等差數(shù)列前n項(xiàng)和（海滄中學(xué)鄭亮）

廈門市海滄中學(xué)2.3

等差數(shù)列的

前n項(xiàng)和一、復(fù)習(xí)引入1．等差數(shù)列的定義：2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.an＝am＋(n－m)d

an＝pn＋q（p、q為常數(shù)）3．幾種計算公差d的方法：4．等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列.5．等差數(shù)列的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q,則am＋an＝ap＋aq.若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.6．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和：

把a(bǔ)1＋a2＋

a3＋

…＋

an叫做數(shù)列｛an

｝的前n項(xiàng)和，記作Sn高斯（Gauss,1777—1855），德國著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”.有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個堆放鉛筆的V形架，V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.老師問：高斯，你知道這個V形架上共放著多少支鉛筆嗎？創(chuàng)設(shè)情景問題就是：計算1＋

2＋

3＋…＋

99＋100德國數(shù)學(xué)家高斯被譽(yù)為“世界數(shù)學(xué)王子”5050s100=

1+2+3+…+100

s100=

100+99+98+…+1一、情境導(dǎo)入思考：問1+2+3+4+…+100=?2s100=（1+

100）+（2+

99）+…+（100+

1）=100(1+100)=10100s100=10100/2=5050思考：問1+2+3+4+…+n=?n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋2＋1倒序相加法那么，對一般的等差數(shù)列，如何求它的前n項(xiàng)和呢？前n項(xiàng)和分析：這其實(shí)是求一個具體的等差數(shù)列前n項(xiàng)和.①②Sn=a1+a2+a3…+an-1+an=?問題分析已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn.如何才能將等式的右邊化簡？①②若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq倒序相加法幾何法理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式na1an二、學(xué)導(dǎo)結(jié)合a1+公式2:Sn=na1+dn(n-1)2

已知，可求Sn.已知a1,d,n,能否求Sn.a1，an和n幾何法理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2的推導(dǎo)二、學(xué)導(dǎo)結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式公式1公式2比較兩個公式的異同:知三求一公式應(yīng)用根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛an｝的Sn

：

（1）a1=5，an=95，n=10

（2）a1=100，d=－2，n=50練一練5002550例1、計算（1）5+6+7+…+79+80（2）1+3+5+…+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n-n例題講解n23230提示：n=76法二：練習(xí)：例題講解例2、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》，某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元。為了保證工程的順利實(shí)施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元。那么，從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？分析：①找關(guān)鍵句；②求什么，如何求；解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1=500,d=50,n=10.故，該市在未來10年內(nèi)的總投入為：答變式練習(xí)一個屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪危钌厦嬉粚愉佂咂?1塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋頂斜面共鋪瓦片：答：屋頂斜面共鋪瓦片570塊.例題講解例3、已知一個等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？解：由于S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式可得所以例題講解例3、已知一個等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？另解：

兩式相減得課堂練習(xí)答案:27練習(xí)1、練習(xí)2、等差數(shù)列－10，－6，－2，2，…的前______項(xiàng)的和為54？答案:n=9，或n=-3（舍去）仍是知三求一課堂小結(jié)1．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式；2．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法——倒序相加法；3.公式的應(yīng)用(知三求一)；上頁下頁（兩個）趣味數(shù)學(xué)在右圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1