高等數(shù)學(xué)曲線凸性拐點(diǎn)與漸近線

高等數(shù)學(xué)曲線凸性拐點(diǎn)與漸近線1第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，如果曲線y=f(x)上任意一點(diǎn)的切線都在曲線的上方，則稱該曲線為上凸的（凸?。Q區(qū)間(a，b)為該曲線的上凸區(qū)間；如果曲線y=f(x)上任意一點(diǎn)的切線都在曲線的下方，則稱該曲線為下凸的（凹弧）

，稱區(qū)間(a，b)為該曲線的下凸區(qū)間或凹區(qū)間。規(guī)范的定義：如果函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1，x2都滿足：則稱該曲線為上凸。如果函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1，x2都滿足：則稱該曲線為下凸。2第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六定理1：設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo),則有(1)若在(a，b)內(nèi)有

，曲線y=f(x)在(a，b)內(nèi)下凸。(2)若在(a，b)內(nèi)有

，曲線y=f(x)在(a，b)內(nèi)上凸。3第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六例1：解：注意到,4第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六定義：注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.證：由可導(dǎo)函數(shù)取極值的條件.5第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六拐點(diǎn)的求法6第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六例2：解：凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)7第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六注意:曲線的上凸區(qū)間為，下凸區(qū)間為和，拐點(diǎn)為（0，1）和。8第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六例3：解：9第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六考研題欣賞（2004年3，4）設(shè)，則(A)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。(B)x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。(C)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。(D)x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。答案：(C)10第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六4.4.2曲線的漸近線定義:1.垂直漸近線11第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六例1:兩條有垂直漸近線:

解：12第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六2.水平漸近線例2:有兩條水平漸近線:解：13第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六3.斜漸近線斜漸近線求法:14第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六注意:15第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六例3：解：16第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六17第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六考研題欣賞（2000年3，4）曲線（A）僅有水平漸近線。（B）僅有鉛直漸近線。（C）既有鉛直又有水平漸近線。（D）既有鉛直又有斜漸近線。答案：(D)18第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六考研題欣賞（2003年3,4）曲線的單調(diào)區(qū)間、極值、漸近線。19第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六4.4.3函數(shù)作圖利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步20第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六第三步第四步確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢;第五步21第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六例1：解：定義域?yàn)閤≠0。非奇非偶函數(shù),且無對稱性.22第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)23第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六作圖24第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六25第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六例2：解：偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.定義域?yàn)镽。26第二十六頁，共二十