天津博文中學2021年高三數(shù)學理模擬試卷含解析

天津博文中學2021年高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.同時具有性質(zhì)：“①最小正周期是；②圖象關于直線對稱；③在上是增函數(shù)”的一個函數(shù)是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C略2.已知函數(shù)對任意的有，且當時，，則函數(shù)的大致圖象為（

）

參考答案：D試題分析：故函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)圖象，選D.考點：函數(shù)圖象與性質(zhì)．3.設集合U＝AUB,A={1，2，3}，AB={1}，則＝

（A）{2}(B){3}(C){1，2，3}(D){2，3}參考答案：D4.設實數(shù)a使得不等式對任意實數(shù)x恒成立，則滿足條件的a所組成的集合是(

)A．

B．

C．

D．[－3,3]參考答案：A令，則有，排除B、D。由對稱性排除C，從而只有A正確。一般地，對k∈R，令，則原不等式為，由此易知原不等式等價于，對任意的k∈R成立。由于，所以，從而上述不等式等價于。5.若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為()A．1

B．2

C．1或2

D．－1參考答案：B6.已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)滿足=3，且的導數(shù)在R上恒有，則不等式的解集為（

）A．

B．

C．

D．∪參考答案：A7.某單位員工按年齡分為A，B，C三組，其人數(shù)之比為5：4：1，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，若C組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該單位員工總數(shù)為（）A．110 B．100 C．90 D．80參考答案：B【考點】極差、方差與標準差．【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求出C抽取的人數(shù)，利用甲、乙二人均被抽到的概率是，直接進行計算即可【解答】解：∵按年齡分為A，B，C三組，其人數(shù)之比為5：4：1，∴從中抽取一個容量為20的樣本，則抽取的C組數(shù)為×20=2，設C組總數(shù)為m，則甲、乙二人均被抽到的概率為==，即m（m﹣1）=90，解得m=10．設總體中員工總數(shù)為x，則由==，可得x=100，故選：B．8.若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．參考答案：B時，由得（畫圖確定只有兩個解），故有3個零點等價于有1個零點，畫出的圖像，數(shù)形結(jié)合可得實數(shù)的取值范圍是，故選B.9.函數(shù)的大致圖象如圖所示，則等于A.

B.

C.

D.參考答案：C函數(shù)過原點，所以。又且，即且，解得，所以函數(shù)。所以，由題意知識函數(shù)的極值點，所以是的兩個根，所以，，所以。10.如圖所示是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體外接球的表面積為

A.8B.16

C.32D.64參考答案：C

【知識點】由三視圖求面積、體積．G2解析：由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，其外接球，與以俯視圖為底面，以4為高的直三棱柱的外接球相同，如圖所示：由底面底邊長為4，高為2，故底面為等腰直角三角形，可得底面外接圓的半徑為：r=2，由棱柱高為4，可得球心距為2，故外接球半徑為：R==2，故外接球的表面積S=4πR2=32π，故選：C【思路點撥】由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，其外接球，與以俯視圖為底面，以4為高的直三棱柱的外接球相同，進而可得該幾何體外接球的表面積．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若圓的圓心到直線（）的距離為，則

.參考答案：略12.已知向量滿足，，，則向量在向量上的投影為

；參考答案：－113.曲線在點(1,1)處的切線方程為________參考答案：略14.已知函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過三個象限，則實數(shù)a的取值范圍是______．參考答案：或【分析】分類討論函數(shù)的單調(diào)性，計算在上的最小值，根據(jù)函數(shù)經(jīng)過的象限得出最小值與零的關系，從而求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三象限，當時，，所以，①若時，恒成立，又當時，，所以函數(shù)圖象在時，經(jīng)過第一象限，符合題意；②若時，在上恒成立，當時，令，解，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又所以函數(shù)圖象在時，經(jīng)過第一象限，符合題意；（2）當時，的圖象在上，只經(jīng)過第三象限，在上恒成立，所以的圖象在上，只經(jīng)過第一象限，故不符合題意；（3）當時，在上單調(diào)遞增，故的圖象在上只經(jīng)過第三象限，所以在上的最小值，當時，令，解得，若時，即時，在上的最小值為，令.若時，則在時，單調(diào)遞減，當時，令，解得，若，在上單調(diào)遞增，故在上的最小值為，令，所以；若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上的最小值為，顯然，故；結(jié)上所述：或.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷和最值計算，考查了數(shù)學運算能力.15.已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個交點，且⊥軸，則雙曲線的離心率為

．

參考答案：略16.將長度為的線段分成段，每段長度均為正整數(shù)，并要求這段中的任意三段都不能構(gòu)成三角形．例如，當時，只可以分為長度分別為1,1,2的三段，此時的最大值為3；當時，可以分為長度分別為1,2,4的三段或長度分別為1,1,2,3的四段，此時的最大值為4．則：

（1）當時，的最大值為________；

（2）當時，的最大值為________．參考答案：（1）；（2）（注：第一問2分，第二問3分）17.為了調(diào)查城市PM2.5的值，按地域把36個城市分成甲、乙、丙三組，對應的城市數(shù)分別為6、12、18。若用分層抽樣的方法抽取12個城市，則乙組中應抽取的城市數(shù)為

。參考答案：6【知識點】分層抽樣方法．I1解析：乙組城市數(shù)所占的比例為=，樣本容量為12，故乙組中應抽取的城市數(shù)為12×=6，故答案為：6．【思路點撥】用樣本容量乘以乙組城市數(shù)所占的比例，即得乙組中應抽取的城市數(shù)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，且

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設，求．參考答案：解：（Ⅰ）∵，∴

①

②

由①－②得：

(2分)

，∵∴，又∵，∴∴

---------------(5分)當時，，符合題意.----------（6分）（Ⅱ）∵

∴-----（10分）則---------(12分)略19.已知點，點在曲線:上.（1）若點在第一象限內(nèi)，且，求點的坐標；（2）求的最小值.參考答案：略20.（本小題13分）已知橢圓：的離心率，是橢圓上兩點，是線段的中點，線段的垂直平分線與橢圓相交于兩點.（1）求直線的方程；（2）是否存在這樣的橢圓，使得以為直徑的圓過原點？若存在，求出該橢圓方程；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）離心率，橢圓：設直線的方程為，整理得

①

②

由是線段AB的中點，得

解得，代入②得，

直線的方程為（2）∵垂直平分，∴直線的方程為，即，代入橢圓方程，整理得

又設

∴假設存在這樣的橢圓，使得以為直徑的圓過原點，則得，又故不存在這樣的橢圓.21.已知數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=a，an+1=k（an+an+2）對任意n∈N*都成立，數(shù)列{an}的前n項和為Sn．（1）若{an}是等差數(shù)列，求k的值；（2）若a=1，k=﹣，求Sn；（3）是否存在實數(shù)k，使數(shù)列{am}是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項am，am+1，am+2按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有k的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式．【分析】（1）由等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)即可求得k的值；（2）由an+1=（an+an+2），an+2+an+1=﹣（an+1+an），an+3+an+2=﹣（an+2+an+1）=an+1+an，分類，根據(jù)n為偶數(shù)或奇數(shù)時，分組，即可求得Sn；（3）方法一：由題意根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，分別求得q的值，求得任意相鄰三項的順序，即可求得k的值，方法二：分類，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得a的值，即可求得k的值．【解答】解：（1）∵{an}是等差數(shù)列，則2an+1=an+an+2對任意n∈N*都成立，又an+1=k（an+an+2）對任意n∈N*都成立，∴k=．（2）∵an+1=（an+an+2），an+2+an+1=﹣（an+1+an），an+3+an+2=﹣（an+2+an+1）=an+1+an，當n是偶數(shù)時，Sn=a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）=（a1+a2）=（a+1），當n是奇數(shù)時，Sn=a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an），=a1+（a2+a3）=a1+[﹣（a1+a2）]=1﹣（a+1），n=1也適合上式．綜上可得，Sn=；（3）方法一：假設存在實數(shù)k，使數(shù)列{am}是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項am，am+1，am+2按某順序排列后成等差數(shù)列．a(chǎn)m，am+1，am+2分別表示為：am，amq，．只考慮：1，q，q2（q≠1）的三種排列即可：1，q，q2；1，q2，q；q2，1，q．可得2q=1+q2，2q2=1+q；2=q2+q．分別解得q=1；q=1或﹣；q=1或q=﹣2．∴只有q=﹣2滿足條件．∴相鄰三項am，am+1，am+2分別為：am，﹣2am，4am．∴﹣2am=k（am+4am）．解得k=﹣．方法二：設數(shù)列{am}是等比數(shù)列，則它的公比q==a，則am=am﹣1，am+1=am，am+2=am+1，…6分①若am+1為等差中項，則2am+1=am+am+2，即2am=am﹣1+am+1，解得：a=1，不合題意；②若am為等差中項，則2am=am+1+am+2，即2am﹣1=am+am+1，化簡得：a2+a﹣