第二十章解直角三角形教材分析

第二十章解直角三角形教材分析第一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四

一、教材地位和內(nèi)容二、課時安排三、知識結(jié)構(gòu)四、重點、難點和關(guān)鍵五、教學(xué)建議提綱六、章節(jié)分析第二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四一、教材地位和內(nèi)容銳角三角函數(shù)的概念是以相似三角形和勾股定理的知識為基礎(chǔ)的，它的建立是對代數(shù)中已初步涉及的函數(shù)概念的一次充實和進(jìn)一步開闊視野，也將是高中階段學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的重要準(zhǔn)備。解直角三角形是建立在銳角三角函數(shù)的有關(guān)基礎(chǔ)知識之上的，有廣泛的實際應(yīng)用。解直角三角函數(shù)實質(zhì)上是對直角三角形作定量的研究。即對直角三角形中邊與邊、邊與角之間的制約關(guān)系從數(shù)量上加以揭示。解直角三角形體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的橋梁是銳角三角形。解直角三角形提供了一種以計算手段處理幾何問題的途徑和方法。有些簡單的幾何圖形通過做垂線可分解為直角三角形和特殊的四邊形，從而也能用本章知識加以處理；圓中有關(guān)半徑、弦長及圓的正多邊形中的有關(guān)問題都可以劃歸為解直角三角形的問題。高中立體幾何、物理學(xué)科許多問題也需要通過解直角三角形來解決。解直角三角形的知識在實際生活中有著十分廣泛的應(yīng)用，特別是在測量、建筑學(xué)、物理學(xué)等方面起著十分重要的作用。解決此類問題的關(guān)鍵是要認(rèn)真分析題意,善于將已知條件和未知歸結(jié)到一個三角形中,然后利用直角三角形的知識加以解決。直角三角形是一種抽象的數(shù)學(xué)模型，一個實際問題要轉(zhuǎn)換為解直角三角形的問題，必須在圖形中找到要解的直角三角形。解決這類問題需要進(jìn)行計算。三角形中的計算和邏輯思維是密不可分的。通過這部分知識的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生獲得用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題的成功體驗，提升用數(shù)學(xué)的意識，培養(yǎng)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。第三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四二、課時安排本章教學(xué)約需13課時，具體分配如下（僅供參考）：20.1銳角三角函數(shù)3課時20.230°、45°、60°角的三角函數(shù)值1課時20.3用科學(xué)計算器求銳角三角函數(shù)值1課時20.4解直角三角形2課時20.5測量與計算4課時小結(jié)與復(fù)習(xí)（測試）

2課時第四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四三、知識結(jié)構(gòu)直角三角形的邊角關(guān)系銳角三角函數(shù)解直角三角形實際問題本章知識展開順序第五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四解直角三角形核心知識核心方法核心思維核心能力整體把握銳角三角函數(shù)解直角三角形數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化運算、建模特殊到一般第六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四教學(xué)目標(biāo)1.探索銳角三角函數(shù)的概念的形成過程，認(rèn)識銳角三角函數(shù)概念，在直角三角形中能利用定義表示直角三角形的兩邊比。2.經(jīng)歷求特殊銳角三角函數(shù)值的過程，知道300、450、600角的三角函數(shù)值。3.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角。4.能用銳角三角函數(shù)值解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題。5.結(jié)合實際問題情景認(rèn)識仰角、俯角、坡角等與測量有關(guān)的術(shù)語。6.通過本章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)，體會函數(shù)中變化與對應(yīng)的思想；進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系。第七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四考試內(nèi)容考試要求ABC銳角三角形1.理解銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA）的概念；2.知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.1.能利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識解直角三角形；2.能利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識解決一些簡單的實際問題

.運用直角三角形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題解直角三角形理解解直角三角形的概念.

1.會解直角三角形；2.能利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識解直角三角形.2017年中考說明第八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的解法。特殊銳角的三角函數(shù)值也非常重要，應(yīng)該讓學(xué)生牢記。1.銳角三角函數(shù)的概念既是本章的難點，也是學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵；2.運用解直角三角形的知識解決簡單的實際問題。四、重點、難點和關(guān)鍵重點：難點和關(guān)鍵：第九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四五、教學(xué)建議銳角三角函數(shù)感念是學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵。它反映的是角度與數(shù)值之間對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，這種角與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，以及用含有幾個字母的符號sinA、cosA、tanA表示函數(shù)等，學(xué)生過去沒有接觸過，因此對學(xué)生來講有一定的難度。只有正確掌握了銳角三角函數(shù)的概念，才能真正理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系，從而更好的利用這些關(guān)系解直角三角形。（一）重視概念教學(xué)第十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程正弦函數(shù)的值在本質(zhì)上是一個“比值”，結(jié)合圖引導(dǎo)。如圖：①正弦函數(shù)是一個比值；②這個比是∠α的終邊上任意一點的縱坐標(biāo)與這點到原點的距離的比值；③這個比值隨∠α的確定而確定，與點在∠α的終邊上的位置無關(guān)。

緊扣函數(shù)這一概念，讓學(xué)生找出上述“比值”中的自變量、函數(shù)以及它們的對應(yīng)規(guī)律（自變量是∠α，函數(shù)是“比”。之所以將這個“比”叫做∠α的函數(shù)，是因為對于∠α的每一個確定的值，都有一個確定的比值與之相對應(yīng)。）第十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四（二）緊密聯(lián)系實際，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識。同一圖形，不同情境┌102頁91頁第十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四（三）加強(qiáng)知識間的縱向聯(lián)系（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關(guān)系（1）三邊之間的關(guān)系（勾股定理）第十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四（四）重視基本圖形教學(xué)，注意數(shù)形結(jié)合。CBAD┌300450┌600450ABCD┌300600ABCDABC600450D┐300450┌CBAD300600ABCD┌第十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四關(guān)于引例的思考

體現(xiàn)測量物高的多樣性：1.可由相似的知識得到；2.可由解直角三角形的知識得到。最重要的目的：感受數(shù)學(xué)知識來源于生活，反之又可以解決生活中的問題。六、章節(jié)分析第十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四20.1銳角三角函數(shù)（3課時）課題引入從實際需要（測高）的實質(zhì)，由角求邊，和數(shù)學(xué)內(nèi)部（以前學(xué)過邊邊關(guān)系、角角關(guān)系，那么邊角之間有關(guān)系嗎？）兩方面引入。定量概括由特殊到一般，由熟悉的30度直角三角形入手，到45度，到一般角度，邊的比值確定。比值的確定性，引入定義，然后辨析及概念應(yīng)用。第十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四規(guī)律一：當(dāng)∠A的大小不變時，比值也是不變的規(guī)律二：當(dāng)∠A的大小變化時，比值也跟著變化對邊與斜邊的比值隨∠A的變化而變化一個變量（銳角的對邊與斜邊的比值）隨另一變量（銳角大?。┑淖兓兓覀儼唁J角∠A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦記作：sinA=對于每一個確定的X（銳角大?。℡（銳角的對邊與斜邊的比值）都有唯一確定的值與之對應(yīng)體會變化與對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系第十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四

sinA=4.２sinA盡量不寫成sinA?２根據(jù)直角三角形定義，依賴于形，超越于形，與邊長大小無關(guān).分析提升認(rèn)識1.sinA是∠A的函數(shù)，也就是說對于每一個∠A都有唯一確定的值sinA和它對應(yīng)。2.在這個函數(shù)中，變量A是一個角度，另一個變量sinA是一個比值，而函數(shù)法則是邊之間的關(guān)系，此函數(shù)溝通了直角三角形中邊、角之間的關(guān)系。3.學(xué)生對表示符號的認(rèn)識需要一個過程：sinA不是sin與A的乘積；如sinA，不寫sin∠A；∠APB的正弦寫sin∠APB，不寫sinAPB。5.第十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四銳角的正弦是本章的起點，同時又是重點。銳角的正弦概念的建立應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷一個從特殊到一般的認(rèn)識過程。20.1.1銳角三角函數(shù)---正弦直角三角形中，三條邊組成六個比，其比值都是固定不變的，因有倒數(shù)關(guān)系，故只研究其中的三個就夠了。第十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四例1.已知：在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，AC=3，BC=4，求sinA和sinB的值．例2.已知:如圖，在△

ABC中，CD是AB

邊上的高，CD=12,AD=9,BD=5,求:sinA、sin∠ACD、sinB、sin∠BCD的值.第二十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四可以進(jìn)行變式訓(xùn)練，將題中的圖去掉，由學(xué)生畫圖完成。那么將涉及到高在三角形內(nèi)與外的區(qū)別。（分類討論）高在內(nèi)高在外例2的變式練習(xí)第二十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四例3：已知：在△ABC中，∠C=90°，sinA=，求sinB的值。練習(xí)1.在Rt△ABC中，如果各邊長度都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的正弦值（）

A.沒有變化 B.擴(kuò)大2倍

C.縮小2倍D.不能確定2.在△ABC中，∠C=90°，BC=5,AB=13,那么sinA的值等于（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．第二十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四4.在△ABC中，C=90°則BC∶AC的值等于（）

A.3∶4B.4∶3C.3∶5D.4∶55．在Rt△ABC中，∠C=900，a：b=1：，則c=

a，sinA=

，sinB=

；

6．在Rt△ABC中，∠C=900，a=,三角形的面積為,則斜邊長是

，sinA=

；第二十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四20.1.2銳角三角函數(shù)---余弦、正切可以讓學(xué)生類比正弦函數(shù)的研究方法，更好的體會函數(shù)思想。第二十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四教材80頁交流2.利用幾何畫板驗證一般銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律及范圍；3.讓學(xué)生嘗試從理論上說明猜想的正確性。關(guān)于確定函數(shù)值范圍的建議：1.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊角的函數(shù)值猜想一般銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律；第二十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四80頁例3例4教材81頁例4的說明：本例題運用了等角代換的方法，將所求角從一個直角三角形中轉(zhuǎn)移到另一個直角三角形中，從而使計算簡單。嘗試讓學(xué)生在一題多解的方法中體會三角函數(shù)的簡潔，體會等角的三角函數(shù)值相等。這種思想在將來的習(xí)題中，特別是圓中，經(jīng)常會用到，所以教學(xué)時要加強(qiáng)重視。第二十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四通過教學(xué)使學(xué)生逐步形成“銳角三角函數(shù)值是直角三角形中的兩條邊的比值”的認(rèn)識：由直角三角形中兩條邊的比，可以求得這個銳角的三角函數(shù)值；反之，已知一個銳角的三角函數(shù)值，就可以得到這個角所在直角三角形中兩條邊的比。培養(yǎng)學(xué)生逆向思維第二十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四逐步幫助學(xué)生總結(jié)求一個銳角的三角函數(shù)值的幾種常用思路（1）直接用定義求銳角三角函數(shù)值（P78例2）（2）設(shè)參數(shù)后用定義求銳角三角函數(shù)值（P80例3（2）)（3）轉(zhuǎn)化為等角后用定義求銳角三角函數(shù)值（P81例4）（4）構(gòu)造直角三角形后用定義求銳角三角函數(shù)值（P82練習(xí)3）20.1.3銳角三角函數(shù)第二十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四練習(xí)1已知：如圖，△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D為AC上一點，AD:DC=1：2

（1）求∠ADB的三角函數(shù)值。（2）求∠DBC的三角函數(shù)值。練習(xí)2如圖，在△ABC中∠A=30°,tanB=,AC=2求AB第二十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四一個三角板為Rt△ABC，∠B=90°,∠C=30°,另一個三角板為Rt△DEF,∠D=90°,∠E=45°,現(xiàn)擺放這兩個三角板，使BC邊與EF邊重合，點C與點E重合，請計算∠BDA的正切值。（某些非特殊角的三角函數(shù)值）（補(bǔ)充）直角三角板的組合問題-----分類討論DBCABADC第三十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四20.230°、45°、60°角的三角函數(shù)值借助三角板或畫圖推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值并要求熟記。

利用圖形或表格記憶特殊角的三角函數(shù)值。(數(shù)形結(jié)合)明確這些含特殊角直角三角形邊的關(guān)系是關(guān)鍵.第三十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四三角函數(shù)30°45°60°表格功能可挖掘第三十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四這部分的相關(guān)計算題是中考會涉及到的，應(yīng)多加練習(xí)。計算含特殊角的三角函數(shù)式的值。82頁例1

由已知特殊角的三角函數(shù)值求對應(yīng)的銳角.

要求82頁例1第三十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四練習(xí)：如圖,p是∠α的邊OA上一點,且p點坐標(biāo)為(3,4),則sinα=cosα=oxyP3

4(3,4)αA第三十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四20.3用科學(xué)計算器求銳角三角函數(shù)值（1課時）會用計算器求三角函數(shù)值和給出函數(shù)值求角度。重在借助計算器探索三角函數(shù)的性質(zhì)的過程中，體會計算器可以幫助我們做數(shù)學(xué)。建議第三十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四20.4解直角三角形（2課時）這里需要確認(rèn)：1.解直角三角形實質(zhì)上是對直角三角形作定量的研究，即對直角三角形中邊與邊、邊與角之間的制約關(guān)系從數(shù)量上加以揭示。2.解直角三角形體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的橋梁是銳角三角函數(shù)。3.解直角三角形提供了一種以計算手段處理幾何問題的途徑和方法，是解決許多問題的工具。4.解直角三角形在實際問題中的應(yīng)用需要培養(yǎng)學(xué)生簡單的數(shù)學(xué)建模的思想。5.解直角三角形的理論依據(jù)是：直角三角形中的邊角關(guān)系，這一點需要學(xué)生有明確的認(rèn)識！第三十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四直角三角形中有3邊3角6個元素，由直角三角形中已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形。引入問題這6個元素中怎樣盡可能給出少的元素就可以求出其它的未知元素？①已知一直角邊和一個銳角；②已知兩直角邊；③已知斜邊和一個銳角；④已知斜邊和一直角邊；已知兩邊；已知一角一邊。其它形式上不同的問題都可以歸結(jié)到這兩種情況?？偨Y(jié)出四大類最后歸納出兩種情況第三十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四解直角三角形的關(guān)鍵是恰當(dāng)選擇關(guān)系式，把已知和未知聯(lián)系起來。解直角三角形主要依據(jù)Rt△ABC中，∠C=90°,1.角的關(guān)系：兩銳角互余（∠A+∠B=90°）2.邊邊關(guān)系：勾股定理（）3.邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)4.面積關(guān)系：第三十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四一個直角三角形的求解問題有斜用弦，無斜用切，寧乘毋除，取原避中。第三十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四20.4.1解直角三角形給基本元素求解直角三角形P88例1例2將已知中的非基本元素轉(zhuǎn)化為基本元素后再求解直角三角形P89例3第四十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四例1已知:在Rt△ABC中∠C=90°,∠A=60°,a=15，解這個直角三角形．變式1：已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,a=15,c=30,解這個直角三角形．變式2：已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,

，解這個直角三角形.

第四十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四例3已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,,,解這個直角三角形.變式：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB,∠B=600,CD=2,求AB第四十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四20.4.2解直角三角形P90例4變式練習(xí)：在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠B＝60°，求BC的長.思路：作AE⊥BC于點E.Rt△ABE，可解，求出AE、BE，使Rt△ABE可解BCA第四十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四練習(xí)1已知Rt⊿ABC中，∠C=900AC=6,∠A的平分線AD=

,解這個三角形.練習(xí)2在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6,,求菱形ABCD的周長.第四十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四20.5測量與計算（4課時）

4課時：4個例題一個例題1課時。(練習(xí)冊)91頁例1：測高問題（底部可到達(dá)）（仰角、俯角）。93頁例3：航海中的探索問題（方位角）。92頁例2：修路筑壩問題（坡度、坡角）。94頁例4：測高問題（底部不可到達(dá)）。第四十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四實際問題明確術(shù)語30°45°BOA東西北南第四十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四重視基本圖形的歸納和總結(jié)第四十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期四章首頁引例：用測角儀測量計算紀(jì)念碑的高；P91例1：用測角儀測量計算學(xué)校旗桿的高;P94例