2023年山西省中考數(shù)學(xué)試題真題及答案詳解（精校版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題第Ⅰ卷

選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．計算的結(jié)果為（

）．A．3 B． C． D．2．全民閱讀有助于提升一個國家、一個民族的精神力量．圖書館是開展全民閱讀的重要場所．以下是我省四個地市的圖書館標(biāo)志，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．4．山西是全國電力外送基地，2022年山西省全年外送電量達(dá)到1464億千瓦時，同比增長．?dāng)?shù)據(jù)1464億千瓦時用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）

A．千瓦時 B．千瓦時C．千瓦時 D．千瓦時5．如圖，四邊形內(nèi)接于為對角線，經(jīng)過圓心．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．一種彈簧秤最大能稱不超過的物體，不掛物體時彈簧的長為，每掛重物體，彈簧伸長．在彈性限度內(nèi)，掛重后彈簧的長度與所掛物體的質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）

A． B． C． D．7．如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心的光線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為焦點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．8．已知都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的關(guān)系是（

）A． B． C． D．9．中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計的圓曲線（即圓?。哞F列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點(diǎn)為，曲線終點(diǎn)為，過點(diǎn)的兩條切線相交于點(diǎn)，列車在從到行駛的過程中轉(zhuǎn)角為．若圓曲線的半徑，則這段圓曲線的長為（

）．

A． B． C． D．10．蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)均為正六邊形的頂點(diǎn)．若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．第Ⅱ卷

非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．計算（+）（﹣）的結(jié)果為__________．12．如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成．第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，…依此規(guī)律，第n個圖案中有__________個白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）13．如圖，在中，．以點(diǎn)為圓心，以的長為半徑作弧交邊于點(diǎn)，連接．分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則的值為__________．

14．中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學(xué)》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，若從這四部著作中隨機(jī)抽取兩本（先隨機(jī)抽取一本，不放回，再隨機(jī)抽取另一本），則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的概率是__________．

15．如圖，在四邊形中，，對角線相交于點(diǎn)．若，則的長為__________．

三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（1）計算：；（2）計算：．17．解方程：．18．為增強(qiáng)學(xué)生的社會實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校計劃建立小記者站，有20名學(xué)生報名參加選拔．報名的學(xué)生需參加采訪、寫作、攝影三項(xiàng)測試，每項(xiàng)測試均由七位評委打分（滿分100分），取平均分作為該項(xiàng)的測試成績，再將采訪、寫作、攝影三項(xiàng)的測試成績按的比例計算出每人的總評成績．

小悅、小涵的三項(xiàng)測試成績和總評成績?nèi)缦卤?，這20名學(xué)生的總評成績頻數(shù)直方圖（每組含最小值，不含最大值）如下圖選手測試成績/分總評成績/分采訪寫作攝影小悅83728078小涵8684▲▲

(1)在攝影測試中，七位評委給小涵打出的分?jǐn)?shù)如下：67，72，68，69，74，69，71．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__________分，眾數(shù)是__________分，平均數(shù)是__________分；(2)請你計算小涵的總評成績；(3)學(xué)校決定根據(jù)總評成績擇優(yōu)選拔12名小記者．試分析小悅、小涵能否入選，并說明理由．19．風(fēng)陵渡黃河公路大橋是連接山西、陜西、河南三省的交通要塞．該大橋限重標(biāo)志牌顯示，載重后總質(zhì)量超過30噸的車輛禁止通行．現(xiàn)有一輛自重8噸的卡車，要運(yùn)輸若干套某種設(shè)備，每套設(shè)備由1個A部件和3個B部件組成，這種設(shè)備必須成套運(yùn)輸．已知1個A部件和2個B部件的總質(zhì)量為2.8噸，2個A部件和3個B部件的質(zhì)量相等．(1)求1個A部件和1個B部件的質(zhì)量各是多少；(2)卡車一次最多可運(yùn)輸多少套這種設(shè)備通過此大橋？20．2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動河湖名單（2022－2025年）》，我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選．在推進(jìn)實(shí)施母親河復(fù)蘇行動中，需要砌筑洛種駁岸（也叫護(hù)坡）．某?！熬C合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“母親河駁岸的調(diào)研與計算”作為一項(xiàng)課題活動，利用課余時間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下活動報告．請根據(jù)活動報告計算和的長度（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，）．課題母親河駁岸的調(diào)研與計算調(diào)查方式資料查閱、水利部門走訪、實(shí)地查看了解功能駁岸是用來保護(hù)河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構(gòu)筑物駁岸剖面圖

相關(guān)數(shù)據(jù)及說明，圖中，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一豎直平面內(nèi)，與均與地面平行，岸墻于點(diǎn)A，，，，，計算結(jié)果交流展示21．閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點(diǎn)分別是邊，的中點(diǎn)，順次連接，得到的四邊形是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切．

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．∵分別為的中點(diǎn)，∴．（依據(jù)1）

∴．∵，∴．∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．∵，即，∴四邊形是平行四邊形．（依據(jù)2）∴．∵，∴．同理，…任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，使得四邊形為矩形；（要求同時畫出四邊形的對角線）(3)在圖1中，分別連接得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長與對角線長度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

22．問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時，延長交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；(2)深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)時，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的長．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．

23．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)時，求的值；②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則計算即可．【詳解】解：．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘法，掌握“同號得正、異號得負(fù)”的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．2．C【分析】如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠重合，則稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；根據(jù)這個概念判斷即可．【詳解】解：根據(jù)軸對稱圖形的概念知，C選項(xiàng)中文字上方的圖案是軸對稱圖形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形，理解此概念是關(guān)鍵．3．D【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘除法法則、積的乘方及冪的乘方法則逐一計算即可得答案．【詳解】A．，故該選項(xiàng)計算錯誤，不符合題意，B．，故該選項(xiàng)計算錯誤，不符合題意，C．，故該選項(xiàng)計算錯誤，不符合題意，D．，故該選項(xiàng)計算正確，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪乘除法、積的乘方及冪的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法表示規(guī)則寫出即可．【詳解】1464億，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是熟悉科學(xué)記數(shù)法規(guī)則（）．5．B【分析】由同弧所對圓周角相等及直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵為圓的直徑，∴，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同圓中同弧所對的圓周角相等，直角三角形兩銳角互余，掌握它們是關(guān)鍵．6．B【分析】掛重后彈簧長度等于不掛重時的長度加上掛重后彈簧伸長的長度，據(jù)此即可求得函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：由題意知：；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)關(guān)系式，正確理解題意是關(guān)鍵．7．C【分析】利用平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴；

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，掌握這兩個知識點(diǎn)是關(guān)鍵．8．B【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小．∵∴位于第三象限，∴∵∴∵∴點(diǎn)位于第一象限，∴∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．9．B【分析】由轉(zhuǎn)角為可得，由切線的性質(zhì)可得，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：如圖：

∵，∴，∵過點(diǎn)的兩條切線相交于點(diǎn)，∴,∴,∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、弧長公式等知識點(diǎn)，根據(jù)題意求得是解答本題的關(guān)鍵．10．A【分析】連接，設(shè)正六邊形的邊長為a，由正六邊形的性質(zhì)及點(diǎn)P的坐標(biāo)可求得a的值，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】解：連接，如圖，設(shè)正六邊形的邊長為a，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，即；∴，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)等知識，掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．11．﹣1【分析】此題用平方差公式計算即可.【詳解】12．【分析】由于第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，，可得第個圖案中有白色圓片的總數(shù)為．【詳解】解：第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，，∴第個圖案中有個白色圓片．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．解題關(guān)鍵是總結(jié)歸納出圖形的變化規(guī)律．13．【分析】證明，，，再利用正切函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵在中，，∴，，由作圖知平分，，∴是等邊三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，尺規(guī)作圖—作角平分線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，求得是解題的關(guān)鍵．14．【分析】用樹狀圖把所有情況列出來，即可求出．【詳解】

總共有12種組合，《論語》和《大學(xué)》的概率，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了用樹狀圖或列表法求概率，解題的關(guān)鍵是熟悉樹狀圖或列表法，并掌握概率計算公式．15．##【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長，交于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，得出，即，求出結(jié)果即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長，交于點(diǎn)E，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，即，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)．16．（1）1；（2）【分析】（1）分別計算絕對值、乘方、加法及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再計算有理數(shù)的乘法與減法即可；（2）分別利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式展開后，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，涉及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、多項(xiàng)式的乘法、完全平方公式等知識，掌握運(yùn)算順序、多項(xiàng)式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．17．【分析】去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗(yàn)即可得出答案．【詳解】解：原方程可化為．方程兩邊同乘，得．解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時，．∴原方程的解是．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵．18．(1)69，69，70(2)82分(3)小涵能入選，小悅不一定能入選，見解析【分析】（1）從小到大排序，找出中位數(shù)、眾數(shù)即可，算出平均數(shù)．（2）將采訪、寫作、攝影三項(xiàng)的測試成績按的比例計算出的總評成績即可．（3）小涵和小悅的總評成績分別是82分，78分，學(xué)校要選拔12名小記者，小涵的成績在前12名，因此小涵一定能入選；小悅的成績不一定在前12名，因此小悅不一定能入選．【詳解】（1）從小到大排序，67，68，69，69，71，72，74，∴中位數(shù)是69，眾數(shù)是69，平均數(shù)：69，69，70（2）解：（分）．答：小涵的總評成績?yōu)?2分．（3）結(jié)論：小涵能入選，小悅不一定能入選理由：由頻數(shù)直方圖可得，總評成績不低于80分的學(xué)生有10名，總評成績不低于70分且小寧80分的學(xué)生有6名．小涵和小悅的總評成績分別是82分，78分，學(xué)校要選拔12名小記者，小涵的成績在前12名，因此小涵一定能入選；小悅的成績不一定在前12名，因此小悅不一定能入選．【點(diǎn)睛】此題考查了中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟悉相關(guān)概念．19．(1)一個部件的質(zhì)量為1.2噸，一個部件的質(zhì)量為0.8噸(2)6套【分析】（1）設(shè)一個A部件的質(zhì)量為噸，一個部件的質(zhì)量為噸．然后根據(jù)等量關(guān)系“1個A部件和2個B部件的總質(zhì)量為2.8噸”和“2個A部件和3個B部件的質(zhì)量相等”列二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)該卡軍一次可運(yùn)輸套這種設(shè)備通過此大橋．根據(jù)“載重后總質(zhì)量超過30噸的車輛禁止通行”列不等式再結(jié)合為整數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)一個A部件的質(zhì)量為噸，一個部件的質(zhì)量為噸．根據(jù)題意，得,解得．答：一個A部件的質(zhì)量為1.2噸，一個部件的質(zhì)量為0.8噸．（2）解：設(shè)該卡軍一次可運(yùn)輸套這種設(shè)備通過此大橋．根據(jù)題意，得．解得．因?yàn)闉檎麛?shù)，取最大值，所以．答：該卡車一次最多可運(yùn)輸6套這種設(shè)備通過此大橋．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用等知識點(diǎn)，正確列出二元一次方程組和不等式是解答本題的關(guān)鍵．20．的長約為的長約為．【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，首先根據(jù)的三角函數(shù)值求出，，然后得到四邊形是矩形，進(jìn)而得到，然后在中利用的三角函數(shù)值求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，

∴．由題意得，在中，．∴．∴．由題意得，，四邊形是矩形．∴．∵，∴．∴在中，．∵．∴．∴，∴．答：的長約為的長約為．【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形的應(yīng)用，考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是理解坡度的含義，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線便于在直角三角形中求得相關(guān)線段．21．(1)三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）(2)答案不唯一，見解析(3)平行四邊形的周長等于對角線與長度的和，見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；（2）作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點(diǎn)即可；（3）根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對邊和等于四邊形的一條對角線，即可得妯結(jié)論．【詳解】（1）解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）（2）解：答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可．例如：如圖即為所求

（3）瓦里尼翁平行四邊形的周長等于四邊形的兩條對角線與長度的和，證明如下：∵點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，∴．∴．同理．∴四邊形的周長．即瓦里尼翁平行四邊形的周長等于對角線與長度的和．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線．熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．22．(1)正方形，見解析(2)①，見解析；②【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再由可得，從而得四邊形是正方形；（2）①由已知可得，再由等積方法，再結(jié)合已知即可證明結(jié)論；②設(shè)的交點(diǎn)為M，過M作于G，則易得，點(diǎn)G是的中點(diǎn)；利用三角函數(shù)知識可求得的長，進(jìn)而求得的長，利用相似三角形的性質(zhì)