第十講 無(wú)窮級(jí)數(shù)

第十講無(wú)窮級(jí)數(shù)第一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

引例1.用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積A.設(shè)a0表示即內(nèi)接正三角形面積,ak表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中第n項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.次相加,簡(jiǎn)記為收斂,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)并稱S

為級(jí)數(shù)的和,記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散.顯然機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1.討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五2).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.判定下列級(jí)數(shù)的斂散性（1）（3）（2）第七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五說(shuō)明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)1表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減.(用反證法可證)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.利用性質(zhì)判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（1）第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）解:所以級(jí)數(shù)(2)發(fā)散（3）解:所以級(jí)數(shù)(3)發(fā)散第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）（2）思考與練習(xí)判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:（3）（4）第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五若收斂，判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若定理1.

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若“大”級(jí)數(shù)則“小”級(jí)數(shù)(2)若“小”級(jí)數(shù)則“大”級(jí)數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù)k>0),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1.

討論p級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)若p級(jí)數(shù)收斂.第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.例2.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五的斂散性.～例3.

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五思考與練習(xí)用比較判別法判定下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)(2)(3)第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理4

.比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例5.

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五思考與練習(xí)用比值判別法判定下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)(2)(3)第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)則數(shù),且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例6.

用根值法判定下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)(2)第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例7.

證明級(jí)數(shù)收斂于S,似代替和S時(shí)所產(chǎn)生的誤差.解:

由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂.令則所求誤差為并估計(jì)以部分和Sn

近機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五四、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五五、絕對(duì)收斂與條件收斂

定義:

對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱原級(jí)收斂,數(shù)為條件收斂.例如：絕對(duì)收斂；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理7.

絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例8.

判定下列級(jí)數(shù)是否收斂？如果收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？(1)(2)(3)條件收斂.絕對(duì)收斂；發(fā)散第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例9.證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂概念:絕對(duì)收斂條件收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五思考與練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五六、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).對(duì)若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域;若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五為級(jí)數(shù)的和函數(shù),并寫成若用令余項(xiàng)則在收斂域上有表示函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和,即在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)稱它機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例如,等比級(jí)數(shù)它的收斂域是有和函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五七、冪級(jí)數(shù)第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2