高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）第4章立體幾何初步知識(shí)總結(jié)

立體幾何知識(shí)總結(jié)目錄一、直線與直線的位置關(guān)系 1二、直線與平面的位置關(guān)系 1三、平面與平面的位置關(guān)系 2四、空間中平行的相關(guān)概念 2五、空間中的平行關(guān)系 2六、空間中垂直的相關(guān)概念 3七、空間中的垂直關(guān)系 3八、空間中的距離問(wèn)題 4九、空間中所成角問(wèn)題 4十、幾類(lèi)簡(jiǎn)單幾何體的表面積、體積 5十一、內(nèi)接球、外接球問(wèn)題 5一、直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交aabAa∩一個(gè)公共點(diǎn)平行aaba//b無(wú)公共點(diǎn)異面αabαaba與b異面無(wú)公共點(diǎn)注：兩條直線與公共點(diǎn)，可能是平行，也有可能是異面位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)個(gè)數(shù)直線在平面內(nèi)aaαa?α無(wú)數(shù)個(gè)直線不在平面內(nèi)直線與平面平行ααaa//α無(wú)公共點(diǎn)直線與平面相交直線與平面斜交ααaAa∩α=A一個(gè)直線與平面垂直αaαaAa⊥α一個(gè)二、直線與平面的位置關(guān)系三、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)個(gè)數(shù)平面與平面平行ααβα//β無(wú)公共點(diǎn)平面與平面相交平面與平面斜交α∩β=a無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（一條公共直線）平面與平面垂直ααβα⊥β無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（一條公共直線）四、空間中平行的相關(guān)概念概念文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線面平行的定義直線l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)．?l與α的交集是?.ααll面面平行的定義如果兩個(gè)平面α，β沒(méi)有公共點(diǎn)，就稱(chēng)這兩個(gè)平面平行ααβα五、空間中的平行關(guān)系線線平行線面平行的線面平行的判定定理線面平行的性質(zhì)定理面面平行的性質(zhì)定理線面平行的性質(zhì)定理面面平行的性質(zhì)定理a?αa?αα∥αa面面平行的判定定理a面面平行的判定定理aα//β,a?α?a//β面面平行的性質(zhì)一面面平行線面平行α//β,a?α?a//β面面平行的性質(zhì)一線線平行的證明方法：1.中位線定理（三角形，梯形）；2.平行四邊形；3.平行線分線段成比例；4.平行的傳遞性名稱(chēng)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線面垂直的定義直線l與平面α相交，并且垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線，那么就稱(chēng)直線l與平面α垂直.ll面面垂直的定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。αα⊥β六、空間中垂直的相關(guān)概念七、空間中的垂直關(guān)系ααlab線線垂直線面垂直的線面垂直的判定定理αab性質(zhì)1αab性質(zhì)1：若a⊥α，a線面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)性質(zhì)2：若a∥b，b⊥性質(zhì)性質(zhì)3：若a⊥αaaβαa⊥β,a?α?α⊥β面面垂直的判定定理a⊥β,a?α?α⊥β面面垂直的判定定理α⊥β，α∩β=CD，AB?α，AB⊥α面面垂直的性質(zhì)定理線線垂直的判定方法：1.勾股定理的逆運(yùn)用（知線段長(zhǎng)度）；2.等腰三角形的三線合一；3.線面垂直；4.矩形，正方形線面垂直的判定方法：1.證明二面角是直二面角；2.利用判定定理。八、空間中的距離問(wèn)題直線到平面的距離一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線與這個(gè)平面的距離.OPαlOPαllPO⊥α?平面與平面的距離平面α平行于平面β，則稱(chēng)平面α上任意一點(diǎn)到平面β的距離為平面α到平面β的距離PPOαPO九、空間中所成角問(wèn)題文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言范圍異面直線所成角不在同一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).ααa（直線與平面的夾角平面的一條斜線和它在平面上的投影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角llαAOP∟[0°,90°]平面與平面的夾角（二面角）二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫作二面角的平面角[

0°十、幾類(lèi)簡(jiǎn)單幾何體的表面積、體積（一）表面積公式 圖形表面積公式多面體多面體的表面積就是各個(gè)面的面積的和，也就是展開(kāi)圖的面積旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πrl＋2πr2圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πrl＋πr2圓臺(tái)上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πl(wèi)(r＋r′)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)（二）體積公式（1）柱體：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh.（2）錐體：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh.（3）臺(tái)體：臺(tái)體的上，下底面面積分別為S′，S，高為h，則V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.（三）球的體積 設(shè)球的半徑為R，則球的體積V＝eq\f(4,3)πR3.（四）球的表面積 設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，十一、內(nèi)接球、外接球問(wèn)題（一）正方體的外接球正方體的中心與其外接球球心重合.正方體的外接球直徑=正方體體對(duì)角線長(zhǎng).2R=a2+a2OAOABCDD1長(zhǎng)方體的中心與其外接球球心重合.長(zhǎng)方體的外接球直徑=長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).2R=O?O?O1?CBAA’BC'D正三棱柱兩底面中心連線的中點(diǎn)為其外接球球心球心到正三棱柱兩底面的距離相等R（四）正四棱錐的外接球連接AC,BD交于點(diǎn)O1;延長(zhǎng)PO1交球面于E，則PA⊥AE.EO11.∠PAOEOEEPAORROREPARROEPARRO1(O球的半徑為底面對(duì)角線的一半。3.∠PAO1>45°EEPAORRO?O?OPCBA(法1：補(bǔ)形法)把正四面體放在正方體中，則正方體的外接球就是正四面體的外接球，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則a=2x2R=?ODR?O′?ODR?O′PCBAaR則OADOADO′P??RaR∴RtΔAOO'即解得（六）三