2024屆福建省德化一中、永安一中、漳平一中數學高三上期末達標檢測試題含解析

2024屆福建省德化一中、永安一中、漳平一中數學高三上期末達標檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知的內角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．下列命題為真命題的個數是（）（其中，為無理數）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．33．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與軸交于點，線段與交于點.若，則的方程為（）A． B． C． D．4．過拋物線的焦點且與的對稱軸垂直的直線與交于，兩點，，為的準線上的一點，則的面積為（）A．1 B．2 C．4 D．85．已知函數，若函數的極大值點從小到大依次記為，并記相應的極大值為，則的值為（）A． B． C． D．6．若實數x，y滿足條件，目標函數，則z的最大值為()A． B．1 C．2 D．07．已知F為拋物線y2＝4x的焦點，過點F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，則||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．48．已知直四棱柱的所有棱長相等，，則直線與平面所成角的正切值等于（）A． B． C． D．9．已知復數滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．610．我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺莞生一日，長一尺蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長倍？”意思是：“今有蒲草第天長高尺，蕪草第天長高尺以后，蒲草每天長高前一天的一半，蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數是（）（結果采取“只入不舍”的原則取整數，相關數據：，）A． B． C． D．11．如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（）A． B． C． D．12．已知函數是定義在R上的奇函數，且滿足，當時，（其中e是自然對數的底數），若，則實數a的值為()A． B．3 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，所對的邊分別邊，且，設角的角平分線交于點，則的值最小時，___.14．已知是拋物線的焦點，過作直線與相交于兩點，且在第一象限，若，則直線的斜率是_________．15．如圖，兩個同心圓的半徑分別為和，為大圓的一條直徑，過點作小圓的切線交大圓于另一點，切點為，點為劣弧上的任一點（不包括兩點），則的最大值是__________．16．定義，已知，，若恰好有3個零點，則實數的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若曲線、交于、兩點，是曲線上的動點，求面積的最大值.18．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設點在曲線上，點在曲線上，且為正三角形．（1）求點，的極坐標；（2）若點為曲線上的動點，為線段的中點，求的最大值．19．（12分）在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若求的長.20．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產品需要費用元，設表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列．21．（12分）已知函數，設為的導數，．（1）求，；（2）猜想的表達式，并證明你的結論．22．（10分）如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由，化簡得到的值，根據余弦定理和基本不等式，即可求解.【題目詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當且僅當時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【題目點撥】本題主要考查了代數式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.2、C【解題分析】

對于①中，根據指數冪的運算性質和不等式的性質，可判定值正確的；對于②中，構造新函數，利用導數得到函數為單調遞增函數，進而得到，即可判定是錯誤的；對于③中，構造新函數，利用導數求得函數的最大值為，進而得到，即可判定是正確的.【題目詳解】由題意，對于①中，由，可得，根據不等式的性質，可得成立，所以是正確的；對于②中，設函數，則，所以函數為單調遞增函數，因為，則又由，所以，即，所以②不正確；對于③中，設函數，則，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【題目點撥】本題主要考查了不等式的性質，以及導數在函數中的綜合應用，其中解答中根據題意，合理構造新函數，利用導數求得函數的單調性和最值是解答的關鍵，著重考查了構造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.3、D【解題分析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【題目詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【題目點撥】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標準方程的求解.4、C【解題分析】

設拋物線的解析式，得焦點為，對稱軸為軸，準線為，這樣可設點坐標為，代入拋物線方程可求得，而到直線的距離為，從而可求得三角形面積．【題目詳解】設拋物線的解析式，則焦點為，對稱軸為軸，準線為，∵直線經過拋物線的焦點，，是與的交點，又軸，∴可設點坐標為，代入，解得，又∵點在準線上，設過點的的垂線與交于點，，∴.故應選C.【題目點撥】本題考查拋物線的性質，解題時只要設出拋物線的標準方程，就能得出點坐標，從而求得參數的值．本題難度一般．5、C【解題分析】

對此分段函數的第一部分進行求導分析可知，當時有極大值，而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán)，而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點的通項公式，且相應極大值，分組求和即得【題目詳解】當時，，顯然當時有，，∴經單調性分析知為的第一個極值點又∵時，∴，，，…，均為其極值點∵函數不能在端點處取得極值∴，，∴對應極值，，∴故選：C【題目點撥】本題考查基本函數極值的求解，從函數表達式中抽離出相應的等差數列和等比數列，最后分組求和，要求學生對數列和函數的熟悉程度高，為中檔題6、C【解題分析】

畫出可行域和目標函數，根據平移得到最大值.【題目詳解】若實數x，y滿足條件，目標函數如圖：當時函數取最大值為故答案選C【題目點撥】求線性目標函數的最值:當時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最大，在軸截距最小時，z值最小；當時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大.7、C【解題分析】

將直線方程代入拋物線方程，根據根與系數的關系和拋物線的定義即可得出的值．【題目詳解】F（1，0），故直線AB的方程為y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，可得x2﹣6x+1＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數的關系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由拋物線的定義可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故選C．【題目點撥】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．8、D【解題分析】

以為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系．求解平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解.【題目詳解】如圖所示的直四棱柱，，取中點，以為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系．設，則，．設平面的法向量為，則取，得．設直線與平面所成角為，則，，∴直線與平面所成角的正切值等于故選：D【題目點撥】本題考查了向量法求解線面角，考查了學生空間想象，邏輯推理，數學運算的能力，屬于中檔題.9、B【解題分析】

設，，利用復數幾何意義計算.【題目詳解】設，由已知，，所以點在單位圓上，而，表示點到的距離，故.故選：B.【題目點撥】本題考查求復數模的最大值，其實本題可以利用不等式來解決.10、C【解題分析】

由題意可利用等比數列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度，進而可得：，解出即可得出．【題目詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為據題意得：，解得2n＝12，∴n21．故選：C．【題目點撥】本題考查了等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．11、D【解題分析】

先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離，再加上側面三角形的高，即可求解.【題目詳解】設四個支點所在球的小圓的圓心為，球心為，由題意，球的體積為，即可得球的半徑為1，又由邊長為的正方形硬紙，可得圓的半徑為，利用球的性質可得，又由到底面的距離即為側面三角形的高，其中高為，所以球心到底面的距離為.故選：D.【題目點撥】本題主要考查了空間幾何體的結構特征，以及球的性質的綜合應用，著重考查了數形結合思想，以及推理與計算能力，屬于基礎題.12、B【解題分析】

根據題意，求得函數周期，利用周期性和函數值，即可求得.【題目詳解】由已知可知，，所以函數是一個以4為周期的周期函數，所以，解得，故選：B.【題目點撥】本題考查函數周期的求解，涉及對數運算，屬綜合基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據題意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.【題目詳解】因為，則，由余弦定理得：，當且僅當時取等號，又因為，，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查余弦定理和正弦定理的應用，以及基本不等式求最值，考查計算能力.14、【解題分析】

作出準線，過作準線的垂線，利用拋物線的定義把拋物線點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，利用平面幾何知識計算出直線的斜率．【題目詳解】設是準線，過作于，過作于，過作于，如圖，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直線斜率為．故答案為：．【題目點撥】本題考查拋物線的焦點弦問題，解題關鍵是利用拋物線的定義，把拋物線上點到焦點距離轉化為該點到準線的距離，用平面幾何方法求解．15、【解題分析】

以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，從而可得、，，，然后利用向量數量積的坐標運算可得，再根據輔助角公式以及三角函數的性質即可求解.【題目詳解】以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，則、，由，且，所以，所以，即又平分，所以，則,設，則，，所以，所以，，所以的最大值是.故答案為：【題目點撥】本題考查了向量數量積的坐標運算、利用向量解決幾何問題，同時考查了輔助角公式以及三角函數的性質，屬于中檔題.16、【解題分析】

根據題意，分類討論求解，當時，根據指數函數的圖象和性質無零點，不合題意；當時，令，得，令，得或，再分當，兩種情況討論求解.【題目詳解】由題意得：當時，在軸上方，且為增函數，無零點，至多有兩個零點，不合題意；當時，令，得，令，得或，如圖所示：當時，即時，要有3個零點，則，解得；當時，即時，要有3個零點，則，令，，所以在是減函數，又，要使，則須，所以.綜上：實數的取值范圍是.故答案為：【題目點撥】本題主要考查二次函數，指數函數的圖象和分段函數的零點問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，利用導數判斷函數單調性，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解題分析】

（1）在曲線的參數方程中消去參數，可得出曲線的普通方程，將曲線的極坐標方程變形為，進而可得出曲線的直角坐標方程；（2）求出點到直線的最大距離，以及直線截圓所得弦長，利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【題目詳解】（1）由曲線的參數方程得，.所以，曲線的普通方程為，將曲線的極坐標方程變形為，所以，曲線的直角坐標方程為；（2）曲線是圓心為，半徑為為圓，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的最大距離為，，因此，的面積為最大值為.【題目點撥】本題考查曲線的參數方程、極坐標方程與普通方程之間的相互轉換，同時也考查了直線截圓所形成的三角形面積最值的計算，考查計算能力，屬于中等題.18、（1），；（2）.【解題分析】

（1）利用極坐標和直角坐標的互化公式，即得解；（2）設點的直角坐標為，則點的直角坐標為．將此代入曲線的方程，可得點在以為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為，即得解.【題目詳解】（1）因為點在曲線上，為正三角形，所以點在曲線上．又因為點在曲線上，所以點的極坐標是，從而，點的極坐標是．（2）由（1）可知，點的直角坐標為，B的直角坐標為設點的直角坐標為，則點的直角坐標為．將此代入曲線的方程，有即點在以為圓心，為半徑的圓上．，所以的最大值為．【題目點撥】本題考查了極坐標和參數方程綜合，考查了極坐標和直角坐標互化，參數方程的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的長，進而由三角形的面積公式求得三角形的面積.（2）利用誘導公式求得，進而求得，利用兩角差的正弦公式，求得，在三角形中利用正弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得的長.【題目詳解】（1）在中，，解得，.（2）在中，，..【題目點撥】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.20、（1）；（2）見解析.【解題分析】

（1）利用獨立事件的概率乘法公式可計算出所求事件的概率；（2）由題意可知隨機變量的可能取值有、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，由此可得出隨機變量的分布列.【題目詳解】（1）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件，則；（2）由題意可知，隨機變量的可能取值為、、．則，，．故的分布列為【題目點撥】本題考查概率的計算，同時也考查了隨機變量分布列，考查計算能力，屬于基礎題.21、,；，證明見解析【解題分析】

對函數進行求導,并通過三角恒等變換進行轉化求得的表達式,對函數再進行求導并通過三角恒等變換進行轉化求得的表達式;根據中，的表達式進行歸納猜想,再利用數學歸納法證明即可.【題目詳解】（1），其中，[，其中，（2）猜想，下面用數學歸納法證明：①當時，成立，②假設時，猜想成立即當時，當時，猜想成立由①