2023年廣東春季高考學(xué)考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)（復(fù)習(xí)備考）

2023廣東春季高考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

廣東省春季高考(學(xué)考)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

第一章集合

一、集合的基本概念

(1)集合元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號(hào)e或e表示.

(3)常見數(shù)集集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

的記法

符號(hào)NN+(N*)ZQR

(4)集合的分類

若按元素的個(gè)數(shù)分類，可分為有限集、無限集、空集；若按元素的屬性分類，可分

為點(diǎn)集，如：〃=｛(xM|x+y=l｝、數(shù)集，如：N=｛_y|x+y=l｝,等.特別注意空集是

一個(gè)特殊而又重要的集合，如果一個(gè)集合不包含任何元素，這個(gè)集合就叫做空集，空集

用符號(hào)“0，，表示.

理解集合的意義一抓住集合的代表元素。如:數(shù)集｛x|產(chǎn)f(x)｝表示產(chǎn)f(x)的定義域，數(shù)

集｛y|y=f(x)｝表示y=f(x)的值域，點(diǎn)集｛(x,y)|y=f(x)｝袤示y=f(x)的圖像：

(5)集合相等

如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是

/的元素)，則稱這兩個(gè)集合相等.

二、.集合間的基本關(guān)系

文字語言符號(hào)語言

相等集合力與集合8中的所有元素都相同A=B

集合間

的基子集A中任意一個(gè)元素均為B中的元素A=B

本關(guān)系

A中任意一個(gè)元素均為8中的元素，且8中至少

真子集AWB

有一個(gè)元素不是4中的元素

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空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

A是B的子集=AUB=BoAnB=A,

對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合子集數(shù)目：其子集、真子集、非空子集、非空真子集

的個(gè)數(shù)依次為2n,2n-l,2n-l,2n-2；若A集合有m個(gè)元素，B集合有n個(gè)元素，且

A=M=B,則這樣的集合M有2*m個(gè).(0是任何集合的子集，條件為/三8時(shí)不要

忘了4=0的情況).

三、集合的表示：列舉法、描述法、圖示法.

理解集合的意義，如:數(shù)集｛x|產(chǎn)f(x)｝表示尸f(x)的定義域，數(shù)集｛y[y=f(x)｝表示

y=f(x)的值域，點(diǎn)集｛(x,y)|y=f(x)｝表示y=f(x)的圖像；

四、集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

圖形語言掇

AUBADB

符號(hào)語言/U8={x|xGN或xG8}CM=且X生/}

注意：已知集合A、B,當(dāng)Zc8=0時(shí)，你是否注意至『，極端，，情況：0rl8=0；求

集合的子集時(shí)不能忘記0

五、全稱量詞與存在量詞命題

⑴全稱量詞—“所有的”、“任意一個(gè)”等，用“”表示；

全稱量詞命題p：它的否定石€此/)(外，

⑵存在量詞——“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等，用"”表示；

存在量詞命題P：女eM.尸⑶，它的否定iP：VxeM.i(x)

(3命題-真假與P相反.

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六、充分必要條件

（1）如果p=q,則0是a的充分條件,〃是的必要條件;

（2）如果p=q,q=p,則p是q的充要條件.

（3）若p=q,且qtp,則p是q的充分不必要條件，同時(shí)q是p的必要不充分條件；

若poq,則p是q的充要條件，同時(shí)q是p的充要條件；

若p/q,且則p是q的既不充分也不必要條件，同時(shí)q也是p的既不充分也

不必要條件.

七.充分必要條件的兩種判斷方法

（1）定義法：同上；

（2）集合法：根據(jù)p、夕成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷；

建立與p、q相應(yīng)的集合，即0:4={x|p（x）成立},q:8={x|q（x）成立}.

若則p是4的充分條件，若4妥B,則p是夕成立的充分不必要條件；

若8=4,則p是4的必要條件，若8基4,則P是q成立的必要不充分條件；

若力=8,則夕是q成立的充要條件；

若A0B且B?A,則p是q成立的既不充分也不必要條件.

第二章不等式

一、不等式的基本性質(zhì)：

（1）基本性質(zhì)

①a>bob<a（對(duì)稱性）②a>b,b>cna>c（傳遞性）

③a>bna+c>b+c（加法單調(diào)性）

④a>b,c>0=>ac>bc,a>b,c<0=>ac<bc（乘法單調(diào)性）

（2）運(yùn)算性質(zhì)

①a>b,c>dna+c>b+d（同向不等式相加）②a>b,c<d=>a—c>b—d（異向不等

式相減）

③a>b>0,c>d>0=ac>bd（同向不等式相乘）④a>b>0,0<cVdn0>2（異向

cd

不等式相除）

⑤a>b>0nV^>標(biāo)（neZ,且n>l）（開方法則）⑥a>b>0na，bn（neZ,且n>

1）（乘方法則）

注：（1）比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小一般用比較差的方法；另外還可以用平方法、倒數(shù)法、絕

對(duì)值法。

（2）不等式兩邊同時(shí)乘以負(fù)數(shù)要變號(hào)?。?/p>

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（1）同向的不等式可以相加（不能相減），同正的同向不等式可以相乘。

二、重要的不等式：

（1）a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)，等號(hào)成立。

（2）a+622而（a/eR"）,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)，等號(hào)成立。

（3）若則湖4（等j（當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取“=”）

注：色吆（算術(shù)平均數(shù)）（幾何平均數(shù)）；例：若x>0,則x+』22（當(dāng)且僅

2x

當(dāng)x=l時(shí)取“=”）若x<0,則x+，4—2（當(dāng)且僅當(dāng)x=—1時(shí)取"="）；若ab>0,

X

則jq+2z2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取

ba

三、一元二次不等式的解法

（1）保證二次項(xiàng)系數(shù)為正

（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：

（3）定解：（口訣）大于取兩邊，小于取中間。

2

（4）設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax+bx+c-0（a力0）的兩根為孫x2Kx,<x2,

△=〃-4ac,則不等式的解的各種情況如下表:

A>0A=0A<0

y=ax2+bx+cy=ax2+6x+cy=ax2+bx+c

二次函數(shù)d!yL1\

y=ax2+bx+ctr

（a〉0）的圖象

o工cu

一元二次方程有兩相等實(shí)根

有兩相異實(shí)根

ax2+bx+c=0b

XpX（x,<x）X\=X2=一丁無實(shí)根

（a>0力勺根222a

2

ix+hx+c>Qb

(x|x<X］或X>x2}<xxw--->

&>0)的解集2aR

ax2+bx+c<0

卜k<x<x)

20

伍>0)的解集0

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四、絕對(duì)值不等式的解法

1)形如|ax+b|N|cx+d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式

求解.

2)單絕對(duì)值不等式岡〉a與|x|<a的解集

不等式?！?a=0a<0

1<a{jr|-a<Zx<Za}00

I才|{1z|z>a或—a}{8R

3)|ax+b|<c(c>0)和|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法|ax+b|<c0一cWax+bWc(c>0),

|ax+b|>c=ax+b>c或ax+b<-c(c>0).

4)雙絕對(duì)值不等式可用“按零點(diǎn)分區(qū)間討論”的方法來解.

例:l2x+3l-2o-2W2x+3<2,|3x-2|22=3x-222或3x-2W-2

(口訣)大于取兩邊，小于取中間。

五、分式不等式的解法：

分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分變成標(biāo)準(zhǔn)型再

g(x)

轉(zhuǎn)化為整式不等式f(x)g(x)>0求解，注意最高次項(xiàng)的系數(shù)要為正，分母是否有等

于。

1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為細(xì)>0(或細(xì)<0)：區(qū)220(或軟<0)的形式，

g(x)g(x)g(x)g(x)

2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)/⑴>0o/(x)g(x)>0：/(''。。產(chǎn)內(nèi)⑸上。

g(x)g(x)[g(x)#0

9Y—35—x

例：———-<0o(2x-3)(x+l)<0;------>0<=>(5-x)(x-1)，。且

x+1x-1

x-1#0

第三章函數(shù)

一、函數(shù)

1、定義：設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/，對(duì)A內(nèi)任一個(gè)元素x,在B

中總有一個(gè)且只有一個(gè)值y與它對(duì)應(yīng),則稱/是集合A到B的函數(shù)，可記為:/:A-B,或

/:x—y.其中A叫做函數(shù)/的定義域.函數(shù)/在x=a的函數(shù)值，記作/(〃),函數(shù)值的全體

構(gòu)成的集合C(CUB),叫做函數(shù)的值域.

2、函數(shù)的表示方法：列表法、圖像法、解析法。

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注：在解函數(shù)題時(shí)可以畫出圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法可以使大部分題目變得更簡單。

3、函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則

(1)定義域的求法：使函數(shù)(的解析式)有意義的x的取值范圍

(2)常見函數(shù)定義域的求法

(1)分式函數(shù)中分母不等于零，0指數(shù)累的底數(shù)不為0.

(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽.

(4)對(duì)數(shù)y=logax,(a>0且a*l),x>0的真數(shù)要大于0,底數(shù)大于0且不等于1；

(5)y=r(a>0且存1)，y=sinx,y=cosx,定義域均為R.

(6?=tanx的定義域?yàn)閧鄧印析+工左GZ}.

(7)實(shí)際問題滿足實(shí)際意義。

例：求函數(shù)/(x)=J-~-+A/6-X-X2+log2(x-2)的定義域;

Vx+1

(3)值域的求法：了的取值范圍

1、一次函數(shù)y=依+6(。N0)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽；

2、二次函數(shù)了=/+6x+c(a/0)的定義域?yàn)镽,

i

〃>耐，值域是[也~—/+oo);a<OHt,值域是(-<?,也~—]

4a4a

3、反比例函數(shù)〉=勺4#0)的定義域?yàn)閧x|xNO},的值域?yàn)镹|"0,且yeR}

4、指數(shù)函數(shù)1，=d(。>。也力)的值域?yàn)?0,+8)。

5、對(duì)數(shù)函數(shù)^=10&工(4>0目^a1)的值域?yàn)閰^(qū)；

6、分式函數(shù)J,=M的值域?yàn)椴穦了片氏且yeR}。

7、另求值域的方法：配方法、性質(zhì)法、換元法、不等式法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)的

單調(diào)性等等。

(4)解析式求法：在求函數(shù)解析式時(shí)可用代入法、換元法、構(gòu)造法、待定系數(shù)法等。

二、函數(shù)的單調(diào)性：

增函數(shù)：函數(shù)值隨自變量的增大而增大，減少而減小。

減函數(shù)：函數(shù)值隨自變量的增大而減小，減少而增大。

①正比例函數(shù)/(x)=b(&￥0),當(dāng)k>0時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)k<0時(shí)為減函數(shù)；

②一次函數(shù)府)=丘+6(原0),當(dāng)上0時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)k<0時(shí)為減函數(shù)；

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③反比例函數(shù)外)=：(原0),當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(-8,0)和(0,+8)上是減函數(shù)，當(dāng)k<0

時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(-8,0)和(0,+8)上是增函數(shù)；

④二次函數(shù)的單調(diào)性：對(duì)函數(shù)/(x)=ax?+bx+c(aN0),

當(dāng)a〉0時(shí)函數(shù)/\x)在對(duì)稱軸x=-2的左側(cè)單調(diào)遞減，右側(cè)單調(diào)遞增；

2a

當(dāng)a<0時(shí)函數(shù)/(x)在對(duì)稱軸x=~—的左側(cè)單調(diào)遞增，右側(cè)單調(diào)遞減；

2a

⑤對(duì)數(shù)函數(shù)y=k>g/(a>0且存1),當(dāng)0<。<1時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為

增函數(shù).

⑥指數(shù)函數(shù)^=/(。>0,且“#1),當(dāng)0<。<1時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)心1時(shí),函數(shù)為

增函數(shù).

1、定義的等價(jià)命題：設(shè)x”X2e［a,“

(1)?如果八"一口小>0(X|WX2),則函數(shù)在［a,可是增函數(shù)

X\~X2

?(Xj-^2)［/(XI)-/(x2)］>0則函數(shù)在［a,可是增函遨

?對(duì)于任意的機(jī)，都有/(加+1)>/(陽)，則函數(shù)在［a,用為增函數(shù)。

(2)?如果/(：)：［(“2)<0(工產(chǎn)芍)，則函數(shù)在［凡可是遮函數(shù)

?(石一》2)［/(芭)一/(》2)］<0=/(x)在可是減函數(shù)。

?對(duì)于任意的"?，都有/(〃?+1)</(〃?)，則函數(shù)在［a,用減函數(shù)。

2、增+增=增減+減=減增-減=增減-增=減。

3、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減

三、函數(shù)的奇偶性：

奇函數(shù)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，自變量取相反值時(shí)函數(shù)值與原函數(shù)值相反。圖象關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱。

偶函數(shù)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，自變量取相反值時(shí)函數(shù)值與原函數(shù)值相同。圖象關(guān)于y

軸對(duì)稱。

1)、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)關(guān)于y(即x=0)軸對(duì)稱，奇函數(shù)關(guān)于(0,0)對(duì)稱,

2)、判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可以用定義的等價(jià)形式：f(x)±f(-x)=Q,」也=±1

/(-x)

3)、若奇函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R,則/(0)=0；

4)、/(x)±g(x)：奇±奇=奇、偶土偶=偶；y=/(x)-g(x)：同偶異奇；

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5）、奇函數(shù)的在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)的在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反;

6）、復(fù)合函數(shù)的奇偶性（口訣：內(nèi)偶即偶，內(nèi)奇同外）。

7)、常見的偶函數(shù)：/(x)=x2n,/(x)=|x|,/(x)=cosx,/。)=/+尸等等。

常見的奇函數(shù)：/'(x)=x2,,+l,/(x)=kx,f(x)=—,/(x)=sinx,/(x)=ax-a~x,

X

四、函數(shù)圖像的變換

（1）平移（左加右減、上加下減）

向左平移向右平移

y=/(x)>=/(x)一y=/(x-a)

〃個(gè)單位a個(gè)單位

向上平移向下平移

V=/(x)fV=/(x)+ay=/(x)-^y=f(x)-a

a個(gè)單位a個(gè)單位

（2）翻折

軸

y=/(x)—V=一/(x)

上、下對(duì)折

,=保留X軸上方圖像

,（X）下方翻折到上方一歹=1/(x)|

五、二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)的三種解析式

①一般式：/(x)=ax2+bx+c(a*0)

②頂點(diǎn)式：/（x）=a（x-k）2+h（。工0）,其中（左,〃）為頂點(diǎn)

③兩根式：f（x）=a（x-）（x-x2）（。工0）,其中X|、巧是/（x）=0的兩根

（2）圖像與性質(zhì)

二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，有如下特征與性質(zhì)：

1開口a>0->開口向上a<0->開口向下

2對(duì)稱軸：x=~—頂點(diǎn)坐標(biāo)：（-—,4qC~62）與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)（0,c）

2a2a4a

3增減性

①當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)x<-2,y隨著x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)

2a'

x>-—,丁隨x的增大而增大；

2a

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②當(dāng)。<0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)x<-2,y隨著X的增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)

2a

y隨X的增大而減??；

A>0->有兩交點(diǎn)

4△與X軸的交點(diǎn)：，△=()一有1交點(diǎn)④根與系數(shù)的關(guān)系：(韋達(dá)定理)

A<0->無交點(diǎn)

b

X)+=--

a

a

⑤/(x)=ax2+6x+c為偶函數(shù)的充要條件為6=0

⑥二次函數(shù)(二次函數(shù)恒大(小)于0)

y(x)>o<=>—°=圖像位于x軸上方

A<0

/(X)<0=，"<°=圖像位于x軸下方

A<0

⑦若二次函數(shù)對(duì)任意X都有/(/-x)=/(/+x),則其對(duì)稱軸是x=f。

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

一、指數(shù)塞的性質(zhì)與運(yùn)算

(1)根式的性質(zhì)：

①〃為任意正整數(shù)，而)"=a②當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，叱="；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

行=|a|

③零的任何正整數(shù)次方根為零；負(fù)數(shù)沒有偶次方根。

(2)零次塞：a0=1(a#0)

(3)負(fù)數(shù)指數(shù)惠：晨"=?(arO,〃eN*)

tn__

(4)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞：a"='-x[a^"(a>0,陽,〃eN+且”>1)

(5)實(shí)數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算法則：(a〉O,〃?,〃eH)

①，②③(al)"=a"

1.幕運(yùn)算時(shí)，注意將小數(shù)指數(shù)、根式都統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)；一般將每個(gè)數(shù)都化為最小

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的一個(gè)數(shù)的〃次方。

c宜飛蟠/當(dāng)a>0時(shí)，y=x"在（0,+oo）上單調(diào)遞增

當(dāng)a<0時(shí)，y=x"在（0,+8）上單調(diào)遞減

3.指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化：ah=N<^log,,N=b（°>0且。*1）、（N>0）

loe,,A

4.對(duì)數(shù)基本性質(zhì)：①log“a=1②loga1=0③a=N

④log“a"=N

⑤logab與log；,?；榈箶?shù)olog“b-log；,a=1olog?b=--------

log〃a

@10g?b"=—logb

mfl

5.對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算：

M

log“(M-N)=logM+log?Nlog?—=log?M-log?N

aN

6.換底公式：log“N=N(b>0且力w1)

log/,Q

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哥(次)或用換底公式或是利用中間值0，1來過渡。

9.指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程：①指數(shù)式和對(duì)數(shù)式互化②同底法③換元法④取對(duì)數(shù)法

注：解完方程要記得驗(yàn)證根是否是增根，是否失根。

5、反函數(shù)：原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域。圖象

關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱。

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D,值域是f(D)。如果對(duì)于值域RD)中的每一個(gè)y,在D

中有且只有一個(gè)y使得g(y)=x,則按此對(duì)應(yīng)法則得到了一個(gè)定義在f(D)上的函數(shù)，并把

該函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記為

x=rHvhlGf(D),即：4X)=/-“X),X€/(D),￡-1(X)=f(X),X€D；

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“x與指數(shù)函數(shù)y=/(a>0,且a豐1)互為反函數(shù)。

(2)原函數(shù)的定義域是其反函數(shù)的值域；反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域；

反函數(shù)的性質(zhì)：

1.函數(shù)y=F(x)的圖象和它的反函數(shù)y=f'(X)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；

2.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自的定義域內(nèi)具有相同的單調(diào)性。

3.如果兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,那么這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).

4.如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)的反函數(shù)就是它本身.反之

也成立。

5.點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)是Pi(b,a).

第五章數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列

每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差為同一個(gè)常數(shù)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比為同一個(gè)常數(shù)

a-a=a-a=...=a-a_=d

定2x32nnx"=&=…=2=q①H0)

%42%

注：當(dāng)公差d=0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列注：等比數(shù)列各項(xiàng)及公比均不能為0；

義

當(dāng)公比為1時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列

通

a“=a+(n-l)d1

項(xiàng)t%=

公f5,(〃=1)5,(〃=1)

式a=va?=?

"lSn-Sn-Xl\(n>2)/S“-S“T(?>2)

/7—a

(1)d="(1)廠

推n-m

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(2)an=am+{n-m)d(2)%=W

論

(3)若加+〃=p+q,則。加+*=Qp+%(3)若〃?+〃=p+q,則。所/二?！?

三個(gè)數(shù)a、氏c成等差數(shù)列，則有三個(gè)數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，則有

項(xiàng)

公2b=a+cob="+'b2=ac

式2

前nn(a^n(n-^

s=dS("1)

"212“\-q\-q

第六章三角函數(shù)

1.弧度和角度的互換

180"=萬弧度1°=2弧度“0.01745弧度1弧度=(二)°”57。18,

180

2.扇形弧長公式和面積公式

=\a\-r5扇=|a|?/(記憶法：與S

3.任意三角函數(shù)的定義:

22對(duì)邊鄰邊x

r=y]x+y，sina=

斜邊rC0Sa=Mii=7

4.特殊三角函數(shù)值

角度0030,45°60°90°120。135°1500180。270”360°

角

71TC717127r37573冗

a弧度02萬

~67yTT~6T

J旦V3V3

sina0i也0-10

22TVV2

V3J_V2_V|

cosa1也0-101

TT~2

角2

不

函存_V3不存

tana0i-V3-i00

數(shù)在

33在

值

不

存不存不存

cotaV3i迫0-i-V30

在~T在在

5.三角函數(shù)的符號(hào)判定

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(1)口訣：一全二正弦，三切四余弦。(三角函數(shù)中為正的，其余的為負(fù))

(2)圖像記憶法

6.三角函數(shù)基本公式

(1)平方關(guān)系：sin'(z+cos2a=1。sin2a=1-cos2acos2a=1-sin2a

zy(a。—Fk?rrkez)9nAy

(2)商數(shù)關(guān)系：----二tana2cosa=-------

cosatana

(3)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa

這三個(gè)式子，利用(sin。土cosa)2=l±2sinacosa,可以知一求二.

(4)sina,cosa的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于sina,cosa的齊次式,

sina-3cosa

利用陋3=tana可以實(shí)現(xiàn)南a的弦切互化如：sina+cosa分子與分母同時(shí)除以

cosa

?22

cosa變成只有tana的式子；或含有sm-a,cos〃及sinacosa的式子求值時(shí)，可

將所求式子的分母看作T,利用“sin?a+cos2a=1”代換后轉(zhuǎn)化為“切，，后求解.

如：sin,a+sinacosa=然后分子與分母同時(shí)除以cos%變

sin:a+cos2a

成只有tana的式子.

7.誘導(dǎo)公式：口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限。

TT

解釋：指左.七+Q(左￡Z),若左為奇數(shù)，則函數(shù)名要改變，若％為偶數(shù)函數(shù)名

2

不變。

(l)sin(2〃)+a)=sina,cos(ikrc+a)=cosa,tan(2Z;r+a)=tana(AeZ).

(2)sin(+cif)=-sincr,cos(〃+a)=-cosa,tan(乃+a)=tana.

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

(4)sin(萬一a)=sina,cos(乃一a)=-cosa,tan("一a)=-tana.

口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限.

cos-+a二-sina.

(2J

口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限.

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8、已知三角函數(shù)值求角a:

(1)確定角a所在的象限;(2)求出函數(shù)值的絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角優(yōu)；(3)寫出滿足條件的

0?2萬的角；(4)加上周期(同終邊的角的集合)

9、和角、倍角公式

⑴和角公式：sin(cr±/3)=sinacosP±cosasinp注意正負(fù)號(hào)相同

cos(a±(3)=cosacos夕干sinasin0注意正負(fù)號(hào)相反

tana±tan

tan（6z±/?）

1+tanatan0

⑵二倍角公式sin2。=2sinocos。

c2tana

cos2a=cos2a-sin2a=l-2sin2a=2cos2tan2a=--------「

1一tarr。

「2a

]+co5ct=2cos2-1-cosa.=2sm—

22

(3)半角公式：si吟=±4|1-cosa

9.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

y=sinxy=cosxy=tanx

k

yy

圖象\Jt2/2/

-o014

TV%

*7C

定義域RRxwk兀?——，攵GZ>

2J

值域Hl][T,I]R

當(dāng)x=+{kGZ）當(dāng)x=2k兀（左￡Z）時(shí)，

Znax=1；

時(shí)，J』T；既無最大值也無最小

最值當(dāng)x=2左乃+乃

當(dāng)x=24乃-5（%EZ）時(shí),值

（左WZ）時(shí),%=T-

?Vmin二一1.

周期性2zr2萬兀

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

_.7V_.TV在［2左"一乃］(4wZ)在(171;乃）

單調(diào)性在2k7r----,24江+一K7C----.K7T+—

22_上是增函數(shù)；22）

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(kGZ)上是增函數(shù)；在［22肛22萬+句(4eZ)上是增函數(shù).

^\lk7t+-,2k7r+—(斤eZ)上是減函數(shù).

.22.

/eZ)上是減函數(shù).

對(duì)稱中心對(duì)稱中心

(k兀,0)(kGZ)(左萬+5,0)(左GZ)對(duì)稱中心

仁，。卜eZ)

對(duì)稱性對(duì)稱軸

對(duì)稱軸

(兀+無對(duì)稱軸

x=1/(keZ)x=k兀(keZ)

7.正弦函數(shù)了=Zsin(qr+9)(A>0,(y>0)

(1)定義域A,值域［-4圖

(2)周期：T=竺27r

CO

(3)注意平移的問題：一要注意函數(shù)名稱是否相同，二要注意將x的系數(shù)提出來，再

看是怎樣平移的。

(4)y=asinx+6cosx+/sin(x+°)

8.正弦定理

-^—=L=-^=2R(火為A48c的外接圓半徑)

sinAsinBsinC

其他形式：(1)a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC(注意理解記憶，可只記

一個(gè))

(2)a:6:c=sin/：sin8:sinC

9.余弦定理

a2=b2+c2-2hccosAncosA="(注意理解記憶，自己寫出

2bc

另外4個(gè)公式)

10.三角形面積公式

S..=—aZ>sinC=—&csinA=—acsinB(注意理解記憶，可只記一個(gè))

MBB。C222

11.海倫公式：So=1P(P-a)(P-b)(P-c)(其中P為ZU5C的半周長，

pi>。)

2

第七章平面向量

1.向量的概念

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（1）定義：既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示：書寫時(shí)一定要加箭頭！另起點(diǎn)為A,終點(diǎn)為B的向量表示為茄。

（3）向量的模（長度）：|翡|或㈤

（4）零向量：長度為0,方向任意。

單位向量：長度為1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的兩個(gè)向量。

反（負(fù)）向量：大小相等，方向相反的兩個(gè)向量。

2.向量的運(yùn)算

（1）圖形法則

加法：AB+BC=AC減法：AB-AC=CA

（3）運(yùn)算律：加法交換律、結(jié)合律注：乘法（內(nèi)積）不具有結(jié)合律

3.數(shù)乘向量：（1）模為：|4||。（2）方向：4為正與1相同；2為負(fù)與々相

反。

4.刀的坐標(biāo)：終點(diǎn)B的坐標(biāo)減去起點(diǎn)A的坐標(biāo)。AB^（xB-xA,yB-yA）

5.向量共線（平行）：三唯一實(shí)數(shù)2,使得1=（可證平行、三點(diǎn)共線問題等）

6.平面向量分解定理：如果1是同一平面上的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)該平面上

的任一向量a,都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)天,》2,使得a=再與+。

7.注意A48c中，重心（三條中線交點(diǎn)）、外心（外接圓圓心：三邊垂直平分線交點(diǎn)）、

內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心：三角平分線交點(diǎn)）、垂心（三高線的交點(diǎn)）

8.向量的內(nèi)積（數(shù)量積）

（1）向量之間的夾角：圖像上起點(diǎn)在同一位置；范圍［0,加。

（2）內(nèi)積公式：a-=|a||61cos<a,b>

9.向量內(nèi)積的性質(zhì)：

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—?-?n?h—-?-?一

（1）cos<a,b>=-二二-（夾角公式）（2）a.Lba-b=0

\a\\b\

（3）a?>=|a［或|a|=Ji?a（長度公式）

10.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：（1）AB=（x8-xA,yB-yA）

（2）設(shè)。=區(qū),必）花=（'2/2），貝1J?！佬径^(qū)±%2,必土歹2）4"（回,肛）

a-b=%］X2+y1y2

11.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若A（x”必）,BO2,必），點(diǎn)M（x,y）是線段AB的中點(diǎn)，則

12.向量平行、垂直的充要條件：設(shè)。=（項(xiàng),必）［=（/,％），則

3〃刃=%="（相對(duì)應(yīng)坐標(biāo)比值相等）

夕2

aLboa-Z=0=xtx2+必％=0（兩個(gè)向量垂直則它們的內(nèi)積為0）

11.長度公式

（1）向量長度公式：設(shè)a=（x,y）,則|a|=Jx2+/

（2）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)點(diǎn)工區(qū),必）,8（X2,%），則I4B|=—xj2+（%—%產(chǎn)

第八章平面解析幾何

1.曲線C上的點(diǎn)與方程2x/）=0之間的關(guān)系：

（1）曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程/（x/）=0的解；

（2）以方程尸（x,y）=0的解（xj）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線。上。

則曲線C叫做方程尸（x,y）=0的曲線,方程尸（x,歷=0叫做曲線C的方程。

2.求曲線方程的方法及步驟：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）；（2）寫出動(dòng)點(diǎn)在曲線上的

充要條件；（3）用xj的關(guān)系式表示這個(gè)條件列出的方程；（4）化簡方程（不需要

的全部約掉）；（5）證明化簡后的方程是所求曲線的方程。如果方程化簡過程是同解

變形的話第五步可省略。

3.兩曲線的交點(diǎn)：聯(lián)立方程組求解即可。

4.直線：

（1）傾斜角a：一條直線/向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角叫這條直線的傾

斜角。其范圍是［0,萬）

（2）斜率：①傾斜角為90°的直線沒有斜率；②左=tana（傾斜角的正切）

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③經(jīng)過兩點(diǎn)6區(qū),必),鳥(萬2，%)的直線的斜率K=上匹(X尸》2)

x2-Xj

(3)直線的方程

1兩點(diǎn)式：之二21=33②斜截式：y=kx+b

乃一必X2-%)

③點(diǎn)斜式：y~y0=k(x-x0)④一般式：Ax+By+C=0

設(shè)直線方程的一些常用技巧：

令知直線縱截距6,斜率存在時(shí)常設(shè)其方程為丁=履+6；

令知直線橫截距x。，常設(shè)其方程為x=〃?y+x.(它不適用于斜率為0的直線)；

令知直線過點(diǎn)(%,%),當(dāng)斜率％存在時(shí)，常設(shè)其方程為y=k(x-/)+為，當(dāng)斜率左不

存在時(shí)，則其方程為x=x0；

令與直線/:Ax+By+C=0平行的直線可表示為Ax+By+Cx=0；

令與直線/:4r+By+C=0垂直的直線可表示為Bx-Ay+CX-Q.

提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。

注：求直線的方程最后要化成一般式。

(4)兩條直線的位置關(guān)系

/,：4%+用工+。1=0/:Jx+Bx+C=0

:y=k[X+4：V=k2x+b22222

4與平行k}=公且Awh2

4B2C2

人與乙重合k[=左2口力i=b?

A=A=￡L

“2C2

士

4與，2相交k、wk2-4-豐-B-\

a星

川k}-k2——144+B、B>=0

注：系數(shù)為0的，情況可畫圖像來判定。

5.距離公式

(1)平面上的。百點(diǎn)PGi,yi).2(X2,聞間的距離公式尸典=

q(xi-X2)2+(JL/)2.

(2)點(diǎn)P(xo,y°)到直線/：Zx+8y+C=0的距離

(3)兩條平行多戈Ax-\-By-\-C\=G與Ax+By-\-C2=0間的距離為