第四章 動能定理

第四章動能定理第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五§4.1功一、單質(zhì)點的功1.恒力作功功的單位（焦耳）：定義：如果有一個力作用在物體上，它使物體在力的方向上發(fā)生位移，則該力對物體做功。意義：只有平行于位移的分力做功，垂直于位移的分力不做功。第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五B**A2變力的功3討論：定義式對于真實力、慣性力在慣性系、非

慣性系中都成立。(2)功是過程量，總是和一個具體的過程相聯(lián)系，

是力的時間、空間的累積效果．第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五(4)外力的總功等于各外力做功的代數(shù)和，

等于外力的合力的功。(3)功是標(biāo)量，有正負(fù)之分。第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五(5)功在坐標(biāo)系中的表示形式在直角坐標(biāo)系中在自然坐標(biāo)系中第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五（6）外力做功大小和參照系有關(guān)OZXY′K系OZ′XY′′K′系A(chǔ)FB第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五(7)質(zhì)點的位移看作質(zhì)心的位移(8)功率：做功的快慢

平均功率

瞬時功率

功率的單位

（瓦特）第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五例質(zhì)量為m的小球豎直落入水中，剛接觸水面時其速率為．設(shè)此球在水中的浮力與重力相等，水的阻力為,b為常量.求阻力對球作功與時間的函數(shù)關(guān)系．解建立如圖坐標(biāo)代入第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五二、質(zhì)點系的功1.外力對質(zhì)點系的總功(Fi:作用在質(zhì)點i上的外力)12F1F2外力對質(zhì)點系的總功等于各外力的功的代數(shù)和，但不等于“外力的合力”的功。質(zhì)點們的位移各不相同！質(zhì)心系中：外力的做功等于外力矢量和對質(zhì)心所作的功與外力在質(zhì)心系中對個質(zhì)點所作總功之和第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五重力對質(zhì)點系做功第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五質(zhì)心系中質(zhì)心坐標(biāo)為0外力大小與質(zhì)點質(zhì)量成正比，方向相同時，外力的功等于外力矢量和對質(zhì)心所作的功。第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.內(nèi)力對質(zhì)點系的總功2對1的作用1相對于2的位移N個質(zhì)點：12F12F21內(nèi)內(nèi)第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五討論：1.質(zhì)點系內(nèi)力做功用相對位移進(jìn)行計算。2.A內(nèi)＝A內(nèi)ˊ，內(nèi)力的總功與參考系的選擇無關(guān).3.雖然內(nèi)力矢量和為零，∑Fi＝0，但是內(nèi)力的總功一般不為零，即A內(nèi)≠0。例：計算木塊與地面間的內(nèi)力

（摩擦力）做功。以地面為參考系：以木塊為參考系：內(nèi)第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五三、幾種常見的力做功重力萬有引力

彈性力有心力：第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五§4.2質(zhì)點的動能定理一、質(zhì)點的動能定理兩邊同時,有（質(zhì)點）動能定理：合外力對質(zhì)點所作的功，等于質(zhì)點動能的增量．第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五16(1)功是過程量，動能是狀態(tài)量。說明：（2）只在慣性系中成立，對于非慣性系要考慮慣性力做功。（3）動能、功的數(shù)值在不同的慣性參考系中數(shù)值不同，但在慣性參考系中動能定理形式相同，即動能定理滿足伽利略變換。第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五解

例

一質(zhì)量為1.0kg的小球系在長為1.0m細(xì)繩下端，繩的上端固定在天花板上．起初把繩子放在與豎直線成30°角處，然后放手使小球沿圓弧下落．試求繩與豎直線成10°角時小球的速率．第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五由動能定理得第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五二、由動能定理求解運動狀態(tài)物體做一維運動時，如果知道力與位置的函數(shù)關(guān)系和初始速度,可以根據(jù)動能定理求出速度和位置的關(guān)系，進(jìn)而求得物體的軌跡方程。第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五§4.3質(zhì)點系的動能定理一、質(zhì)點系的動能定理內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)如果是非慣性系，要計入慣性力做功，有內(nèi)慣慣性系中，定義：對質(zhì)點i，有：兩邊同時∑：第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五二、柯尼希定理柯尼希定理:體系動能等于質(zhì)心動能與體系在質(zhì)心系中的動能之和。質(zhì)點系的動量等于質(zhì)心動量，但質(zhì)點系的動能一般不等于質(zhì)心的動能。第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五三、質(zhì)心系中的動能定理質(zhì)心系不一定是慣性參考系，當(dāng)質(zhì)點系不受力或者外力矢量和為0時才是慣性系。質(zhì)心系中動能定理的形式為：質(zhì)心系是好系，即使質(zhì)心系不是慣性系，動能定理中也不需要考慮慣性力所做的功內(nèi)質(zhì)點系動能定理內(nèi)(慣性系)內(nèi)慣(非慣性系)與慣性系中的形式一樣！第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五質(zhì)心系中動能定理的形式推導(dǎo)內(nèi)內(nèi)慣非慣性系中內(nèi)內(nèi)內(nèi)（相對位移在不同的參考系中是一樣的）第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五質(zhì)心的加速度為，慣內(nèi)慣內(nèi)內(nèi)內(nèi)由柯尼希定理，得第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五四、質(zhì)心系中質(zhì)點系的動量和動能質(zhì)心系中的體系動量：質(zhì)心系中的體系動能：柯尼希定理：質(zhì)心動能質(zhì)心系中質(zhì)點系動能靜參考系中質(zhì)點系動能質(zhì)心系中慣性力做功:慣第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五§4.4勢能一、有心力及其沿閉合路徑做功有心力：質(zhì)點在有心力場中沿任意路徑L從P點移動到Q點過程中做功為：有心力的性質(zhì)：有心力做功只與始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五二、保守力與非保守力、勢能保守力：做功只與始末位置有關(guān)而與路徑無關(guān)的力。保守力的充分必要條件：環(huán)路積分為零。常見的幾類保守力：（1）是位置的單值函數(shù)的力，如彈性力。（2）大小和方向都與位置無關(guān)的力,如重力。（3）有心力是保守力，如萬有引力，靜電力非保守力：即使始末位置相同，做功路徑有關(guān)的力。第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五勢能：

由保守力求勢能函數(shù)：取無窮遠(yuǎn)處的勢能為0，即令V(∞)＝0，則保守力場中任意一點A的勢能為勢能函數(shù)求保守力：在保守力場中定義的一個標(biāo)量函數(shù)V(r)，r是位置變量，使得保守力做功滿足A(rA→rB)＝V(rA)-V(rB)。第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五說明：2)勢能實際上只定義了勢能差值（相對值），勢能的數(shù)值（絕對值）與勢能零點的選取有關(guān)。1)勢能只對保守力才有意義3)保守力做功等于勢能的減少或勢能增量的負(fù)值。第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五4)對兩質(zhì)點體系，保守力是兩質(zhì)點間的一對相互作用內(nèi)力，勢能為相互作用物體雙方共有。5)內(nèi)力做功與參照系無關(guān)，勢能是由保守力做功的特性決定的，大小只與兩質(zhì)點的相對位置有關(guān),與所選取的參考系無關(guān)。6)如果質(zhì)點系內(nèi)任意兩點之間的作用力都是保守力，則稱該質(zhì)點系為保守體系。保守體系勢能的計算：所有質(zhì)點都在無窮遠(yuǎn)處，間隔也為無窮遠(yuǎn)，然后將n個質(zhì)點沿任意路徑移到它們所在的點，保守內(nèi)力所做的總功的負(fù)值即為該保守體系的勢能。第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五三、常見保守力的勢能函數(shù)重力：萬有引力：彈力：（零勢能點在無窮遠(yuǎn)處）（z是離開地面的高度，零勢能點在地面）（零勢能點在彈簧自由伸長處）第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五§4.5功能原理和機(jī)械能守恒定律一、功能原理內(nèi)慣性系中質(zhì)點系動能定理：內(nèi)內(nèi)質(zhì)點系機(jī)械能：內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)功能原理：內(nèi)第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五二、機(jī)械能守恒定律即機(jī)械能守恒功能原理：內(nèi)內(nèi)當(dāng)時,說明：（1）關(guān)于功和能的定理只在慣性系中成立，非慣性系中要引入非慣性力的貢獻(xiàn)。（2）能量（動能、勢能、機(jī)械能等）總是與系統(tǒng)的狀態(tài)（相對位置、速度等）相聯(lián)系，稱為狀態(tài)量。第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五三、質(zhì)心系中的功能定理非慣性系中質(zhì)點系動能定理：內(nèi)慣內(nèi)內(nèi)內(nèi)質(zhì)心系中慣性力做功：慣內(nèi)質(zhì)點系機(jī)械能：質(zhì)心系中的功能定理:內(nèi)第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五§4.6兩題問題（質(zhì)心系應(yīng)用舉例）考察慣性系中兩質(zhì)點組成的孤立體系質(zhì)心系中，兩質(zhì)點的坐標(biāo)分別為：Om1rc2rc1m2r1rcr2（1）質(zhì)心在兩質(zhì)點的連線上。（2）質(zhì)點到質(zhì)心的距離反比于質(zhì)點的質(zhì)量。第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五兩質(zhì)點的動力學(xué)方程為：定義：（約化質(zhì)量、折合質(zhì)量）即引入約化質(zhì)量，坐標(biāo)系取在一個質(zhì)點上后，兩體問題可以當(dāng)成單體問題處理，而且不需要引入慣性力。第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五由即引入約化質(zhì)量，坐標(biāo)系取在一個質(zhì)點上后，所求得的動能就是質(zhì)心系中的動能。質(zhì)心系中的動能：第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五兩質(zhì)點體系的柯尼希定理：資用能：折合質(zhì)量：相對速度:粒子物理打靶實驗m1=m2=m，v1＝0，v2=u如果是靜止靶，即則對撞：v1＝－u/2，v2=u/2m1=m2=m第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五碰撞

碰撞的特征：作用極強(qiáng)、作用時間極短碰撞的簡化模型：內(nèi)力很大，F(xiàn)內(nèi)>>F外；作用時間極短，外力的沖量趨于0，系統(tǒng)動量近似守恒在碰撞過程中，物體的位移為0。分類：彈性碰撞和非彈性碰撞彈性碰撞:碰撞前后物體保持不變，既沒有形狀

大小的變化，也沒有內(nèi)部狀態(tài)的變化。完全非彈性碰撞：

碰撞前后物體有剩余形變或狀態(tài)變化，

并且合并在一起以同一速度運動。

第三十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五一、正碰：碰撞前后兩物體的速度都沿二者中心的連線。對心正碰的圖像1）壓縮階段：m1速度逐漸減小，m2速度逐漸增大，當(dāng)兩者速度相等時，兩物體之間達(dá)到最大壓縮狀態(tài)。設(shè)壓縮階段兩者達(dá)到的共同速度是v，記彈力對m2的沖量為I。消掉v，得第四十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五恢復(fù)系數(shù)：碰撞過程中動能損失：2）