2022-2023學年浙江省嘉興市武原實驗中學高二數(shù)學文期末試題含解析

2022-2023學年浙江省嘉興市武原實驗中學高二數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在區(qū)間[0,2π]上隨機取一個數(shù)x，則事件“”發(fā)生的概率為（

）A. B. C. D.．參考答案：C【分析】根據(jù)，求出的范圍，結合幾何概型，即可求出結果.【詳解】當時，由得或，因此所求概率為.故選C2.用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于”時，反設正確的是

A．假設三內角都大于

B．假設三內角都不大于

C．假設三內角至多有一個大于

D．假設三內角至多有兩個大于參考答案：A3.若函數(shù)，當時，恒成立，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：A4.有以下命題：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是不共線；②O，A，B，C為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C一定共面；③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底。其中正確的命題是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③參考答案：C【分析】根據(jù)空間向量的基底判斷②③的正誤，找出反例判斷①命題的正誤，即可得到正確選項．【詳解】解：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是不共線；所以不正確．反例：如果有一個向量為零向量，共線但不能構成空間向量的一組基底，所以不正確．②O，A，B，C為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C一定共面；這是正確的．③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底；因為三個向量非零不共線，正確．故選：C．【點睛】本題考查共線向量與共面向量，考查學生分析問題，解決問題的能力，是基礎題．5.設集合，，那么“”是“”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也條件參考答案：B6.2018年4月，中國詩詞大會第三季總決賽如期舉行，依據(jù)規(guī)則，本場比賽共有甲、乙、丙、丁、戊五位選手有機會問鼎冠軍，某家庭中三名詩詞愛好者依據(jù)選手在之前比賽中的表現(xiàn)，結合自己的判斷，對本場比賽的冠軍進行了如下猜測：爸爸：冠軍是甲或丙；媽媽：冠軍一定不是乙和丙；孩子：冠軍是丁或戊．比賽結束后發(fā)現(xiàn)：三人中只有一個人的猜測是對的，那么冠軍是（）A.甲 B.丁或戊 C.乙 D.丙參考答案：D【分析】根據(jù)猜測分類討論確定冠軍取法.【詳解】假設爸爸的猜測是對的，即冠軍是甲或丙，則媽媽的猜測是錯的，即乙或丙是冠軍，孩子的猜測是錯的，即冠軍不是丁與戊，所以冠軍是丙；假設媽媽的猜測是對的，即冠軍一定不是乙和丙；孩子的猜測是錯的，即冠軍不是丁與戊，則冠軍必為甲，即爸爸的猜測是對的，不合題意；假設孩子的猜測是對的，則媽媽的猜測也對，不合題意．故選：D．【點睛】本題考查利用合情推理，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.7.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是(

)A. B. C. D.參考答案：C【分析】首先計算出基本事件的個數(shù)，再計算出重卦恰有3個陽爻所包含的基本事件的個數(shù)，然后用古典概型概率計算公式直接計算求解即可.【詳解】所有重卦中隨機取一重卦基本事件的個數(shù)為，重卦恰有3個陽爻所包含的基本事件的個數(shù)為，因此在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是，故本題選C.【點睛】本題考查了古典概型概率的計算公式，正確計算出每個事件包含的基本事件的個數(shù)是解題的關鍵.8.復數(shù)，則它的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：C試題分析：復數(shù)的共軛復數(shù)為，在復平面內對應點的坐標為，所以位于第三象限。選C考點：復數(shù)的概念及運算9.某廠的產(chǎn)值若每年平均比上一年增長10%，經(jīng)過x年后，可以增長到原來的2倍，在求x時，所列的方程正確的是（

）A.(1+10%)x-1=2

B.(1+10%)x=2

C.(1+10%)x+1=2

D.x=(1+10%)2參考答案：B略10.A,B,C,D,E,F六人并排站成一排，如果A,B必須相鄰，那么不同的排法種數(shù)有A.種

B.種

C.種

D.

種參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列的前n項和，若，則等于______參考答案：108略12.已知函數(shù)f（x）=，若y=f（x）﹣a﹣1恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：﹣1≤a≤0或a=1或a＞3【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】分類討論，利用函數(shù)的圖象，結合y=f（x）﹣a﹣1恰有2個零點，求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：x≤1時，y=f（x）的圖象如圖所示．a(chǎn)=1時，y=f（x）﹣2恰有2個零點，滿足題意；a＜1時，a+1＜2，則0≤a+1＜2，且（1﹣a）2≤a+1，∴﹣1≤a≤0；a＞1時，a+1＞2且（1﹣a）2＞a+1，∴a＞3故答案為：﹣1≤a≤0或a=1或a＞3．13.設點A(2，－3)，B(－3，－2)，點P(x,y)是線段AB上任一點，則的取值范圍是

參考答案：k≥或k≤-4如圖，取Q（1，1），則的取值范圍等價于直線PQ的斜率k的取值范圍，∵點A（2，-3），B（-3，-2），點P（x，y）是線段AB上任一點，所以，所以k≥或k≤-4。14.中，點M在AB上且，點N在AC上，聯(lián)結MN，使△AMN與原三角形相似，則AN＝___________參考答案：略15.已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，若9+=92×（a，b為正整數(shù)），則a+b=．參考答案：89【考點】F1：歸納推理．【分析】根據(jù)已知條件得出數(shù)字之間的規(guī)律，從而表示出a，b，進而求出a+b的值．【解答】解：由已知得出：若（a，b為正整數(shù)），a=92﹣1=80，b=9，所以a+b=89，故答案為：8916．為了判斷高中三年級學生選修文理科是否與性別有關，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到2×2列聯(lián)表：

理科文科總計男131023女72027總計203050已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2=≈4.844，則認為選修文理科與性別有關系出錯的可能性約為．【答案】5%【解析】【考點】BO：獨立性檢驗的應用．【分析】根據(jù)題意，比較可得5.024＞4.844＞3.841，結合獨立性檢驗的統(tǒng)計意義，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，K2=≈4.844，又由5.024＞4.844＞3.841，而P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025，故選修文理科與性別有關系出錯的可能性約為5%，故答案為：5%16.若是純虛數(shù)，則的值是。參考答案：

-17.已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x在區(qū)間[2,3]上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：[－2，＋∞)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)已知函數(shù)，(x≥1).(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調性，并說明理由；(2)若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(3)求證：[(n+1)!]2>(n+1)en-2，(n∈N*).

參考答案：解：(1)，∵x≥1，∴l(xiāng)nx≥0，故f(x)在[1，+∞)遞減.……3分，記，

……5分∴

，再令h(x)=x－lnx，則，∵x≥1，則h′(x)≥0，∴h(x)在[1，+∞)上遞增，∴[h(x)]min=g(1)=2，從而則g′(x)>0，

故g(x)在[1，+∞)上也單調遞增，∴[g(x)]min=g(1)=2，∴k≤2.……8分(3)方法1

由(2)知：恒成立，即.令x=n(n+1)，則，

……10分∴，，，

……12分，疊加得，，∴1×22×32×…×n2(n+1)>en-2，故[(n+1)!]2>(n+1)en-2，(n∈N*).

……14分方法2：用數(shù)學歸納法證明(略)，依步驟酌情給分.19.在五面體中，,

,平面.（1）證明:直線平面；（2）已知為棱上的點，，求二面角的大小.參考答案：證明：（1）四邊形為菱形，，………1分又∵平面∴………2分又直線平面.………4分(2)，為正三角形，取的中點，連接，則，又平面，∴兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，………5分，，………6分由（1）知是平面的法向量，………7分，，則，………8分設平面的法向量為，∴，即，令，則，∴………10分∴………11分∴二面角大小為.………12分

20.已知函數(shù)f（x）=（m，n為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=；（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅲ）設g（x）=f′（x）?（其中f'（x）為f（x）的導函數(shù)），證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；6K：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的切線方程的斜率，與切線方程即可求m，n的值；（Ⅱ）利用導函數(shù)直接求出導函數(shù)的大于0以及小于0的x的范圍即可求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅲ）化簡g（x）=f′（x）?（其中f'（x）為f（x）的導函數(shù)），通過構造新函數(shù)p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），通過導數(shù)求出p（x）的最大值為p（e﹣2），得到1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2．再構造函數(shù)q（x）=x﹣ln（1+x），利用對數(shù)的單調性推出q（x）＞q（0）=0，然后證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【解答】解：（Ⅰ）由得（x＞0）．由已知得，解得m=n．又，即n=2，∴m=n=2．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），當x∈（0，1）時，p（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，p（x）＜0，又ex＞0，所以當x∈（0，1）時，f'（x）＞0；

當x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0，∴f（x）的單調增區(qū)間是（0，1），f（x）的單調減區(qū)間是（1，+∞）．…（8分）（Ⅲ）證明：由已知有，x∈（0，+∞），于是對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2等價于，由（Ⅱ）知p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），∴p'（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞）．易得當x∈（0，e﹣2）時，p'（x）＞0，即p（x）單調遞增；當x∈（e﹣2，+∞）時，p'（x）＜0，即p（x）單調遞減．所以p（x）的最大值為p（e﹣2）=1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2．設q（x）=x﹣ln（1+x），則，因此，當x∈（0，+∞）時，q（x）單調遞增，q（x）＞q（0）=0．故當x∈（0，+∞）時，q（x）=x﹣ln（1+x）＞0，即．∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜．∴對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．…（14分）【點評】本題考查函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值的應用，構造法以及函數(shù)的導數(shù)的多次應用，題目的難度大，不易理解．21.某商場為了促銷，采用購物打折的優(yōu)惠辦法：每位顧客一次購物：①在1000元以上者按九五折優(yōu)惠；②在2000元以上者按九折優(yōu)惠；③在5000元以上者按八折優(yōu)惠。(1）寫出實際付款y（元）與購物原價款x（元）的函數(shù)關系式；(2）寫出表示優(yōu)惠付款的算法；參考答案：（1）設購物原價款數(shù)為元，實際付款為元，則實際付款方式可用分段函數(shù)表示為：(2）用條件語句表示表示為：

22.已知函數(shù)f（x）=x2﹣1．（1）對于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若對任意實數(shù)x1∈[1，2]．存在實數(shù)x2∈[1，2]，使得f（x1）=|2f（x2）﹣ax2|成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；二次函數(shù)的性質．【分析】（1）由題意可得4m2（|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|，由1≤x≤2，可得4m2≤，運用二次函數(shù)的最值的求法，可得右邊函數(shù)的最小值，解不等式可得m的范圍；（2）f（x）在[1，2]的值域為A，h（x）=|2f（x）﹣ax|的值域為B，由題意可得A?B．分別求得函數(shù)f（x）和h（x）的值域，注意討論對稱軸和零點，與區(qū)間的關系，結合單調性即可得到值域B，解不等式可得a的范圍．【解答】解：（1）對于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，即為4m2（|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|，由1≤x≤2，可得4m2≤，由g（x）==4（+）2﹣，當x=2，即=時，g（x）取得最小值，且為1，即有4m2≤1，解得﹣≤m≤；（2）對任意實數(shù)x1∈[1，2]．存