量子力學(xué)用算符表達(dá)與表象變換

量子力學(xué)用算符表達(dá)與表象變換第一頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.1算符的運(yùn)算規(guī)則1.算符定義：作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)。

2.線性算符算符

若成立，則是線性算符。

單位算符I，Iψ＝ψ，對(duì)ψ是任意函數(shù)成立。

?

算符相等：對(duì)任意函數(shù)Ψ，若成立，則.可觀測(cè)的力學(xué)量算符都是線性算符。是態(tài)迭加原理反映。第二頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五算符和、差滿足交換律與結(jié)合律。3.算符和、差定義：

如哈密頓算符H4.算符之積定義

例如，算符之積滿足結(jié)合律，但不滿足交換律1)坐標(biāo)與動(dòng)量算符的一般對(duì)易關(guān)系：2)引入泊松括號(hào)：

－－坐標(biāo)動(dòng)量對(duì)易式第三頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五稱算符A、B對(duì)易。稱算符A、B不對(duì)易。泊松括號(hào)有如下幾個(gè)恒等式：

c為常數(shù)。

稱雅可比(Jacobi)恒等式。

練習(xí)1。

第四頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五3)角動(dòng)量算符基本對(duì)易式

其他對(duì)易關(guān)系通過(guò)x,y,z輪換得到。

可統(tǒng)一寫(xiě)成：

或?qū)懗桑海?）規(guī)定：

αβγ偶置換為1，奇置換為－1，任兩個(gè)相同為0。稱為L(zhǎng)evi-Civita符號(hào)。注：（1）式右邊ε、L下標(biāo)相同的意味求和。第五頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五其他重要的對(duì)易關(guān)系式：定義:，i=x,y,z

定義：練習(xí)2第六頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五球坐標(biāo)下的角動(dòng)量算符形式：(推導(dǎo)見(jiàn)周世勛《量子力學(xué)教程》p62)第七頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、P90，練習(xí)3；作業(yè)－10第八頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五5.逆算符若成立，稱是的逆算符。有公式：6.算符函數(shù)，（問(wèn)）

第九頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五補(bǔ)充知識(shí)：標(biāo)識(shí)（或稱內(nèi)積）第十頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五8.轉(zhuǎn)置算符：9.厄米共軛算符7.

復(fù)共軛算符：是復(fù)共軛算符：例，有公式：

若算符滿足：，其中ψ、φ是任意函數(shù)，則稱是的厄米共軛算符，記為：。（與書(shū)上定義（41）式是一致）定義式為：第十一頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五厄米共軛算符是互逆的。厄米共軛算符反映二個(gè)算符的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

厄米共軛算符的幾個(gè)關(guān)系式：

V(r)+=V(r)

第十二頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五10.厄米算符其中ψ、φ是任意函數(shù)，

厄米算符反映某一類算符的特性。

定理：體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù)?？蓽y(cè)量的物理量算符一定為厄米算符。

逆定理也成立(證明見(jiàn)P93）。坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量、哈密頓算符等都是厄米算符。

第十三頁(yè)，共十四頁(yè)，編輯于2023年，星期五1、P131，習(xí)題4－1；2、P132，習(xí)題4－7；3、P133,