角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)第一頁，共十三頁，編輯于2023年，星期五1、會用尺規(guī)作角的平分線.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等2、角的平分線的性質(zhì):OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵

OC是∠AOB的平分線∴PD＝PE用數(shù)學(xué)語言表述：復(fù)習(xí)第二頁，共十三頁，編輯于2023年，星期五

反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點D、E為垂足，QD＝QE．求證：點Q在∠AOB的平分線上．思考第三頁，共十三頁，編輯于2023年，星期五證明:∵

QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共邊）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴點Q在∠AOB的平分線上已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點D、E為垂足，QD＝QE．求證：點Q在∠AOB的平分線上．第四頁，共十三頁，編輯于2023年，星期五判定：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上?！?/p>

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE∴點Q在∠AOB的平分線上．用數(shù)學(xué)語言表示為：性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,點Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE用數(shù)學(xué)語言表示為：第五頁，共十三頁，編輯于2023年，星期五如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上,ABCPMNDEF∴PD=PE

(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F第六頁，共十三頁，編輯于2023年，星期五如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．證明：過點F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于MGHM∵點F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC∴FG＝FM又∵點F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴點F在∠DAE的平分線上第七頁，共十三頁，編輯于2023年，星期五如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且BE＝CF。

求證：AD是△ABC的角平分線。ABCEFD第八頁，共十三頁，編輯于2023年，星期五利用結(jié)論，解決問題練一練

1、如圖，為了促進當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?想一想

在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?第九頁，共十三頁，編輯于2023年，星期五拓展與延伸2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。第十頁，共十三頁，編輯于2023年，星期五到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上?！?/p>

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點Q在∠AOB的平分線上．用數(shù)學(xué)語言表示為：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,點Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE課堂小結(jié)用數(shù)學(xué)語言表示為：第十一頁，共十三頁，編輯于2023年，星期五拓展與延伸3、已知:BD⊥AM于點D,CE⊥AN于點E,BD,CE交點F,CF=BF,求證:點F在∠A的平分線上.AAAAAAADNEBFMCA第十二頁，共十三頁，編輯于2023年，星期五

1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等

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