高數積分公式

高數積分公式1第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六主要內容：1.第一換元積分法.2.第二換元積分法一、換元積分法2第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六換元積分法分第一換元積分法和第二換元積分法兩類。求

分析由于被積函數cos3x是一個復合函數，因此不能直接用基本積分公式解驗證確實是cos3x的元函數，上述方法正確。1.第一換元積分法例13第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六當不定積分不能用基本積分公式直接求出，但被積表達式具有形式可作變量代換得而積分可以求出，不妨設f(u)的原函數F(u)，于是有設f(x)及連續(xù)，且則作變量代換后，有例1說明：定理1（第一換元積分法）可得4第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六在不定積分基本公式中若積分變量不是連續(xù)）則公式仍成立.例如自變量x,而是中間變量u（設運用第一換元積分法求不定積分的步驟：(1)把被積函數分解為兩部分因式相乘的形式，其中一部分是(2)湊微分并作變量代換從而把關于積分變量x的不定積分轉化為關于新積分變量u的不定積分.由定理1知：5第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求把被積函數中的2x+1看作新變量u,即令求把被積函數中的看作新變量u，即令例2解例3解u=2x+1,得6第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六把被積函數中的看作新變量u，即令求第一換元積分法的關鍵是“湊微分”，因而第一換元積分法又稱為湊微分法。例4解熟練以后，新變量u可以省略不寫。7第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求解求解例5例68第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求解由上例易得例79第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求解類似地可得求解類似地可得例8例910第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六上述例5~例9的結果可以當公式使用，即基本積分公式（二）注意：11第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求解求解例10和例11都是先湊微分，后利用公式17和公式19求積分的。例10例11注意12第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求解法一此解法是先將被積函數化為部分分式，然后再湊微分求出結果。例12注意:13第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六解法二解法二是將被積函數的分母配成完全平方，再湊微分后應用公式20求出積分結果。當公式比較熟悉時，解法二比解法一簡單。因此，由例12可知，對被積函數靈活地進行恒等變形，綜合應用積分性質和積分公式是求積分的必需的。注意：14第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求解法一解法二同一積分可有不同的解法，其結果在形式上可能不同，但實際上它們只相差一個常數。例13注意：15第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六第一換元積分法是通過變量代換將積分我們也常常會遇到相反的情形，即適當選擇變量代換將積分化為積分若則得另一種形式的換元積分法:設f(x)連續(xù)，的導數連續(xù)，且若則定理中關于連續(xù)性的假設是為了保證有關的原函數存在，關于的假設是為了保證能從解出t，最終消去變量t。2.第二換元積分法

定理2（第二換元積分法）化為進行積分。16第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六運用第二換元積分法的主要步驟:從而將關于積分變量x的不定積分化為關于積分變量t的不定積分。關鍵是存在反函數。第二換元積分法主要解決被積函數中帶根號的一類積分，去根號是選的主要思路。求令則于是例14解是作變量代換17第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求令則因此得例15解18第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求令此時于是由于所以于是例16解19第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求令則為了消去t，還原為x，除了可用例16的解析法外，還可用三角形法：，即由作直角三角形(如圖),從而易得，于是xat例17解由20第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求令，則于是根據作直角三角形（如圖），，從而xat得例18解21第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六綜合例17，例18，得公式求解第二換元積分法可以用來解決被積函數中帶有根號的某些積分：1，當根號內含有x的一次函數，如可分別令2，當被積函數含有根式時，可分別作三角代換例1922第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六分部積分法是與兩個函數乘積的導數法則對應的積分法。設函數u=u(x)，v=v(x)具有連續(xù)導數，因為兩個函數乘積的導數為或對上式兩邊求不定積分，得即或上述公式叫做分部積分公式。二、分部積分法23第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六運用分部積分公式求不定積分的主要步驟是:把被積函數f(x)分解為兩部分因式相乘的形式，其中一部分因式看作u，另一部分因式看作v′,而后套用公式，把求不定積分的問題轉化為求不定積分的問題。24第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求應用公式代入公式，得求設代入公式，得在上例中如果設于是有反而出現了比原積分更復雜的積分，可見運用分部積分公式的關鍵是恰當選擇例1解例2解注意：25第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六一般地，選擇的原則是：2，不定積分比原不定積分容易求出。當被積函數是兩種不同類型函數的乘積時，我們可以按照“反、對、冪、指、三”（即反三角函數、對數函數、冪函數、指數函數、三角函數）的順序，選擇排列次序在前的函數作為u，而將排在后的另一個函數選作v′。求把lnx看作u，dx看作dv，用公式得例3解26第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求解

當應用分部積分公式后得到的積分還需用分部積分公式時，可以繼續(xù)使用，直到可以求出積分結果為止。例4就是用了兩次分部積分公式后才求出積分結果的。例4注意：27第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求解移項，兩邊除以2，并加積分常數，得當兩次應用分部積分法后又出現了原積分時，我們是用解方程的方法求出積分結果的。例5注意：28第二十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六求令代入原積分，得有時我們需要綜合應用前面講過的各種積分方法，如例6就綜合應用了換元積分法、分部積分法和直接積分法。例6解注意：29第二十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六1、湊微分法湊微分法用于被積函數為的形式的積分，湊微分后可直接應用積分公式。要記住常見函數的湊微分公式。湊微分就是把微分公式反過來用。2、第二換元積分法第二換元積分法對于我們來說，主要用于去除被積函數中所含的根號。當根號下是線性函數例如ax+b時，作冪代換當根號下是

x

的二次函數時，則作三角代換，例如根號內是x2－a2時，可令

x=sint作代換。3、分部積分法分部積分法用于被積函數為兩類不同類型函數乘積的積分，在用分部積分法時，其中一個因子要看作u，另一個因子要看作v′，可以按照“反、對、冪、指、三”排在前面的順序選擇u。三、小結30第三十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六作業(yè)：習題4。3