高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的標(biāo)準(zhǔn)教材

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一、基礎(chǔ)知識(shí)

1．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如=a*(a0,a1)的.函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)椤?，+∞〕，當(dāng)0a1時(shí)，=a*是減函數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，=a*為增函數(shù)，它的圖象恒過(guò)定點(diǎn)〔0，1〕。

2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：。

3．對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如=lga*(a0,a1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椤?，+∞〕，值域?yàn)镽，圖象過(guò)定點(diǎn)〔1，0〕。當(dāng)0a1，=lga*為減函數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，=lga*為增函數(shù)。

4．對(duì)數(shù)的性質(zhì)〔M0,N0〕；

1〕a*=M*=lgnt;aM(a0,a1)；

2〕lgnt;ant;(MN)=lgnt;aM+lgnt;aN；

3〕lgnt;a〔〕=lgnt;aM-lgnt;aN；4〕lgnt;aMn=nlgnt;aM；，

5〕lgnt;a=lgnt;aM；6〕algnt;aM=M;7)lgnt;ab=(a,b,c0,a,c1).

5.函數(shù)=*+〔a0〕的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為和。〔請(qǐng)讀者自己用定義證明〕

6．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：假設(shè)ab,f(*)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)0，那么f(*)=0在〔a,b〕上至少有一個(gè)實(shí)根。

二、方法與例題

1．構(gòu)造函數(shù)解題。

例1已知a,b,c∈(-1,1)，求證：ab+bc+ca+10.

【證明】設(shè)f(*)=(b+c)*+bc+1(*∈(-1,1))，那么f(*)是關(guān)于*的一次函數(shù)。

所以要證原不等式成立，只需證f(-1)0且f(1)0〔由于-1a1〕.

由于f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)0，

f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，

所以f(a)0，即ab+bc+ca+10.

例2〔柯西不等式〕假設(shè)a1,a2,…,an是不全為0的實(shí)數(shù)，b1,b2,…,bn∈R，那么〔〕〔〕≥()2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在R，使ant;i=,i=1,2,…,n時(shí)成立。

【證明】令f(*)=〔〕*2-2()*+=,

由于0，且對(duì)任意*∈R,f(*)≥0，

所以△=4()-4〔〕()≤0.

開(kāi)展得〔〕()≥()2。

等號(hào)成立等價(jià)于f(*)=0有實(shí)根，即存在，使ant;i=,i=1,2,…,n。

例3設(shè)*,∈R+,*+=c,c為常數(shù)且c∈(0,2]，求u=的最小值。

【解】u==*+≥*++2

=*++2.

令*=t，那么0t=*≤,設(shè)f(t)=t+,0t≤

由于0c≤2，所以0≤1，所以f(t)在上單調(diào)遞減。

所以f(t)in=f()=+，所以u(píng)≥++2.

當(dāng)*==時(shí)，等號(hào)成立.所以u(píng)的最小值為++2.

2．指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算技巧。

例4設(shè)p,q∈R+且滿意lg9p=lg12q=lg16(p+q)，求的值。

【解】令lg9p=lg12q=lg16(p+q)=t，那么p=9t,q=12t,p+q=16t，

所以9t+12t=16