天津大港區(qū)第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

天津大港區(qū)第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于函數(shù)，若存在非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，則稱為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是（▲）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．B10

【答案解析】D

解析：對(duì)于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f（x）=f（2a﹣x），則稱f（x）為準(zhǔn)偶函數(shù)，∴函數(shù)的對(duì)稱軸是x=a，a≠0，選項(xiàng)A函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱軸；選項(xiàng)B、函數(shù)的對(duì)稱軸是x=0，選項(xiàng)C，函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱軸．函數(shù)f（x）=cos（x+1），有對(duì)稱軸，且x=0不是對(duì)稱軸，選項(xiàng)D正確．故選：D．【思路點(diǎn)撥】由題意判斷f（x）為準(zhǔn)偶函數(shù)的對(duì)稱軸，然后判斷選項(xiàng)即可．2.在中，若、、分別為角、、的對(duì)邊，且，則有（

）．成等比數(shù)列

．成等差數(shù)列

．成等差數(shù)列

．成等比數(shù)列參考答案：答案：D解析：由變形得：，，∴上式化簡(jiǎn)得：，，即，由正弦定理得：，則成等比數(shù)列．故選D3.已知函數(shù),的部分圖像如圖,則（

）A．

B．C．

D．參考答案：B略4.已知點(diǎn)A是拋物線x2=4y的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且滿足|PA|=m|PB|，當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A．

B．+1 C．D．﹣1參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合|PA|=m|PB|，可得=，設(shè)PA的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義，即可得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=，設(shè)PA的傾斜角為α，則sinα=，當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，設(shè)直線PA的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為PA﹣PB=2（﹣1），∴雙曲線的離心率為=+1．故選B．5.圖所示的陰影部分由坐標(biāo)軸、直線x=1及曲線y=ex﹣lne圍成，現(xiàn)向矩形區(qū)域OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在非陰影區(qū)域的概率是（）A． B．C．1﹣D．1﹣參考答案：D【考點(diǎn)】定積分；幾何概型．【分析】求出陰影部分的面積，以面積為測(cè)度，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，陰影部分的面積為（ex﹣1）dx=（ex﹣x）|=e﹣2，∵矩形區(qū)域OABC的面積為e﹣1，∴該點(diǎn)落在陰影部分的概率是=1﹣．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算，考查定積分知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．6.設(shè)a，b≠0，則“a＞b”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：D【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】?＜0?ab（b﹣a）＜0與a＞b相互推不出．【解答】解：?＜0?ab（b﹣a）＜0與a＞b相互推不出．∴“a＞b”是“”的既不充分也不必要條件．故選：D．7.已知集合，，則（

）A．

B． C． D．參考答案：C8.的值為（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：D略9.將正方形（如圖1所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.若變量滿足，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（

）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在空間直角坐標(biāo)系中，滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的空間區(qū)域的體積為（分別表示不大于的最大整數(shù)），則=

_參考答案：812.已知函數(shù)，給出下列五個(gè)說(shuō)法：①.②若，則.③在區(qū)間上單調(diào)遞增.④將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得到的圖象.⑤的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3【答案解析】①④

f（x）=cosx?sinx=sin2x，為奇函數(shù)．

①f（）=f（）=sin=×=，正確；

②由f（x1）=-f（x2）=f（-x2），知x1=-x2+2kπ?或x1=π-x2+2kπ?，k∈Z；所以②錯(cuò)誤．

③令-+2kπ≤2x≤+2kπ，得-+kπ≤x≤+kπ，由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)知f（x）在每一個(gè)閉區(qū)間[-+kπ，+kπ]上單調(diào)遞增，但[-，]?[-+kπ，+kπ]，故函數(shù)f（x）在[-，]上不是單調(diào)函數(shù)；所以③錯(cuò)誤．

④將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位可得到y(tǒng)=sin2(x-)=sin?(2x-)=cos2x，所以④正確；

⑤函數(shù)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足2x0=kπ，解得x0=，即對(duì)稱中心坐標(biāo)為(，0)，則點(diǎn)（-，0）不是其對(duì)稱中心．所以⑤錯(cuò)誤．故答案為①④．【思路點(diǎn)撥】利用三角公式和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．13.若，則______________.參考答案：略14.如圖，在矩形ABCD中，AB=2．AD=3，AB中點(diǎn)為E，點(diǎn)F，G分別在線段AD，BC上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則∠FEG為銳角的概率為

。參考答案：略15.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，漸近線方程為，圓C經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)且圓心在雙曲線上，則圓心到該雙曲線的中心的距離是

.參考答案：由題意易得雙曲線的方程為，頂點(diǎn)為（±3，0），焦點(diǎn)為（±5，0）．又圓心在雙曲線上，所以圓C應(yīng)過(guò)左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)或右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，即圓心的橫坐標(biāo)為±4，設(shè)圓心的縱坐標(biāo)為m，則，所以，所求的距離為。

16.若在區(qū)間(-2,+∞)上是增函數(shù)，則的取值范圍是

參考答案：17.（6分）（2015?浙江模擬）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則動(dòng)點(diǎn)P（x，y）所形成區(qū)域的面積為，z=|x﹣2y+2|的取值范圍是．參考答案：12,[0，18].【考點(diǎn)】：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】：計(jì)算題；作圖題；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：由題意作出其平面區(qū)域，從而利用三角形的面積公式求面積，再由z=|x﹣2y+2|的幾何意義是陰影內(nèi)的點(diǎn)到直線x﹣2y+2=0的距離的倍求其取值范圍，從而解得．解：由題意作出其平面區(qū)域，可知A（﹣4，8），B（2，2）；故動(dòng)點(diǎn)P（x，y）所形成區(qū)域的面積S=×4×（4+2）=12；z=|x﹣2y+2|的幾何意義是陰影內(nèi)的點(diǎn)到直線x﹣2y+2=0的距離的倍；故0≤|x﹣2y+2|≤|﹣4﹣2×8+2|=18；即0≤z≤18；故答案為：12，[0，18]．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，作圖要細(xì)致認(rèn)真，用到了表達(dá)式的幾何意義的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，DB=DC=4，∠BDC=90°，P在線段BC上，CP=3PB，M，N分別為AD，BD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BC⊥平面MNP；（Ⅱ）若AB=4，求直線MC與平面ABC所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出MN∥AB，MN⊥BC，PN⊥BC，由此能證明BC⊥平面MNP．（Ⅱ）由AB⊥QD，得QD⊥平面ABC，連接AQ，取AQ的中點(diǎn)E，連接EM，EC，得到∠MCE就是直線MC與平面ABC所成角，由此能求出直線MC與平面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵M(jìn)N是△ABD的中位線，∴MN∥AB．…（2分）又AB⊥平面PBC，∴MN⊥平面PBC．∴MN⊥BC．①…（4分）取BC的中點(diǎn)Q，連接DQ，則DQ⊥BC．由PN是△BDQ的中位線知PN∥DQ，∴PN⊥BC．②…（6分）由①②，得BC⊥平面MNP．…（7分）解：（Ⅱ）∵AB⊥平面PBC，∴AB⊥QD．而B(niǎo)C⊥QD，∴QD⊥平面ABC．…（9分）連接AQ，取AQ的中點(diǎn)E，連接EM，EC．在△AQD中，EM是中位線，∴EM∥QD．∴EM⊥平面ABC．…（10分）∴∠MCE就是直線MC與平面ABC所成角．…（11分）連接CN，則，，在Rt△MCE中，，∴直線MC與平面ABC所成角的正弦值為．…（15分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明，考查線面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19.某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語(yǔ)類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個(gè)城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示：其中一個(gè)數(shù)字被污損．（1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率．（2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對(duì)成語(yǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)積累的熱情，從中獲益匪淺．現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾的周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間y（單位：小時(shí)）與年齡x（單位：歲），并制作了對(duì)照表（如表所示）年齡x（歲）20304050周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間y（小時(shí)）2.5344.5由表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程=x+，并預(yù)測(cè)年齡為55歲觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間．參考公式：=，=﹣x．參考答案：【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】（1）求出基本事件的個(gè)數(shù)，即可求出概率；（2）求出回歸系數(shù)，可得回歸方程，再預(yù)測(cè)年齡為55歲觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間．【解答】解：（1）設(shè)被污損的數(shù)字為a，則a有10種情況．令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，則a＜8，∴東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)，有8種情況，其概率為=；（2）由表中數(shù)據(jù)得=35，=3.5，===，=∴=x+．x=55時(shí)，=4.9小時(shí)．可預(yù)測(cè)年齡為55觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間為4.9小時(shí)．20.已知,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)設(shè),若,求的值.

參考答案：解:(Ⅰ)∵∴又∵,……3分

∴,………………5分

∴.…6分(Ⅱ)∵

∴即

…8分兩邊分別平方再相加得:

∴

∴……10分∵且∴…12分

略21.證明下列恒等式；（1）；（2）.參考答案：（1）見(jiàn)證明；（2）見(jiàn)證明【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用化簡(jiǎn)和式通項(xiàng)后再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可證等式成立.（2）把變形為，從而，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可以得到，最后利用累加法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)