數(shù).

x+3

練習(xí):

1.當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式故意義:

(2)(3)T

⑴心(2

X+1)+114--

X

2.當(dāng)x為什么值時(shí),下列分式的值為零:

⑴…⑵抬

3.解下列不等式

(1)i^<0(2)/+5>0

x+1X2+2X+3

(-)分式的基本性質(zhì)及有關(guān)題型

1.分式的基本性質(zhì)：±=孚萼

BBxMB+M

aa

2.分式的變號(hào)法則：三_=-三

^b~~b

題型一:化分?jǐn)?shù)系數(shù)、小數(shù)系數(shù)為整數(shù)系數(shù)

【例1】不改變分式的值，把分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).

_2

(1)廣式(2)°2"0°勸

110.04a+b

-x+—y

34

題型二：分?jǐn)?shù)的系數(shù)變號(hào)

【例2】不改變分式的值,把下列分式的分子、分母的首項(xiàng)的符號(hào)變?yōu)檎?hào).

(1)(2)--(3)-士

—x—ya-b-b

題型三:化簡求值題

【例3】已知：5，求主立”夕的值.

xyx+2xy+y

提醒：整體代入，①x+y=3.②轉(zhuǎn)化出L+L

【例4】已知：x」=2,求產(chǎn)+士的值.

XX2

【例5】若—+?、?3/=。，求百的值.

練習(xí):

1.不改變分式的值,把下列分式的分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).

3

0.4〃+—b

(])0.03x-0.2y0(2)---------

0.08x+0.5>'1111

—a-----b

410

2

2.已知：x+-=3,求，T的值?

X

3.已知：，」=3,求2。+3皿-26的值.

abb-ab-a

4.若3—+1。=。，求號(hào)的值.

5.假如1<2,試化簡號(hào)一昌+4

、（三）分式的運(yùn)算

1.擬定最簡公分母的方法:

①最簡公分母的系數(shù),取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);

②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次累.

2.擬定最大公因式的方法:①最大公因式的系數(shù)取分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù);

②取分子、分母相同的字母因式的最低次基.

題型一：通分

【例1】將下列各式分別通分.

(2)h

a-b'2b-2a'

2(4)a+2,‘

x-xl-2x+x—x—2.2-a

題型二：約分

【例2】約分：（1）（2）2±2Z!L；（3）—I.

20盯3m-nx2-x-6

題型三:分式的混合運(yùn)算

【例3】計(jì)算：

（1）（退）3.（￡/+（如）4；。。（2）（9）3?2_'2）+（4）2；

-c-abax+yy+x

(3)m+In+n2tn

n-m--m-nn—tn

⑸―且_w；------------1------------H-------------

1-Xl+x1+x21+x41+x8(x-l)(x+l)(x+l)(x+3)(x+3)(x+5)

題型四：化簡求值題

【例4】先化簡后求值

（1）已知：x=-l,求分子1-。一［e?-1）-（（」）］的值;

X2-44x2X

（2）己知:臺(tái)產(chǎn),求xy+2yz-3xz的值;

2

廠+y+z2~

(3)已知：a?-3々+1=0,試求(『一___L)的值.

〃-a

題型五：求待定字母的值

【例5】若與主=」L+JL,試求M,N的值.

X2-1龍+1x-1

練習(xí)：

1.計(jì)算

(])2a+5a-1+2cl—3/Q\《J廬—2ab

72(〃+1/2(〃+1)23+1)M幺)-----------;

a—bb—a

(3)a-b+c28+3b-2c

。-。+(4)a-b+--;

a+b-cb-c+ac-a-ba+b

/r\.4ab,4ab.(\112

(5)(z。一力+---)(a+b----)；a(6a)----+----+-----；

a-ba+b\-x1+x1+x

(7)(x-2)(x-3)"(x-W-3)+(x-l)(x-2)

2.先化簡后求值

⑴土，其中。滿足八=。?

22

（2）已知x：y=2:3,求（匚匕）+［。+處（二與卜2的值?

xyXy/

5x-4AB

3.已知:試求A、B的值.

(x-l)(2x-l)x—I2x—1

4.當(dāng).為什么整數(shù)時(shí)，代數(shù)式吟答的值是整數(shù),并求出這個(gè)整數(shù)值?

（四）、整數(shù)指數(shù)幕與科學(xué)記數(shù)法

題型一:運(yùn)用整數(shù)指數(shù)第計(jì)算

【例1】計(jì)算：（1）（個(gè)）-3.（內(nèi)）3。（2）（3/冉-1）-2.（5孫43）2

⑶,⑷

題型二：化簡求值題

【例2】已知X+》T=5,求（l），+x-2的值;（2）求公+『的值.

題型三：科學(xué)記數(shù)法的計(jì)算

【例3】計(jì)算：（算（3xlO-3）x（8.2xlO-2）2；（2）（4X10-3）2+（2xio-2）3.

練習(xí)：

20072008

1.計(jì)算：(1)(1-1)-(1)-2H-|-1|+(1-V3)°+(-O.25).4

⑶(2

(2)(3-1小3”-2)-2/2“)-3加)—爐

(3/從)?(加

(4)[4(X-)，)2(x+y)-2/

[2(x+y)T(x-y)「2

2.已知2-5x+l=0,求(1)x+x-1,(2)/+*-2的值.

第二講分式方程

(-)分式方程題型分析

題型一：用常規(guī)方法解分式方程

【例1】解下列分式方程

(1);(2)---=0;(3)5—=1;(4)—=

x-1xx-3xx-lx2-1J+34-x

提醒易犯錯(cuò)點(diǎn)：①分子不添括號(hào)②漏乘整數(shù)項(xiàng)；③約去相同因式至使漏根；④忘掉驗(yàn)

根.

題型二:特殊方法解分式方程

［例2］解下列方程

(1-+—=4；/\x+7x+9x+10x+6

(o2)----+-----=-----+-----

X4-1Xx+6x+8x+9x+5

提醒：（1）換元法，設(shè)二v=y；（2）裂項(xiàng)法，土［=1+-^

x+1x+6x+6

［例3］解下列方程組

[111

=—(1)

xy2

ii_1

⑵

yz3

11

+⑶

ZX一4

題型三:求待定字母的值

【例4】若關(guān)于x的分式方程義=＞，!有增根，求機(jī)的值.

x-3x-3

【例5】若分式方程二一的解是正數(shù)，求"的取值范圍.

提酉星：且XH2,r.a<2且awT.

題型四:解具有字母系數(shù)的方程

【例6】解關(guān)于x的方程F=J（C+"HO）

h-xa

提醒：（1）a,b,c,d是已知數(shù)；（2）C+4HO.

題型五:列分式方程解應(yīng)用題

練習(xí)：

1.解下列方程：

(1)3+上=0；。⑵上一2=」一

x+11—2xx-3x-3

4(8)-1-------1=1+2^

3)-.....-T

x+2x—2X+XX—XX"-1

5口一4_2工+51,(6-,

⑸2x-4-3x-2-26

x+1x+5x+2x+4

/rr\XX—9X+1X—8

(7)----+-----=-----+-----

x-2x-7x-1x-6

2.解關(guān)于x的方程：

(1)—=—+—(/?^2a)；(2)—+—=—+—(a^b).

axbaxbx

3.假如解關(guān)于'的方程/+2二號(hào)會(huì)產(chǎn)生增根,求k的值?

4.當(dāng)我為什么值時(shí),關(guān)于'的方程31=正六鉤+1的解為非負(fù)數(shù).

5.已知關(guān)于x的分式方程誓無解，試求〃的值.

（二）分式方程的特殊解法

解分式方程，重要是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，通常的方法是去分母，并且要檢

查，但對(duì)一些特殊的分式方程,可根據(jù)其特性,采用靈活的方法求解,現(xiàn)舉例如下：

一、交叉相乘法

例1.解方程：二工；

xx+2

二、化歸法

例2.解方程：」——^-=0

x-\x2-l

三、左邊通分法

例3：解方程：—=8

x-71-x

四、分子對(duì)等法

例4.解方程：，+巴=!+2（"力

axbx

五、觀測比較法

4x5x-217

例5.解方程:--------H----------=----

5x-24x4

六、分離常數(shù)法

x+1x+81+2x+7

例6.解方程:----1----=----1----

x+2x+9x+3x+8

七、分組通分法

1111

例7.解方程:--------1--------------1--------

x+2x+5x+3x+4

（三）分式方程求待定字母值的方法

例1.若分式方程言=之無解,求”的值。

例2.若關(guān)于x的方程旨+另=后不會(huì)產(chǎn)生增根,求人的值。

例工若關(guān)于x分式方程￡+*=3有增根,求女的值。

例4.若關(guān)于X的方程下!-+與巨=與工有增根X=1，求2的值。

X-xX+xX-1

三、課后練習(xí)

一、分式

1、分式概念

1.各式中，-x+—y,—,---,—4xy,=，二r分式的個(gè)數(shù)有()

32xy5+ax71

A、I個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

?^.a-bx+35+xa+b、1-口八,

2.在-----,-----,-----,-----，2+—中，是分式的有()

2x7Ta-ba

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

?a-bx+35+yV3/,\a+h1、,口,、”人"一

3、下列各式：-----,-----,-----，一(r+21),-----,-(zx-y)中，是分式的共有()

2xn4a-bm

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

2、分式故意義

(1)當(dāng)了#一時(shí)，分式工故意義；

x+2

(2)當(dāng)x_________時(shí)，分式土里故意義；

x-1

(3)分式一2x匚+一1中，當(dāng)工=_____時(shí)，分式?jīng)]故意義，當(dāng)工=_____時(shí)，分式的值為零;

2-x

(4)當(dāng)x時(shí),分式故意義。

x2f-1

x—2

(5)當(dāng)x_________________時(shí)，分式------無意義;

3x+8

kl-3

(6)當(dāng)》=____時(shí)，分式口一無意義.

x-3

(7)當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，下列分式一定故意義的是()

2cl11

A.----B.C.■：~rD.

x+3x一2|x|x~+1

x—x

（8）.能使分式——的值為零的所有x的值是（）

X-1

Ax=0Bx=1Cx=0或x=lDx=O或x=±l

x-h

（9）已知當(dāng)x=—2時(shí)，分式——無意義，x=4時(shí),此分式的值為0,則的值等于（）

x-a

A.-6B.-2C.6D.2

4、分式的基本性質(zhì)

1.假如把」一中的X和y都擴(kuò)大5倍，那么分式的值（）

2x-3y

A擴(kuò)大5倍B不變C縮小5倍D擴(kuò)大4倍

2、若x、y的值均擴(kuò)大為本來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（）

43x3x_3x2

A、B、-C、----

2y2y22y

3.填空：現(xiàn)=—；6x（y+z）=

aaby3（y+z）2y+z

3〃（）/八、a+2

——=-------（?^0）———=

5xy\Qaxy4

J_/」一），.2x_（）；

2

（X+y）2（）x+3x+3x'

0.5X+0.2

4.不改變分式的值，使分式的分子分母各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，結(jié)果是

0.3y+l

5、下列各式中，對(duì)的的是（）

.a+ma?a+b?ab-\b-\

A.-------=—B.------=0C.-------=------

b+mba+bac-\c-1

x—y1

D.

―x2—y2~一x+y

5、約分

1、把下列各式分解因式（12分）

(1)ab+b2(2)2a2-2ab(3)-X2+9(4)2a3-8a2+8a

2、約分（16分）

，-9a2-b2

⑴黑⑵W(3)——(4)

x'-6x+9a2+ah

3、約分

x2+6x+92x+4

⑴-----------------------:⑵2?+8X+8=----------------------------

9

.八em2—3mqj人3口

4、化簡-----丁的結(jié)果是（）

9-nT

m

D、

m+3〃2+3m-33-m

6、最簡公分母

r-11

1.在解分式方程:-^-+2=-^—的過程中，去分母時(shí)，需方程兩邊都乘以最簡公分母是

x~-4x~+2x

111

2、分式丁，」口-一1—的最簡公分母為______

2x2y25xy

8、通分

1.已知x/0,4+」-+-!-等于(

)

x2x3x

A.±B.±C,AD、U

2x6x6x6x

2.化簡1一?^+上2―的結(jié)果是(

)

m-9m+3

2、2m+9

C>----D、———

m~-9m-3m+3m~-9

3、計(jì)算一1-+」一的對(duì)的結(jié)果是（

x+11-x

2x22

A、0B、-----C、D、

l-x2l-x2x1

9、分式的混合運(yùn)算

X-1V

1.(11分)先化簡，再求值：--L,其中42.

XT—1X+1

X1+2無4-1XI

2.(本題6分)先化簡，再求值:三：?-一上,其中4-上

x2-lx-\2

3、