2022-2023學(xué)年四川省德陽市高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年四川省德陽市高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡集合A和B，再根據(jù)交集的定義求解．【詳解】由題得，，所以.故選：A.2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡求值即可.【詳解】由，得，故選：D．3．如圖，是斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖，是的中點(diǎn)，且軸，軸，，，那么（

）A．的長度大于的長度 B．的長度等于的長度C．的面積為4 D．的面積為2【答案】C【分析】把斜二測畫出的三角形的直觀圖還原原圖形求解.【詳解】如圖所示：由圖象知：對于A，，則有，A錯(cuò)誤；對于B，，，B錯(cuò)誤；的面積，C正確D錯(cuò)誤；故選：C4．若向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B．（，）C．（，） D．（4，2）【答案】B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積及向量在向量上的投影向量計(jì)算即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為，故選：B5．已知，則的化簡結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系化簡即可.【詳解】因?yàn)椋?，，則，所以.故選：A6．以下說法正確的個(gè)數(shù)為（

）①圓柱的所有母線長都相等②棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形③底面是正多邊形的棱錐是正棱錐④棱臺(tái)的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用圓柱，棱柱，正棱錐和棱臺(tái)的定義和性質(zhì)，逐一對①②③④分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對于①，由圓柱的性質(zhì)知，所以母線相等，故①正確；對于②，所有棱柱的側(cè)棱長相等，側(cè)面都是平行四邊形，故②正確；對于③，底面是正多邊形，側(cè)面是全等的等腰三角形是正棱錐，故③錯(cuò)誤；對于④，用平行于底面的平面去截棱錐可得到棱臺(tái)，所以棱臺(tái)的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)，故④正確.故選：C.7．已知函數(shù)，，則“”是“的值域?yàn)椤钡模?/p>

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】利用特殊值法判斷充分性不成立，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷必要性成立，由此可得出結(jié)論.【詳解】充分性：取，，則成立，此時(shí)，則，可得，充分性不成立；必要性：函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)椋?dāng)函數(shù)在上單調(diào)時(shí)，取得最小值，且有，必要性成立.因此，“”是“的值域?yàn)椤钡谋匾怀浞謼l件.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷充分條件和必要條件，一般有以下幾種方法：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法.8．設(shè)O為△ABC的外心，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若b=3，c=5，則=（）A．8 B． C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義結(jié)合圓的性質(zhì)求解作答.【詳解】因?yàn)镺為△ABC的外心，則，同理，所以.故選：A二、多選題9．一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱?圓錐?球的體積之比為【答案】CD【詳解】根據(jù)圓柱，圓錐，球體的側(cè)面積，表面積，和體積公式依次判斷選項(xiàng)即可.【點(diǎn)睛】對選項(xiàng)A，圓柱的側(cè)面積為，故A錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B，圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積為，故B錯(cuò)誤.對選項(xiàng)C，球的表面積為，故C正確.對選項(xiàng)D，圓柱的體積，圓錐的體積，球的體積，所以圓柱?圓錐?球的體積之比為，故D正確.故選：CD10．若，是方程的兩個(gè)虛數(shù)根，則（

）A．的取值范圍為 B．的共軛復(fù)數(shù)是C． D．為純虛數(shù)【答案】BCD【分析】，是方程的兩個(gè)虛數(shù)根，則，得，則根據(jù)一元二次方程方程的求根公式可知的共軛復(fù)數(shù)是，【詳解】由，得，A錯(cuò)誤；因?yàn)樵匠痰母鶠?，所以的共軛?fù)數(shù)是，B正確；，C正確；因?yàn)榈扔诨颍詾榧兲摂?shù)，D正確.故選：BCD.11．已知函數(shù)，其中的最小正周期為，且，則下列說法正確的是（

）A．的一條對稱軸為B．若，則有是的整數(shù)倍C．的圖象關(guān)于對稱D．若，函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【分析】根據(jù)題意求得，對于A：說明為一條對稱軸；對于B：兩個(gè)零點(diǎn)之間相差半個(gè)周期的整數(shù)倍；對于C：驗(yàn)證是否為的零點(diǎn)；對于D：先求出的范圍，再求的值域.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，所以，對于A：因?yàn)椋缘囊粭l對稱軸為，故A正確；所以，所以，因?yàn)椋?，所以，對于B：由得，所以，所以，故B正確；對于C：因?yàn)?，所以不是的圖象的對稱中心，故C錯(cuò)誤；對于D：由得，所以，故D正確.故選：ABD12．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用．如圖，一個(gè)半徑為6米的筒車逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其圓心O距離水面3米，已知筒車每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，如果當(dāng)筒車上一盛水桶M（視為質(zhì)點(diǎn)）從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過t秒后，盛水桶M運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)秒時(shí)，米；B．在轉(zhuǎn)動(dòng)一周內(nèi)，盛水桶到水面的距離不低于6米的持續(xù)時(shí)間為20秒；C．當(dāng)時(shí)，盛水桶距水面的最大距離為米；D．盛水桶運(yùn)動(dòng)15秒后筒車上另一盛水桶恰好露出水面，則轉(zhuǎn)動(dòng)中兩盛水桶高度差的最大值為米．【答案】BCD【分析】以水輪所在平面為坐標(biāo)平面，以水輪軸心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于水面的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)距離水面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)一一分析即可.【詳解】解：以水輪所在平面為坐標(biāo)平面，以水輪軸心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于水面的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)距離水面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為．則，解，，又水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一周，則，，由，得，，則．對于A：當(dāng)時(shí)，，又，，故A錯(cuò)誤；對于B：令，則，所以，解得，則在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，盛水桶到水面的距離不低于米以上的持續(xù)時(shí)間為秒，故B正確；對于C，當(dāng)，則，則，所以，故C正確；設(shè)盛水桶運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則另一桶為，所以，當(dāng)時(shí)，故D正確；故選：BCD．三、填空題13．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則__________.【答案】【分析】利用計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)可知，，所以，故答案為：14．已知圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺(tái)的側(cè)面積為，則其母線長為__________.【答案】9【分析】由圓臺(tái)的側(cè)面積公式求得圓臺(tái)的母線長.【詳解】圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為6，設(shè)圓臺(tái)的母線長為l，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為，則，所以圓臺(tái)的母線長為9．故答案為：9.15．三棱錐的頂點(diǎn)都在球O的球面上，且，若三棱錐的體積最大值為108，則球O的表面積為________.【答案】【分析】解三角形知為直角三角形，求出外接圓半徑，圓心、球心、P在一條直線上時(shí)棱錐體積最大，求出此時(shí)棱錐高，再由求出球的半徑即可.【詳解】在中，由正弦定理得：，解得，，外接圓的半徑，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，P到的距離最大，即P點(diǎn)為AB中點(diǎn)與球心連線延長線與球的交點(diǎn)，且此連線垂直于平面ABC，設(shè)三棱錐的高為h，則，解得，設(shè)球的半徑為R，則，解得..故答案為：16．已知分別為銳角的三個(gè)內(nèi)角的對邊，為中點(diǎn)，，且，則長度的取值范圍為__________.【答案】【分析】利用正弦定理，余弦定理可求，由向量求得，再利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，利用三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由已知及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又，∴．由正弦定理得，∴，∵銳角，∴，∴．∴的取值范圍為．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以所以因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋?四、解答題17．已知，向量，.(1)如圖，若四邊形OACB為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P為線段AB的靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，，可得，則，若四邊形OACB為平行四邊形，可得，則，解得，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為.（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由（1）可知：，則，若點(diǎn)P為線段AB的靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則，則，解得，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.18．已知銳角，，且滿足，．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出和，利用兩角和的正弦弦公式求出；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，然后利用兩角和的余弦公式求，結(jié)合角的范圍可得答案.【詳解】（1）因?yàn)椋卿J角，所以由，，∵為銳角，，且，∴，，，，所以，，.（2）因?yàn)槭卿J角，由，則，由，，所以，，∵，∴．19．在長方體中，下底面的面積為16，.(1)求長方體的表面積的最小值；(2)在（1）的條件下，設(shè)上底面的中心為，求三棱錐的體積.【答案】(1)96(2)【分析】（1）首先利用棱長表示正方體的表面積，再結(jié)合基本不等式求最小值；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化求三棱錐的體積.【詳解】（1）設(shè)，，由題意可知，，則長方體的表面積，當(dāng)時(shí)，等號成立，所以長方體表面積的最小值為96；（2）由（1）可知，，根據(jù)等體積公式可知，.20．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）先將條件中的等式全部變?yōu)檎?，然后利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求角即可；?）先利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為的關(guān)系，再結(jié)合（1）中的條件求出，最后利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）,由正弦定理得，即，又，；（2），由正弦定理得①，又②，由①②得，.21．已知．(1)當(dāng)時(shí)，求的x的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式，對任意的恒成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡得到，代入得到，解得答案.（2）代入數(shù)據(jù)化簡不等式，設(shè)，，變換得到，設(shè)，計(jì)算最大值得到答案.【詳解】（1）.，即，故，解得.（2），即，即，設(shè)，則，，，則，，故，即，設(shè)，，故，解得，即.22．十字測天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晚期的航海領(lǐng)域，主要用于測量太陽等星體的方位，便于船員確定位置.如圖1所示，十字測天儀由桿AB和橫檔CD構(gòu)成，并且E是CD的中點(diǎn)，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動(dòng).十字測天儀的使用方法如下：如圖2，手持十字測天儀，使得眼睛可以從A點(diǎn)觀察.滑動(dòng)橫檔CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽，此時(shí)視線恰好經(jīng)過點(diǎn)D，DE的影子恰好是AE.然后，通過測量AE的長度，可計(jì)算出視線和水平面的夾角（稱為太陽高度角），最后通過查閱地圖來確定船員所在的位置.(1)若在某次測量中，橫檔的長度為20，測得太陽高度角，求影子AE的長；(2)若在另一次測量中，，橫檔的長度為20，求太陽高度角的正弦值；(3)在桿AB上有兩點(diǎn)，滿足.當(dāng)橫檔CD的中點(diǎn)E位于時(shí)，記太陽高度角為，其中，都是銳角.證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析.【分析】(1)由題意結(jié)合圖形，在中用正切函數(shù)的定義即可求出.(2)先求出，用余弦定理求出的值，再用同角的平方關(guān)系即可求出；或先求出和，再用正弦的二倍角公式求出.(3)先求出，通過變形得到討論函數(shù)在上的單調(diào)性，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）如圖1，由題意得，，，且E是的中點(diǎn)，，，所以在中，.（2）解法一：由題意，.由于E是的中點(diǎn)，且，所以，且.由余弦定理得從而即