2023年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺演練05圓錐曲線大題壓軸練（解析版）

【一專三練】專題05圓錐曲線大題壓軸練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

分層訓(xùn)練（新高考通用）

22

1.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）已知點A,點8和點C為橢圓C:「+與=1（。＞6＞0）上不同

ab'

的三個點.當(dāng)點A,點8和點C為橢圓的頂點時，/8C恰好是邊長為2的等邊三角形.

（1）求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若。為原點，且滿足OA+OB+OC=0，求.-ABC的面積.

2.（2023廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知橢圓（7:千+￡=1（。＞6＞0）的離心率為孝，以C

的短軸為直徑的圓與直線y=ox+6相切.

⑴求C的方程；

（2）直線/：y=?x-l）（420）與C相交于4B兩點,過C上的點P作x軸的平行線交線

段于點。，直線OP的斜率為I（。為坐標(biāo)原點），A/P。的面積為S.V8PQ的面積

為邑，若|4巴』=|8P說，判斷心〃是否為定值？并說明理由.

9-5

3.（2023?廣東湛江?統(tǒng)考一模）已知6，八分別為橢圓E：V+與=1（〃＞人＞0）的左、右

a"b~

焦點，橢圓E的離心率為3,過尸2且不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與橢圓E交于48兩點，

AKAB的周長為8.

（1）求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過耳且與/垂直的直線/'與橢圓E交于C,。兩點，求四邊形/C8Z）面積的最小值.

4.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C以2x土石），=0為漸近線，

其上焦點尸坐標(biāo)為（0,3）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）不平行于坐標(biāo)軸的直線/過A■與雙曲線C交于P,。兩點，尸。的中垂線交y軸于點T,

問相是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.

丫22

5.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓￡：^+方=1（"＞方＞0）的焦距為2g，

且經(jīng)過點P（-G,￡|.

（1）求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程:

⑵過橢圓E的左焦點”作直線/與橢圓E相交于48兩點（點/在x軸上方），過點力,

8分別作橢圓的切線，兩切線交于點求揣的最大值.

6.（2023?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知/,8是橢圓C：《+f=1上關(guān)于坐標(biāo)原點

43

。對稱的兩點，點。（4,0）,連結(jié)。/并延長交C于點"，連結(jié)08交C于點N.

（1）若/為線段。M的中點，求點力的坐標(biāo)；

S3

⑵設(shè)DMN,一ZMB的面積分別為LS?,若寸二不，求線段。力的長.

d2'

22

7.（2023?遼寧?哈爾濱三中校聯(lián)考一模）已知雙曲線C：=-4=1（。＞0,〃＞0）過點

ab~

（1）求雙曲線。的方程；

（2）如圖，過點8（1,0）的直線/交雙曲線C于點“、N直線MA、W4分別交直線x=l于

PB

點尸、。，求友■的值.

8.（2023?江蘇?二模）如圖，過y軸左側(cè)的一點P作兩條直線分別與拋物線y?=4x交于

A,C和8,。四點，并且滿足PC=3PA，PD=3PB.

（1）設(shè)C￡＞的中點為M,證明PM垂直于，軸一

⑵若尸是雙曲線9一,2=1左支上的一點，求面積的最小值.

9.（2023?河北邢臺?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線E：5-4=1（3°力>°）過點尸（2,2），

且尸與E的兩個頂點連線的斜率之和為4.

（1）求E的方程；

（2）過點”（1,0）的直線/與雙曲線E交于A,8兩點（異于點尸）.設(shè)直線BC與x軸垂直

且交直線”于點C,若線段的中點為N,證明：直線MN的斜率為定值，并求該

定值.

10.（2023?山東?日照一中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C：q-1=l（a>0g>0）的左、右焦

crh~

點分別為耳，鳥，斜率為-3的直線/與雙曲線C交于42兩點，點M（4,-2&）在雙曲線

C上，且|例/訃|M閭=24.

⑴求△MF△的面積；

⑵若08+08=0（。為坐標(biāo)原點），點N（3,l）,記直線的斜率分別為勺&,問:

勺也是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

22

11.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）已知橢圓E：￡+￡=l（a>6>0）的焦距為2>萬，離心

率為且，直線/：y=&（x+l）/>0）與E交于不同的兩點M,N.

（1）求E的方程;

（2）設(shè)點尸（1,0）,直線尸刷,PN與E分別交于點C,D.

□判段直線。是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點.請說明理由:

□記直線CDMN的傾斜角分別為久夕，當(dāng)a-力取得最大值時，求直線CD的方程.

12.（2023?山東?河北衡水中學(xué)統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點尸到點F（上,0）的

距離與到直線x=20的距離之比為孝.

（1）求點尸的軌跡C的方程；

⑵過點（0,1）且斜率為（；4%42）的直線/與C交于48兩點，與x軸交于點線

段的垂直平分線與x軸交于點N,求黑的取值范圍.

\MN\

13.（2023?湖北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓與+《=1的右頂點為4左焦點為E過點

9

產(chǎn)作斜率不為零的直線/交橢圓于M,N兩點，連接A",AN分別交直線x=于P,。

9

兩點，過點尸且垂直于MN的直線交直線x=-萬于點R.

（1）求證：點及為線段PQ的中點；

（2）記△MPR,AMRN,△NR。的面積分別為4,S2,51,試探究：是否存在實數(shù)4使

得九邑=。+$3?若存在，請求出實數(shù)2的值；若不存在，請說明理由.

22

14.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）已知雙曲線C：鼻-春■:“〃,?！?。）的離心率為近,直線4：

y=2x+46與雙曲線C僅有一個公共點.

（1）求雙曲線C的方程

（2）設(shè)雙曲線C的左頂點為A,直線乙平行于且交雙曲線C于",N兩點,求證：AVN

的垂心在雙曲線C上.

15.（2023糊南?模擬預(yù)測）已知橢圓展［+丫2=1,（。＞1）的上、下頂點是用，B?,左,

右頂點是A,4,點。在橢圓「內(nèi)，點”在橢圓「上，在四邊形M8Q層中，若_LBQ,

MB?1B2D,且四邊形層面積的最大值為g.

⑴求”的值.

（2）已知直線x=%，+l交橢圓「于尸，Q兩點，直線4尸與兒。交于點S,證明：當(dāng)，"變

化時，存在不同于&的定點T,使得14sl=|ST|.

16.（2023?湖南?湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓

W：5?+，=1（“＞。＞0）的離心率為冬橢圓w上的點與點尸（0,2）的距離的最大值為

4.

（1）求橢圓卬的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點5在直線x=4上，點6關(guān)于x軸的對稱點為片，直線PB,尸4分別交橢圓W于C。

兩點（不同于尸點）.求證：直線C。過定點.

22

17.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考三模）已知橢圓方程為G：,+g=l（a＞〃＞0）,過橢圓的G

的焦點耳心分別做X軸的垂線與橢圓交于四點，依次連接這四個點所得的四邊形恰好

為正方形.

（I）求該橢圓G的離心率.

（2）若橢圓G的頂點恰好是雙曲線焦點，橢圓G的焦點恰好是雙曲線頂點，設(shè)橢圓

G的焦點與鳥，雙曲線的焦點耳'，乙',A為C|與的一個公共點，記/々AF2=a,

NF：AF；=0,求coscrcosA的值.

18.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考二模）已知點尸（0,-2）,點分別為橢圓

°：5+耳=1（"6>0）的左、右頂點，直線3尸交C于點。，一A8P是等腰直角三角形，且

ab~

3

PQ=-QH.

（I）過橢圓c的上頂點〃引兩條互相垂直的直線44,記c上任一點N到兩直線4,的

距離分別為44,求葉+片的最大值;

（2）過點“（4,0）且斜率不為零的直線與橢圓c相交于E,尸兩點試問：是否存在X軸上的

定點G,使得/￡GO=/FG”.若存在，求出定點G的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

22

19.（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線C:5-5=l的右焦點為尸（3,0）,F到其

ab'

中一條漸近線的距離為2.

（1）求雙曲線C的方程;

⑵過尸的直線交曲線C于48兩點（其中/在第一象限），交直線x=g于點河,

\AF\-\BM\

(i)求的值;

\AM\-\BF\

（ii）過A/平行于0/的直線分別交直線。8、x軸于P,Q,證明：|網(wǎng)=|尸@.

22

20.（2023?浙江?校聯(lián)考三模）設(shè)雙曲線C:5—5=1（4〉0/>0）的右焦點為（右,0）,

a"b"

右焦點到雙曲線的漸近線的距離為1.

（1）求雙曲線C的方程；

⑵若A（-2,1）,8（2,1）,點C在線段AB±（不含端點），過點C分別作雙曲線兩支的切線,

切點分別為P，Q.連接PQ,并過戶。的中點F分別作雙曲線兩支的切線，切點分別為

D，E,求一/無尸面積的最小值.

21.（2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：H=的短軸長為2,離

心率為弓.點尸（4,2）,直線/：x+2y-l=0.

（1）證明：直線/與橢圓C相交于兩點，且每一點與P的連線都是橢圓的切線；

（2）若過點尸的直線與橢圓交于48兩點，與直線/交于點Q,求證：PA-QB=AQ.

22.（2023?江蘇南通?二模）已知橢圓E:/■+，=1（a>〃>0）的離心率為當(dāng),焦距為2,

過E的左焦點尸的直線/與E相交于A、B兩點,與直線x=-2相交于點

⑴若求證：|M4|.忸尸|=|圈必同；

（2）過點F作直線/的垂線〃，與E相交于C、。兩點，與直線x=-2相交于點N.求

向+血+而+向的最大值?

23.（2023?河北衡水?河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線V=2px（p>0）,點［為

拋物線焦點.過點［作一條斜率為正的直線/從下至上依次交拋物線于點A與點可，過

點與作與/斜率互為相反數(shù)的直線分別交x軸和拋物線于鳥、&.

（1）若直線A&斜率為k,證明拋物線在點四處切線斜率為一4；

（2）過點作直線分別交x軸和拋物線于巴一、B,,過點B,作直線分別交萬

軸和拋物線于心、I”且VfeN*,直線4g斜率與直線兒回斜率互為相反數(shù).證明數(shù)

列［曰￡』為等差數(shù)列.

24.（2023?河北?河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）橢圓*■+營=1（“>方>0）的上、下頂點

分別為48.在橢圓上任取兩點C,。，直線C。斜率存在且不過48BC交于4,

AC交于鳥，直線C。交y軸于上直線AC交x軸于。直線8。交x軸于。

（1）若。，6為已知量，求OR-O不

（2）分別作。尸_1￡3于此F,求叱0飛.

25.（2023?福建漳州?統(tǒng)考三模）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點0,對稱軸為x軸、V軸，

且點（6,2血）和點（通,2）在橢圓C上，橢圓的左頂點與拋物線「9=2力（。>0）的焦

點F的距離為4.

（I）求橢圓c和拋物線r的方程;

(2)直線/:丫="+"仕=0)與拋物線「變于P,Q兩點，與橢圓C交于兩點.

(口)若%=%,拋物線「在點RQ處的切線交于點S,求證：|/7+|50『=|0尸|.囚尸「；

(口)若加=-2%,是否存在定點丁(毛,0),使得直線MT,NT的傾斜角互補?若存在，求

出吃的值；若不存在，請說明理由.

26.(2023?山東?沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知曲線￡《+亡=1,直線

63

/:y=x+m與曲線E交于y軸右側(cè)不同的兩點A3.

(1)求加的取值范圍；

(2)已知點尸的坐標(biāo)為(2,1),試問：的內(nèi)心是否恒在一條定直線上？若是，請求出

該直線方程；若不是，請說明理由.

27.(2023?湖北?宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)點/為雙曲線C:x2-f=1的左頂點，

3

直線/經(jīng)過點(-1,2),與C交于不與點力重合的兩點產(chǎn),。.

(1)求直線AP，A。的斜率之和；

(2)設(shè)在射線AQ上的點R滿足ZAPQ=4RP,求直線PR的斜率的最大值.

22

28.(2023?湖南?模擬預(yù)測)已知橢圓C：￡+￡=1(a>6>0)的上頂點為8,O為坐標(biāo)

原點，為橢圓C的長軸上的一點，若NBPO=45。，且△。心的面積為丸

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)橢圓C與x軸負半軸交于點4過點/的直線⑷V分別與橢圓C交于M,N兩

點，直線的?V的斜率分別為kAN,且KL-卷，求證：直線過定點，

并求出該定點坐標(biāo)，求出△AMN面積的最大值.

92

29.(2023?湖南長沙?湖南師大附中?？家荒?已知雙曲線C*-1=1(。>6>0)的一

個焦點為尸(2,0),0為坐標(biāo)原點，過點產(chǎn)作直線/與一條漸近線垂直，垂足為A,與另一

條漸近線相交于點8,且AB都在y軸右側(cè)，\O^+\OB\=43\AB\

(1)求雙曲線C的方程：

(2)若直線人與雙曲線C的右支相切，切點為尸,右與直線，2：x=；交于點。，試探究以線

段尸。為直徑的圓是否過x軸上的定點.

30.(2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模)已知點片,我2分別是雙曲線0:丁-9=2的左右焦點，

過馬的直線交雙曲線右支于P，A兩點，點尸在第一象限.

(1)求點尸橫坐標(biāo)的取值范圍；

(2)線段PR交圓G：(x+2)2+V=8于點8,ifi,PF2B,4/記，叢耳的面積分別為

SS

s「s”s,求三+三的最小值.

31“

2。23一年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

【一專三練】專題05圓錐曲線大題壓軸練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

分層訓(xùn)練（新高考通用）

1.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）已知點A,點8和點C為橢圓C：W+烏=1（a>6>0）上不同

ab~

的三個點.當(dāng)點A,點8和點C為橢圓的頂點時，DNBC恰好是邊長為2的等邊三角形.

（1）求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若。為原點，且滿足Q4+O8+OC=0，求;ABC的面積.

【答案】⑴三+>2=1

3

嗚

【分析】（1）分點A,點B和點C中有兩個點為上頂點和下頂點和點A,點B和點C中

有兩個點為左頂點和右頂點兩種情況，求出6,8=1，得到橢圓方程；

（2）設(shè)出A（p,q）,3（x，y）,C（X2，%）,考慮直線BC斜率存在和不存在兩種情況，求出

弦長，進而利用點到直線距離求出面積.

【詳解】（1）當(dāng)點A，點8和點C為橢圓的頂點時，4BC恰好構(gòu)成邊長為2的等邊三

角形，

，當(dāng)點A,點8和點C中有兩個點為上頂點和下頂點，一一個點為左頂點或右頂點時，不

妨設(shè)點A,點B為匕頂點和下頂點，點C為右頂點，此時，a=y/3,b=l,

□當(dāng)點A,點B和點C中有一個點為上頂點或下頂點，兩個點為左頂點和右頂點，不妨

設(shè)點A,點B為左頂點和右頂點，點C為上頂點，此時，a=\,b=￡（舍去），

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+丁=1.

3

（2）設(shè)4（2，4）,8（玉,凹）,（7（々,％）,

因為OA+O8+OC=0，

所以P+玉+々=°，4+乂+%=。，

當(dāng)直線BC斜率不存在時I

即x,=x2,y1=-y2,則A（-2xp0）,

2。23一年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

因為點A在橢圓上，所以則有才=1，

所以忸q=百，點A到BC的距離為限|=乎，

此時SABC=LGX述=2.

ABC224

當(dāng)直線5c斜率存在時，設(shè)直線BC方程為￥=丘+加，

y=kx+m,

聯(lián)立得X?消去y整理得（1+3公卜2+6/awc+3祥-3=0

y+/=l.

滿足△=（6切?）2-12（1+3公）（〃，-1）=[2（3*+1_加2）>0,

3（/n2-l

由韋達定理得玉+,書

\+3k2

所以％+%=%（再+*2）+2機=「^7，

1十JK

所以p=_（與+當(dāng)）=M=_（x+丫2）=_，

又因為點A（PM）在橢圓?），2=1上，

所以（黑網(wǎng)高門,

化簡得4>=1+3公，

所以=氣-々kSTmJ（慧）一4?碧*

皿?坦等三所逋等Z

二百黑二百暮號,

I6km心2m十機

所以點A到直線BC的距離［=加什4+w|=|1+3%2+1+3%2+.=|3ffl|

\ll+k2y/l+k2J1+-2

所以S"c=g?忸C|d13a+公

22網(wǎng)

9

綜上所述，MC的面積為r

【點睛】方法點睛：直線廣如+b與圓錐曲線相交，設(shè)交點為A（±,y）,8（毛,力）,則弦

長公式為：\AB\=\jl+k2JA,一司或|叫=小+^.帆一當(dāng)卜

2.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知橢圓C:￡+2=l（a>b>0）的離心率為它，以C

2。23一年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

的短軸為直徑的圓與直線>=依+6相切.

⑴求。的方程；

（2）直線/：y=?x-l）/NO）與。相交于力，3兩點，過C上的點P作X軸的平行線交線

段于點0,直線0P的斜率為k'（。為坐標(biāo)原點），A/P。的面積為S.V8PQ的面積

為邑,若|AP|￡=|BPhS”判斷私公是否為定值?并說明理由.

22

【答案】（1）二+—=1;

84

（2）是定值，y.

【分析】（1）利用橢圓離心率及圓的切線性質(zhì)，建立關(guān)于的方程組，解方程組作答.

（2）由給定的面積關(guān)系可得直線尸。平分ZAPS,進而可得直線人尸,BP的斜率互為相

反數(shù)，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計算判斷作答.

【詳解】（1）由橢圓C的離心率為也得：七&=!，即有/=2&2,

2a-2

由以。的短軸為直徑的圓與直線y=^+6相切得：忑q=6,聯(lián)立解得/=8,^=4,

22

所以C的方程是二+二=1.

84

（2）為定值，且無?&'=；,

；|PQ|sinNAPQ加,”>。

因為|APIS=|8?⑶，則啕=含

1"1>2^]\BP\\PQ\sinZBPQ|BP|sinNBP。

因止匕sinZAP0=sin/8PQ,而ZAPQ+/3PQ=ZABPe（0,兀），有NAPQ=NBPQ,

于是戶。平分NAP8,直線4P,8P的斜率g,即尸互為相反數(shù)，即如+%=0,

設(shè)4士,乂）,8*2，%）,2（尤0，%），

4公

ZZi

由，8+4=得，（2/+1）/-4七+2r-8=0,即有<

2公-8

y=A（x-l）2=赤[

而*+kBP='_"?=0,則（乂一%）（々一與）+（%-%）（為一為）=0,

王一玉）x2—玉）

即伏（X-1）-%]*2—%）+伙*2-1）一%]（西一工0）

=2kX\X?一（%+5+&）（*+9）+2%（%+A）=0

2后2_g4k2

于是2h—5--（3-0+5+%）,壽一+2xo（%+Q=0

乙K十1乙K十1

2四支年高遁數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

2

02-2抬-8)-4^(為+5+幻+2x0(yu+k)(2k+1)=0,

2

化簡得：2y0(x0-l)k+(x0-8)k+x。%=0,

且又因為P(x。，%)在橢圓上，即%1+至=1,即年+2為2=8,-2%2-/2+/=%-8,

84

222

從而2y0(x0-l)k+(-2y0-x0+x0)k+xoyo=0,(2y0k-x0)[(x()-l)k-y0]=0,

又因為P(x。，%)不在直線/：y=-r-l)上，則有2x#-x0=0,即==

才0L

所以h〃為定值，且=

【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證

明這個值與變量無關(guān).(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得

到定值.

3.(2023?廣東湛江?統(tǒng)考一模)已知￡,工分別為橢圓E:￡+方=l(a>b>0)的左、右

焦點，橢圓E的離心率為g,過人且不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與橢圓E交于42兩點，

K4B的周長為8.

(1)求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過耳且與/垂直的直線/'與橢圓E交于C,。兩點，求四邊形/C8。面積的最小值.

【答案】⑴工+4=1

43

【分析】(1)根據(jù)題意得到￡=(,結(jié)合橢圓的定義求得4=2,再由/=從+°2,求得

a2

〃=3,即可求得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/的方程為*=沖+1,聯(lián)立方程組得到蘆+丫2=若匚，

3w+43獷+4

w2+1

利用弦長公式求得|AB|=12x,再由由直線，'的方程為》=-Ly-l,聯(lián)立方程組

3病+4m

得至%”二與工，求得(0=12x1tL,進而得出四邊形

4+4版+44a+3

m

72

S=

ABCQ的面積,結(jié)合基本不等式，即可求解.

3+/+I-焉

2。23一年高遁數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

1r1

【詳解】（I）解：由題意，橢圓E的離心率為:，可得￡=：,

2a2

又由橢圓的定義，可知|他+|明|+|然|=4。=8,所以。=2,所以c=l,

又因為療=/+c?，所以為=3,

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為0

（2）解:設(shè)A（x，yj5（孫％），直線/的方程為工=陽+1，

蘭+片=1

由，43~,整理得（3加+4）^+6〃9一9=0,

x=my+\

-6771

則有y+必=3m2+4?、'3m2+4

-6mY36trr+\

故IAB卜J（l+〃1）[（x+y2）2-4yj2]=\。+?。?12x

3nr+4）3療+43rm2+4AF

又由直線/'的方程為x=-'y-i,設(shè)c（w，%），。（斗yj，

tn

一+/

--------1---------1

,整理得（上+4卜+96打9=0,

聯(lián)立方程組43

1?km）rmn

x=y-l

m

6

-9

則有%+%=?加%”=方---

F+4

F+4m

---------------------iLi

m2+1

則15=%+小4為小12*號一=12x

4m2+3

所以四邊形ABC。的面積:

w2+1

S』M|3=72X鼎x￡^=72'瑞品X------------------r-------

4（/n2+l）-l

72

a-品

3+啟不

3H-5-----^4----Z----

4-上團加49

因為3+<+1+1

-2~T

7

當(dāng)且僅當(dāng)“2=1時，等號成立,

72288

S=>-----

所以一49,

3+4-￡

2。23一年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

QQQ

綜上，四邊形4CBD面積的最小值為黑.

【點睛】方法技巧：求解圓錐曲線的最值問題的解答策略與技巧：

1、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓

錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；

2、代數(shù)方法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再

求這個目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：配方法；「基本不等式；單調(diào)性法;

口三角換元法；口導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.

4.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C以2x土石y=0為漸近線,

其上焦點尸坐標(biāo)為（0,3）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）不平行于坐標(biāo)軸的直線/過尸與雙曲線C交于P,Q兩點，尸。的中垂線交y軸于點T,

問得是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.

v22

【答案】（1）上一二=1

45

⑵T得F\為定敢3

【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線可設(shè)雙曲線方程為4/-5V=2，利用焦點坐標(biāo)，求得

2,即得答案.

（2）設(shè)直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，求得|「。，以及P。的中

點坐標(biāo)，求出尸。的中垂線方程可得T點坐標(biāo)，繼而求得|"|,化簡即可得結(jié)論.

【詳解】（1）因為雙曲線。以2x土石），=0為漸近線，

設(shè)雙曲線方程為（2x+后y）（2x-6y）=2，即4x2-5y2=2,

22

，工一￡=i

F（0,3）,A<0,即：_2,

一三~4

2A92

——-=9,?--=9,即2=_20.,

5420

所以雙曲線C的方程為：=1.

45

（2）由題意可知直線/一定有斜率存在，設(shè)直線/：y=H+3,P（x，yJ,。（孫必），

2四支年高遁數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

j5/-4x2=20

,.'.5（fcv+3）2-4x2=20.

[y=京+3

化簡得：（5產(chǎn)一4）/+30依+25=0,A=400（公+1）＞0,

30k

此方程的兩根為公82,則

25

|pel=\Zi+F-7（x,+x）2-4x,x=7i+F-900k2ioo

22（5^-4）25〃-4

放2_伊2_4）

=10jl+N?

（5J12-4）2

I4公+420（二+1）

=10>/l+Jt2?

（5/_4）_\5k2-4|"

鑒H，即卜島一）,

尸。中點例坐標(biāo)為一月

尸。中垂線方程為：號）

令、=。一導(dǎo)，小娟力

27_156+15

則加=3+―

―5/-4

15—+15

明5^-43\TF\3

質(zhì)T亞可=＞即品為定值，定值為屋

恢2_[

【點睛】難點點睛：解答此類直線和雙曲線的位置關(guān)系類題目，涉及到定值問題，要設(shè)

出直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式進行化簡，解答的難點是計算比

較復(fù)雜，計算量較大，比如計算弦長或者其他線段長度，計算要十分細心.

22

5.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓氏￡+￡=1（。＞/,＞0）的焦距為2班,

且經(jīng)過點

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（2）過橢圓E的左焦點寫作直線/與橢圓E相交于/,8兩點（點/在x軸上方），過點4

\AB\

8分別作橢圓的切線，兩切線交于點”，求謁的最大值.

2四支年高遁數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

【答案】⑴二+V=1

4

（2）2

【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式;

（2）設(shè)出直線方程，由韋達定理法及導(dǎo)數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解

得交點M，再由弦長公式及兩點距離公式表示出^^進而討論最值.

2c=2拒

31{a=2Y2

【詳解】（1）由題意得一+力=1,所以人…即橢圓方程為工+丁2=1；

a~4/[Z?=l4

a2=h2+c2

（2）當(dāng)直線/斜率為0時，48分別為桶圓的左右頂點，此時切線平行無交點.故設(shè)

直線/：x=ty-y/3,

__+~]

由1-一,得（r+4）y2_2&_]=0.

x=ty->]3

=

A=16r+16>0,+y2='^1^2

______i--------------------/-----I12/44（/+1

lABl=E-力|=曰甩出+%f-4y巫=&+?J]戶+q+=-777

不妨設(shè)A&,yj在x軸上方,則8（助,%）在x軸下方.

橢圓在x軸上方對應(yīng)方程為y=j_q,?=4上，

則4處切線斜率為4/江一一礪，得切線方程為丫一%=母（*-為），整理得

?+”=1.

同理可得B處的切線方程為子+%y=l.

手+竹1①二4（%-%）4（）門）

“等+y以=1②"百％-馬凹（明-如2-（仇四其

=4（%。）二4也

6（%-%）3

2四支年高遁數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

代入得“3上@=亙，所以M4G叵

~3~'~T'

__亍7

412+1)

47所以網(wǎng)=上七4一473^

因為附用=丁’所以|叫|

r+4

___|A，=46.<46一

2

設(shè)帆=J*+INI，l4ijr=W-1,則面廠.加+3

tn

當(dāng)且僅當(dāng)>=3,即/=土夜時.，^的最大值是2.

另解：當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)/：y=A(x+G),

X2

—+y2=1

由，4'得0+4公卜2+86&2；1+12左2—4=0,

y=k（x+@

-8限212k2-4

所以△=二+1>0,xt+x2=1+4F'儀—1+4/

\AB\=Jl+公|^1-X2\=J1+—.J（X[+々）2—4%工2

64x3公12fe2-44（1+A:2）

=\l\+k2■-4

（1+4^2）21+4產(chǎn)1+4A

,一九

y=jx2

橢圓在X軸上方的部分方程為y=

4rv

服r），

則過A&,yJ(X>0)的切線方程為y-X

即等+yy=f+y：=i，

同理可得過3(々,%)(%<0)的切線方程為于+=1.

?+yy=l,4（%f）_4（%一）1）=4（%-）1）=4G

由，rx得用不必一Wy為（%-%）3

[亍++1必%

+。=1

設(shè)"笄，則<

+佻=1

所以直線/的方程為-YL+)=1,所以/=且.

33k

公（1+公）

中1+k2'爵牌福=46

+t2

R|=邪司（1+4%2）2

7

2。23一年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

令”=1+軟221,則/=與，所以幽=6_3?1丫+2，+i,

4\MFt\Y⑺n

12、5|AB|

當(dāng)二==/7="=3時,即后=±衛(wèi)時，"取得最大值，為2.

〃2x（-3）2附瑪

【點睛】直線與圓錐曲線問題，一般設(shè)出直線，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，結(jié)合韋達定

理表示出所求的內(nèi)容，進而進行進一步討論.

6.（2023?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知力,8是橢圓C:二+￡=1上關(guān)于坐標(biāo)原點

43

。對稱的兩點，點。（4,0）,連結(jié)D4并延長交C于點連結(jié)。8交C于點N.

（1）若/為線段。M的中點，求點/的坐標(biāo)；

S3

⑵設(shè)0MM..?記的面積分別為號㈤，若寸二》，求線段0%的長.

【答案】（I）A],土半

⑵巫

2

【分析】（1）由于/是“，。的中點，設(shè)A（x0,yo）,由此推出M的坐標(biāo)，再根據(jù)4M

都在橢圓上，代入橢圓方程即可求解；

（2）設(shè)直線D4的方程，再根據(jù)/,8的對稱性設(shè)Q8的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出

N點的坐標(biāo)與48點坐標(biāo)的關(guān)系，將面積之比問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比問題.

【詳解】（D設(shè)4（%,%）,M（2%-4,2%）

43

由4M均在橢圓。上,解得xo=T，%=1

(2』-414y3O

------------------------------V-------1

43

.(73石］

A“士守；

\7

(2)設(shè)0/方程為x=/ny+4,45,%),8(-%,-%),。(4,0),加=%」

%