第四章 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五2微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，費(fèi)馬定理是它的預(yù)備定理，羅爾定理是它的特例，柯西定理是它的推廣。1.預(yù)備定理——費(fèi)馬(Fermat)定理費(fèi)馬（Fermat，1601-1665），法國(guó)人，與笛卡爾共同創(chuàng)立解析幾何。因提出費(fèi)馬大、小定理而著名于世。第一節(jié)微分中值定理第二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五3幾何解釋:1.預(yù)備定理——費(fèi)馬(Fermat)定理

曲線在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)如果有切線，則切線必然是水平的。第三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五4證明:極限的保號(hào)性第四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五52.羅爾(Rolle)定理xO

yCxaby=f

(x)AB幾何解釋:如果連續(xù)光滑的曲線y=f

(x)在端點(diǎn)A、B處的縱坐標(biāo)相等。那么，在曲線弧上至少有一點(diǎn)C(x,f(x))，曲線在C點(diǎn)的切線是水平的。

如果函數(shù)yf

(x)滿足條件：(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(3)f

(a)f

(b)，則至少存在一點(diǎn)x(a,b)，使得f

(x)0。第五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五6證由費(fèi)馬引理,所以最大值和最小值不可能同時(shí)在端點(diǎn)取得。第六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五7注意：

f

(x)不滿足條件(1)

f

(x)不滿足條件(3)

f

(x)不滿足條件(2)BxO

yAabxO

yABabcxO

yABab

如果定理的三個(gè)條件有一個(gè)不滿足，則定理的結(jié)論就可能不成立。第七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五8例1驗(yàn)證第八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五9

例2

不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f

(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，以及其所在范圍。解

f

(1)=f

(2)=f

(3)=0，f(x)在[1,2]，[2,3]上滿足羅爾定理的三個(gè)條件。在(1,2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x1，使f

(x1)=0，x1是

f

(x)的一個(gè)零點(diǎn)。在(2,3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x2，使f

(x2)=0，x2也是f

(x)的一個(gè)零點(diǎn)。

f

(x)是二次多項(xiàng)式，只能有兩個(gè)零點(diǎn)，分別在區(qū)間(1,2)及(2,3)內(nèi)。思考：f

(x)的零點(diǎn)呢？第九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五10例3證結(jié)論得證.

第十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五11證例4第十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五12證例5第十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五13

如果函數(shù)f

(x)滿足：(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)x(a,b)內(nèi)，使得幾何意義：

3.拉格朗日(Lagrange)中值定理C2hxO

yABaby=f(x)C1x第十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五14證明作輔助函數(shù)

第十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五15例6第十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五16拉格朗日中值公式又稱(chēng)有限增量公式.或特別地,或拉格朗日中值公式另外的表達(dá)方式：第十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五17推論1證明第十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五18推論2證明即得結(jié)論。第十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五19例7證由推論1知,第十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五20利用拉格朗日定理證明不等式例8證第二十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五21例9證由上式得第二十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五22例10證類(lèi)似可證：

推論第二十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五234.柯西(Cauchy)中值定理

設(shè)函數(shù)f

(x)及g

(x)滿足條件：(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(3)在(a,b)內(nèi)任何一點(diǎn)處g(x)均不為零，則至少存在一點(diǎn)x(a，b)內(nèi)，使得

如果取g(x)x，那么柯西中值定理就變成了拉格朗日中值定理.說(shuō)明：證略.第二十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五24P148習(xí)題四練習(xí)：第二十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五25第二節(jié)洛必達(dá)法則

在函數(shù)商的極限中，如果分子分母同是無(wú)窮小量或同是無(wú)窮大量，那么極限可能存在，也可能不存在，這種極限稱(chēng)為未定式，記為洛必達(dá)法則是求函數(shù)極限的一種重要方法.

及第二十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五26定理(洛必達(dá)法則)

(證略)

某去心鄰域內(nèi)有定義且可導(dǎo),且滿足下列條件：

和型未定式一、第二十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五27說(shuō)明：5.洛必達(dá)法則可多次使用。

只能說(shuō)此時(shí)使用洛必達(dá)法則失敗,需另想它法；

第二十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五28例1用“洛必達(dá)法則”求極限例題練習(xí):比較:因式分解，第二十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五29例2比較:第二十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五30練習(xí):或解等價(jià)無(wú)窮小替換第三十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五31例3第三十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五32例4及時(shí)分離非零因子

第三十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五33例5例6第三十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五34例6或解：及時(shí)分離非零因子

第三十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五35例7解洛必達(dá)法則失效。練習(xí)不能使用洛必達(dá)法則。解極限不存在？？第三十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五36二、其它類(lèi)型的未定式例8解法：轉(zhuǎn)化為或型不定式。步驟:第三十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五37例9步驟:第三十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五38步驟:例10對(duì)數(shù)恒等式第三十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五39例11或解(重要極限法)：

第三十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五40例12解第四十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五41例13解所以第四十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五42練習(xí)解第四十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五43解例14這是數(shù)列極限,不能直接使用洛必達(dá)法則,要先化為函數(shù)極限.第四十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五44或解例14第四十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五45小結(jié)洛必達(dá)法則第四十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五463.若不存在時(shí),不能斷定原極限是否存在,此時(shí)法則失效,改用其它方法.洛必達(dá)法則并不能解決一切未定式的極限問(wèn)題.應(yīng)用洛必達(dá)法則應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題:1.應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)要分別求分子及分母的導(dǎo)數(shù),切忌不要把函數(shù)當(dāng)做整個(gè)分式來(lái)求導(dǎo).2.洛必達(dá)法則可以累次使用,但必須注意,每次使用前需確定它是否為未定式.4.使用洛必達(dá)法則時(shí),要靈活結(jié)合其它方法,如等價(jià)無(wú)窮小替換、湊重要極限、分離非零因子、恒等變形、換元等.第四十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五47P148習(xí)題四練習(xí)：第四十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五48第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性第四十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五49函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系觀察與思考：函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)減少

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么關(guān)系？第四十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五50函數(shù)單調(diào)增加時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零；觀察結(jié)果：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)減少函數(shù)單調(diào)減少時(shí)導(dǎo)數(shù)小于零。第五十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五51定理第五十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五52證應(yīng)用拉格朗日定理,得第五十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五53例1解例2解第五十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五54例3解第五十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五55例4解第五十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五56也可用列表的方式，例4解第五十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五57

導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,稱(chēng)駐點(diǎn)第五十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五58例5證可利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式第五十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五59例6證綜上所述，第五十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五60由零點(diǎn)存在定理知，例7證利用函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根第六十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五61小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明不等式和確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù).第六十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五62P148習(xí)題四練習(xí)：第六十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五63問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?第四節(jié)

曲線的上下凸性和拐點(diǎn)第六十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五64曲線的上、下凸性就是曲線彎曲的方向.第六十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五65定義下凸—凹上凸—凸第六十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五66第六十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五67觀察與思考：

曲線的凹向與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系？拐點(diǎn)下凸上凸當(dāng)曲線是下凸的時(shí)，

f

(x)單調(diào)增加。當(dāng)曲線是上凸的時(shí)，

f

(x)單調(diào)減少。曲線凸性的判定曲線下凸與上凸的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn)。第六十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五68定理證略。第六十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五69例1解x

yO第六十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五70例2解下凸上凸下凸拐點(diǎn)拐點(diǎn)第七十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五71例3解拐點(diǎn)的求法：1.找出二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；2.若它兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)值異號(hào),則為拐點(diǎn)；若同號(hào)則不是拐點(diǎn).注意：拐點(diǎn)要寫(xiě)出縱坐標(biāo)。第七十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五72例4解第七十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五73P148習(xí)題四練習(xí)：第七十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五74一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)函數(shù)的極值與最值第七十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五75定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).注：極值是局部性的概念,極大值不一定比極小值大.

第七十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五76定理1(極值的必要條件)由費(fèi)馬引理可知，所以對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來(lái)講,極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)。

但反之不然，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).x

yO第七十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五77此外,不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),

x

yO函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn)，

x

yO第七十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五78

這就是說(shuō),極值點(diǎn)要么是駐點(diǎn),要么是不可導(dǎo)點(diǎn),兩者必居其一.

我們把駐點(diǎn)和孤立的不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值可疑點(diǎn).

下面給出兩個(gè)充分條件,用來(lái)判別這些極值可疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn).

第七十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五79定理2(極值的第一充分條件)一階導(dǎo)數(shù)變號(hào)法第七十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五80定理3(極值的第二充分判別法)稱(chēng)為“二階導(dǎo)數(shù)非零法”(1)記憶:幾何直觀；

說(shuō)明：(2)此法只適用于駐點(diǎn),不能用于判斷不可導(dǎo)點(diǎn)；

第八十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五81例1解法一列表討論極大值極小值第八十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五82例1解法二第八十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五83例2解第八十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五84例3解第八十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五85例4解列表討論極大值極小值第八十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五86例5解注意定義域！導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，第八十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五87例6解兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得

對(duì)(1)式再求導(dǎo)，得

第八十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五88根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(gè)，而x=0則是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不一致，必為極值點(diǎn)，且兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見(jiàn)x=0為極大值點(diǎn)，故f(x)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選(C).例7解xyo(A)

一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(B)

兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).(C)

兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(D)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).第八十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五89(1)確定函數(shù)的定義域；

(4)用極值的第一或第二充分條件判定.注意第二充分條件只能判定駐點(diǎn)的情形.

求極值的步驟:(3)求定義域內(nèi)部的極值嫌疑點(diǎn)(即駐點(diǎn)或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))；

第八十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五90二、函數(shù)的最值極值是局部性的,而最值是全局性的.

第九十頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五91具體求法：

第九十一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五92例8解計(jì)算比較得第九十二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五93在許多實(shí)際問(wèn)題中，往往用到求函數(shù)最值的下述方法：

第九十三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五94將邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個(gè)無(wú)蓋方盒,問(wèn)如何截,使方盒的容積最大？為多少？

設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則方盒的容積為

例9解axa-2x

第九十四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五95將邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個(gè)無(wú)蓋方盒,問(wèn)如何截,使方盒的容積最大？為多少？

求導(dǎo)得設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則方盒的容積為

例9解第九十五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五96將邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個(gè)無(wú)蓋方盒,問(wèn)如何截,使方盒的容積最大？為多少？

求導(dǎo)得設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則方盒的容積為

解例9第九十六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五97

要做一個(gè)容積為V的圓柱形罐頭筒，怎樣設(shè)計(jì)才能使所用材料最省？hr設(shè)底半徑為r,高為h，總的表面積為例10解即表面積最小.

即高與底面直徑相等.

即為最小值點(diǎn)

.

導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，是極小值點(diǎn)，第九十七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五98例11解利用最值證明不等式第九十八頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五99例12解分析數(shù)列是離散函數(shù),不能求導(dǎo),應(yīng)把n改為x,轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù),再求導(dǎo).

利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,得

導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，第九十九頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五100經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例1.平均成本(AC)最低問(wèn)題

例13設(shè)成本函數(shù)為

則平均成本為得駐點(diǎn)

此時(shí)平均成本和邊際成本均為4.

一般,當(dāng)平均成本最低時(shí),平均成本與邊際成本相等.

第一百頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五1012.最大利潤(rùn)問(wèn)題

例14利潤(rùn)函數(shù)為

解得駐點(diǎn)

第一百零一頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五102一般,利潤(rùn)函數(shù)為

其中Q為產(chǎn)量,

時(shí),利潤(rùn)最大,其中MR和MC分別表示邊際收益和邊際成本(Marginalrevenue,Marginalcost),“生產(chǎn)商為獲得最大利潤(rùn),應(yīng)將產(chǎn)量調(diào)整到邊際收益等于邊際成本的水平”.這是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要結(jié)論.

第一百零二頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五103某廠生產(chǎn)某種商品,其年銷(xiāo)售量為100萬(wàn)件,每批生產(chǎn)需增加準(zhǔn)備費(fèi)1000元,而每件商品的庫(kù)存費(fèi)為0.05元.如果年銷(xiāo)售率是均勻的(即商品庫(kù)存數(shù)為批量的一半),問(wèn)應(yīng)分幾批生產(chǎn),能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和庫(kù)存費(fèi)之和最??？

3.最優(yōu)批量—庫(kù)存問(wèn)題例15解設(shè)分x批生產(chǎn),則生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和庫(kù)存費(fèi)之和為

得唯一駐點(diǎn)

第一百零三頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五104P148習(xí)題四練習(xí)：第一百零四頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五105第六節(jié)漸近線和函數(shù)作圖一、曲線的漸近線1.水平漸近線例如有兩條水平漸近線:xy(平行于x軸的漸近線)第一百零五頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五106例如有兩條豎直漸近線:2.豎直漸近線(垂直于x軸的漸近線)第一百零六頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五1073.斜漸近線斜漸近線求法:第一百零七頁(yè)，共一百一十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五