第十二章 動(dòng)能定理

第十二章動(dòng)能定理動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理動(dòng)量原理能量原理可以研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)以機(jī)械運(yùn)動(dòng)的形式相互傳遞的情況。除了可以研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)以機(jī)械運(yùn)動(dòng)的形式相互傳遞的情況外，還可以研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它形式的運(yùn)動(dòng)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換的情況。1第一頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五本章內(nèi)容 1 力的功 2 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 3 動(dòng)能定理 4 功率、功率方程、機(jī)械效率 5 勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律 6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例2第二頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五§12-1力的功力的功是力在一段路程上對(duì)物體作用的累積效應(yīng)的度量。1常力在直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的功力的功是標(biāo)量,是過(guò)程量。單位:2變力在曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的功

元功3第三頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五弧坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式2變力在曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的功還可寫(xiě)為:又:所以:變力在一段路程上的功

元功ijk4第四頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五4兩種常見(jiàn)力的功重力的功彈性力的功5第五頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五5作用于剛體上的力的功①剛體作平移時(shí)②剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)③剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)6第六頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五6 內(nèi)力的功質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)如圖所示。FAFBABrArB一對(duì)內(nèi)力滿(mǎn)足:drABxzyO即:所以，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的距離可變化時(shí)，內(nèi)力的元功之和不為零。對(duì)剛體，內(nèi)力的元功之和恒為零。7第七頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五7約束力的功①光滑固定面約束②光滑鉸鏈支座約束、軸承dr∵∴∵∴8第八頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五③連接剛體的光滑鉸鏈(中間鉸)即：約束反力作功之和為零。④無(wú)重剛性桿約束（二力桿）與內(nèi)力的功類(lèi)似，一對(duì)約束反力作功之和為零。9第九頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五⑤不可伸長(zhǎng)的柔索因?yàn)?且繩不可伸長(zhǎng)，有:理想約束約束反力作功為零或作功之和為零的約束。所以:10第十頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五8 摩擦力的功①支承面固定時(shí)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)(靜摩擦力)dsFNF有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)(動(dòng)摩擦力)②支承面運(yùn)動(dòng)時(shí)F’F無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)（靜摩擦力）有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)（動(dòng)摩擦力）結(jié)論:一對(duì)靜摩擦力的功為零;一對(duì)動(dòng)摩擦力作負(fù)功。11第十一頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五③作用在純滾輪上的摩擦力的功如果不是純滾動(dòng)，有相對(duì)滑動(dòng)，則摩擦力作負(fù)功。接觸點(diǎn)為瞬心，滑動(dòng)摩擦力作用點(diǎn)沒(méi)動(dòng)，此時(shí)滑動(dòng)摩擦力也不做功。12第十二頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五§12-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能動(dòng)能是恒正的標(biāo)量，是瞬時(shí)量。單位:2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能3剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能應(yīng)根據(jù)剛體的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)計(jì)算。13第十三頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五(1)平動(dòng)剛體的動(dòng)能(2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能所以，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能為:14第十四頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)剛體作平面運(yùn)動(dòng)，如圖。由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)能的公式CpvC

rc(3)平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能由平行軸定理，有:所以:即:15第十五頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五4柯尼希定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能可表示為:注意：柯尼希定理只在以質(zhì)心為基點(diǎn)時(shí)成立，對(duì) 其它的基點(diǎn)不成立。即：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)系隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)

能與相對(duì)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和。16第十六頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五§12-3動(dòng)能定理1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理由牛頓第二定律兩邊點(diǎn)乘dr因?yàn)樗约此?7第十七頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式將上式積分，得到質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式18第十八頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)求和:交換求和與求微分的次序，有:可寫(xiě)為:質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式積分得到:質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式19第十九頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五rRCFT例1已知：鼓輪作純滾動(dòng)，m,解：取輪為研究對(duì)象，受力如圖。計(jì)算動(dòng)能sR,r,c,

FT=常數(shù),

=常數(shù),初始靜止。求：輪心的位移為s時(shí)，輪心C的速度和加速度。FNFmgvc設(shè)速度、角速度如圖。A20第二十頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五計(jì)算動(dòng)能計(jì)算力的功只有FT力作功將用vC

表示,有:rRCFTsFNFmgvcA21第二十一頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五計(jì)算力的功只有FT力作功積分可得全功:將

用s表示:得:因?yàn)?rRCFTsFNFmgvcAdsd22第二十二頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五由動(dòng)能定理有:(1)動(dòng)能力的功23第二十三頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五求加速度將(1)式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得:(1)24第二十四頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2(與習(xí)題類(lèi)似)已知：A輪作純滾動(dòng)：

m1,R,r,；均質(zhì)輪D:

m2,r；B塊：

m3。求：aB。解:取整體為研究對(duì)象,求加速度可用動(dòng)能定理的微分形式。計(jì)算一般位置的動(dòng)能設(shè)速度、角速度如圖。FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vB受力如圖。25第二十五頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五計(jì)算一般位置的動(dòng)能將各速度、角速度用vB表示。設(shè)輪上E點(diǎn)的速度為vE。FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vBvE26第二十六頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五將各速度關(guān)系代入動(dòng)能表達(dá)式，有:計(jì)算元功只有B塊的重力作功,設(shè)B的位移為ds,則元功為:FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vBds27第二十七頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五動(dòng)能元功由兩邊同除dt，得:所以:FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vBds28第二十八頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3已知：兩相同均質(zhì)桿,m,l,水平面光滑。初始靜止，高為h。設(shè)桿在鉛垂面內(nèi)落下。求：鉸鏈D與地面接觸時(shí)的速度。解：取整體為研究對(duì)象，mgmgFNAFNB計(jì)算動(dòng)能初動(dòng)能：D點(diǎn)下落到水平面時(shí)的動(dòng)能受力如圖。29第二十九頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五計(jì)算動(dòng)能初動(dòng)能：D落到水平面時(shí)的動(dòng)能:mgmgFNAFNBD落到水平面時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況？因?yàn)?且:所以:C質(zhì)心C的軌跡為鉛垂線(xiàn)。D點(diǎn)的軌跡也為鉛垂線(xiàn)。D點(diǎn)速度鉛垂向下。vD30第三十頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五D點(diǎn)的軌跡為鉛垂線(xiàn)。D點(diǎn)速度鉛垂向下.vDA點(diǎn)速度如圖,由vA和vD的AD桿的速度瞬心為A點(diǎn)。所以，D點(diǎn)下落到水平面時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為:同理，DB桿的速度瞬心為B點(diǎn)。vAAD方向31第三十一頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五計(jì)算力的功mgmgFNAFNB動(dòng)能由動(dòng)能定理有:所以:32第三十二頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五例12-4已知：均質(zhì)圓盤(pán)R,m,F=常量，且很大，使O向右運(yùn)動(dòng)，f,初靜止求：O走過(guò)S路程時(shí)ω、α33第三十三頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五圓盤(pán)速度瞬心為C,解：34第三十四頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五均不作功。35第三十五頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五注意：1、摩擦力Fd的功S是力在空間的位移，不是受力作用點(diǎn)的位移。將式(a)兩端對(duì)t求導(dǎo)，并利用得36第三十六頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五不作功的力可不考慮，因此亦可如下計(jì)算：2、亦可將力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化，即37第三十七頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五§12-4功率、功率方程、機(jī)械效率1功率力的功率轉(zhuǎn)矩的功率2功率方程或:3機(jī)械效率38第三十八頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五§12-5勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律1勢(shì)力場(chǎng)力場(chǎng),勢(shì)力場(chǎng)有勢(shì)力的兩個(gè)特征:1力是位置的函數(shù),即:2作功與路徑無(wú)關(guān)。2勢(shì)能勢(shì)能的定義M0

零勢(shì)位置39第三十九頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五重力勢(shì)能彈性力勢(shì)能(以z0

處為零勢(shì)位置)(以變形量為0時(shí)的點(diǎn)為零勢(shì)位置)萬(wàn)有引力場(chǎng)中的勢(shì)能若取無(wú)窮遠(yuǎn)處（r1

=∞）為零勢(shì)位置:第四十頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五用勢(shì)能表示有勢(shì)力的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中，從I位置運(yùn)動(dòng)到II位置，需計(jì)算在此過(guò)程中有勢(shì)力所作的功。取M0為零勢(shì)位置，則現(xiàn)需求因?yàn)橛袆?shì)力作功與路徑無(wú)關(guān)，所以因此:41第四十一頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五3機(jī)械能守恒定律設(shè)質(zhì)點(diǎn)系受到力全是有勢(shì)力，或在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中只有有勢(shì)力作功，則當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系從I位置運(yùn)動(dòng)到II位置時(shí)，由動(dòng)能定理，有：即:或:42第四十二頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s勻速下降，鋼索k=3.35×N/m求:輪D突然卡住時(shí)，鋼索的最大張力卡住前解：43第四十三頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五卡住前卡住時(shí)：解：44第四十四頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五得即由有45第四十五頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五§12-6質(zhì)點(diǎn)系普遍定理的綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用1 較復(fù)雜的問(wèn)題需要綜合應(yīng)用兩個(gè)或兩個(gè)以上

的定理來(lái)求解；2 同一個(gè)問(wèn)題可以用不同的定理來(lái)求解。要選 擇求解起來(lái)比較方便的定理。需要掌握各個(gè)定理的特點(diǎn)，以及該定理適合求解什么樣的問(wèn)題。46第四十六頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五1基本公式動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理守恒情況若若則則若則若則若只有有勢(shì)力作功，則47第四十七頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理2特點(diǎn)①

矢量式矢量式標(biāo)量式② 與F,v,a,t有關(guān)與M,,,t有關(guān)與F,v,s;M,,有關(guān)③ 只與外力主矢 有關(guān)與外力、內(nèi)力都有關(guān)④ 與約束力有關(guān)與約束力有關(guān)與理想約束力無(wú)關(guān)只與外力主矩有關(guān)48第四十八頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五3選用定理① 根據(jù)待求量分析若需求v~

s，~

，或a~

s，~的關(guān)系可考慮選用動(dòng)能定理若需求v~

t，s~

t

的關(guān)系動(dòng)量定理，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理若需求~

t，~

t的關(guān)系動(dòng)量矩定理，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程若需求約束反力質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，平面運(yùn)動(dòng)微分方程， 求加速度部分，可配合用動(dòng)能定理。49第四十九頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五② 根據(jù)受力的特點(diǎn)分析若或動(dòng)量守恒，或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒若或動(dòng)量矩守恒若只有有勢(shì)力作功機(jī)械能守恒③ 根據(jù)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析若剛體作平移質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，或動(dòng)能定理若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，或動(dòng)能定理50第五十頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五① 輪作純滾動(dòng)時(shí)② 接觸處有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)③ 脫離時(shí)，接觸處的法向反力④ 突解約束問(wèn)題，剛體從靜止進(jìn)入運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí):注意正負(fù)號(hào)4剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程解題的關(guān)鍵，在于正確列出補(bǔ)充方程。51第五十一頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五⑤ 列運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程的方法基點(diǎn)法經(jīng)常是利用某些點(diǎn)的加速度的方向已知(可判斷)。寫(xiě)出質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程，然后求導(dǎo)數(shù)。要注意如不一致，則需要加負(fù)號(hào)。由動(dòng)能定理求出，求導(dǎo)后得到。由動(dòng)量矩定理求出，積分后得到。52第五十二頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：已知兩均質(zhì)輪m,R;物塊m,ｋ，純滾動(dòng)，于彈簧原長(zhǎng)處無(wú)初速釋放。求：重物下降h