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角平分線(xiàn)的性質(zhì)第一頁(yè),共十三頁(yè),編輯于2023年,星期五1、會(huì)用尺規(guī)作角的平分線(xiàn).角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等2、角的平分線(xiàn)的性質(zhì):OCB1A2PDEPD⊥OA,PE⊥OB∵
OC是∠AOB的平分線(xiàn)∴PD=PE用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述:復(fù)習(xí)第二頁(yè),共十三頁(yè),編輯于2023年,星期五
反過(guò)來(lái),到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線(xiàn)上呢?已知:如圖,QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足,QD=QE.求證:點(diǎn)Q在∠AOB的平分線(xiàn)上.思考第三頁(yè),共十三頁(yè),編輯于2023年,星期五證明:∵
QD⊥OA,QE⊥OB(已知),∴∠QDO=∠QEO=90°(垂直的定義)
在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO=QO(公共邊)
QD=QE
∴Rt△QDO≌Rt△QEO(HL)∴∠QOD=∠QOE∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線(xiàn)上已知:如圖,QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足,QD=QE.求證:點(diǎn)Q在∠AOB的平分線(xiàn)上.第四頁(yè),共十三頁(yè),編輯于2023年,星期五判定:到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上?!?/p>
QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線(xiàn)上.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為:性質(zhì):角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵
QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線(xiàn)上∴QD=QE用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為:第五頁(yè),共十三頁(yè),編輯于2023年,星期五如圖,△ABC的角平分線(xiàn)BM,CN相交于點(diǎn)P,
求證:點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等∵BM是△ABC的角平分線(xiàn),點(diǎn)P在BM上,ABCPMNDEF∴PD=PE
(角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明:過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F第六頁(yè),共十三頁(yè),編輯于2023年,星期五如圖,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F,求證:點(diǎn)F在∠DAE的平分線(xiàn)上.證明:過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G,F(xiàn)H⊥AD于H,F(xiàn)M⊥BC于MGHM∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線(xiàn)上,F(xiàn)G⊥AE,F(xiàn)M⊥BC∴FG=FM又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線(xiàn)上,F(xiàn)H⊥AD,F(xiàn)M⊥BC∴FM=FH∴FG=FH∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線(xiàn)上第七頁(yè),共十三頁(yè),編輯于2023年,星期五如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F(xiàn),且BE=CF。
求證:AD是△ABC的角平分線(xiàn)。ABCEFD第八頁(yè),共十三頁(yè),編輯于2023年,星期五利用結(jié)論,解決問(wèn)題練一練
1、如圖,為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展,某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?想一想
在確定度假村的位置時(shí),一定要畫(huà)出三個(gè)角的平分線(xiàn)嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?第九頁(yè),共十三頁(yè),編輯于2023年,星期五拓展與延伸2、直線(xiàn)表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()
A.一處B.兩處
C.三處D.四處分析:由于沒(méi)有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。第十頁(yè),共十三頁(yè),編輯于2023年,星期五到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上?!?/p>
QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE.∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線(xiàn)上.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為:角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵
QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線(xiàn)上∴QD=QE課堂小結(jié)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為:第十一頁(yè),共十三頁(yè),編輯于2023年,星期五拓展與延伸3、已知:BD⊥AM于點(diǎn)D,CE⊥AN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在∠A的平分線(xiàn)上.AAAAAAADNEBFMCA第十二頁(yè),共十三頁(yè),編輯于2023年,星期五
1.角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理:角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等
2
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