經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第二章極限與連續(xù)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第二章極限與連續(xù)第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2、數(shù)列極限的定性描述一個確定的常數(shù)A,增大時的極限，

收斂于a或稱數(shù)列記為或則稱常數(shù)A為數(shù)列當(dāng)n無限若當(dāng)n無限增大時,或稱數(shù)列發(fā)散則稱數(shù)列

的極限不存在，第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五①C=C（常數(shù)列的極限就是這個常數(shù)）②設(shè)a>0，則特別地③設(shè)q∈(-1，1)，則qn=0；或不存在。幾個常用極限第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2.1.3函數(shù)的極限自變量變化過程的六種形式:沿x軸的正向與負(fù)向同時無限遠(yuǎn)離原點沿x軸的正向無限遠(yuǎn)離原點沿x軸的負(fù)向無限遠(yuǎn)離原點x從x0點的左側(cè)趨向于x0x從x0點的右側(cè)趨向于x0x從x0點的兩側(cè)趨向于x0第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五函數(shù)極限主要講兩個內(nèi)容:1、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限2、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五1、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限直觀定義:

設(shè)在()時有定義,若無限增大時,無限趨近于確定常數(shù)A,則稱時,以A為極限,記為第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五由極限的直觀定義可知所以f（x）=的極限是0記為：例：當(dāng)時，研究f（x）=的極限。第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五直觀定義:

設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義

(點可以除外),若以任意方式趨近于時,

無限趨近于確定常數(shù),則稱時,以為

極限.記為2、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五函數(shù)的左右極限的定義函數(shù)的左右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限記作：記作：第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五函數(shù)的左右極限的定義定理：第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例設(shè)函數(shù)討論時的極限是否存在.解:利用定理結(jié)合圖示法.因為

顯然所以不存在.第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五討論分段函數(shù)在分段點處的極限時，當(dāng)分段點兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式不同時，要用左右極限討論解：因為：第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2.2極限的運算法則則有法則1：若法則2：若則有第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五法則3：

若且B≠0,則有推論1.(C為常數(shù))推論2.(n為正整數(shù))第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五特別：若則有第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例1求解：原式=第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例2求解：原式第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五解運用法則1、2及推論可得:例3因此第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五解：因為例4，在分式里分母不能為0，所以要對分子和分母進(jìn)行因式分解，得：第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五作業(yè)3求解:

時,分子分子分母同除以則分母原式第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

一般的處理方法是先通分再運用前面介紹過的求極限的方法.例6第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2.3極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限1.夾逼準(zhǔn)則(兩邊夾定理）一極限存在準(zhǔn)則定理Ⅰ如果函數(shù)g（x）、f（x）及h（x）滿足下列條件:那么函數(shù)f（x）的極限存在,第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例1解由夾逼準(zhǔn)則得第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五證：(舍去).)n例2(的極限存在式重根證明數(shù)列第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五二、兩個重要極限1、第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五BD<弧BC<ACsinx<x<tanx上式同時除以sinx,得：再進(jìn)一步處理，得：上式子對于也成立由于由夾逼準(zhǔn)則得：第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例1.求解:第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例2（1）解:第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2、定義第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2、無窮大量1、無窮小量

2.4、無窮小與無窮大,無窮小的比較3、無窮小的比較第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)1、無窮小量定義1.若時,函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù)

當(dāng)時為無窮小;函數(shù)時為無窮小;為時的無窮小

量.簡稱無窮小第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2、

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

3、常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.4、有限個無窮小的乘積是無窮小.無窮小運算法則1、有限個無窮小的代數(shù)和還是無窮小說明:無限個無窮小之和不一定是無窮小!第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五其中為時的無窮小量.定理2.1.(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)注：時結(jié)論也成立。第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五定義2.若時,函數(shù)的絕對值無限增大，為時的無窮小大量.簡稱無窮大則稱記為：2.4.2無窮大第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2、

極限非零的變量與無窮大之積仍為無窮大3、無窮大與無窮小之積仍為無窮大無窮大的性質(zhì)1、有界變量與無窮大之和仍為無窮大第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五無窮小與無窮大的關(guān)系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.定理2.2.在自變量的同一變化過程中,說明:第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例：

求解(由無窮小與無窮大的關(guān)系)x=1時分母=0,分子≠0,因第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五2.4.3、無窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五定義2.11：設(shè),對同一自變量的變化過程為無窮小,且是的高階無窮小，記作=0（）是的低階無窮小是的同階無窮小是的等價無窮小，記為~是的k階無窮小第四十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五等價無窮小替換定理2.3(等價無窮小替換定理)證第四十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五常用等價無窮小:第四十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例1解第四十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例2解第四十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五內(nèi)容小結(jié)1.