高等代數(shù) 不變因子

高等代數(shù)不變因子第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六1.定義：一、行列式因子注：階行列式因子.的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式稱為的中必有非零的級(jí)子式，中全部級(jí)子式設(shè)－矩陣的秩為，對(duì)于正整數(shù)，若秩，則有個(gè)行列式因子.第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六行列式因子.1)

（定理3）等價(jià)矩陣具有相同的秩與相同的各級(jí)（即初等變換不改變－矩陣的秩與行列式因子）證：只需證，－矩陣經(jīng)過一次初等變換，秩與行列式因子是不變的．2.有關(guān)結(jié)論設(shè)經(jīng)過一次初等變換變成，與分別是與的

k

級(jí)行列式因子．下證，分三種情形：第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六級(jí)子式反號(hào).公因式，此時(shí)的每個(gè)級(jí)子式或者等于的某個(gè)級(jí)子式，或者與的某個(gè)因此，是的級(jí)子式的①從而

②級(jí)子式的

c

倍.者等于的某個(gè)級(jí)子式，或者等于的某個(gè)此時(shí)的每個(gè)級(jí)子式或因此，是的級(jí)子式的公因式，從而

第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六此時(shí)中包含兩行級(jí)子式相等；③的和不包含行的那些級(jí)子式與中對(duì)應(yīng)的中包含行但不包含行的級(jí)子式，按行分成的一個(gè)級(jí)子式與另一個(gè)級(jí)子式的倍的和，即為的兩個(gè)級(jí)子式從而的組合，因此是的級(jí)子式的公因式，同理可得，第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六2）若矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形為其中為首1多項(xiàng)式，且則的級(jí)行列式因子為第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六證：與等價(jià)，完全相同，則這個(gè)級(jí)子式為零.在中，若一個(gè)級(jí)子式包含的行、列指標(biāo)不與有相的秩與行列式因子.級(jí)子式所以只需考慮由行與列組成的即而這種級(jí)子式的最大公因式為所以，的級(jí)行列式因子第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六證：設(shè)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形為

3）（定理4）矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的.其中為首1多項(xiàng)式，且第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六于是

即由的行列式因子所唯一確定.

由2），的級(jí)行列式因子為4）秩為的矩陣的個(gè)行列式因子滿足：所以的標(biāo)準(zhǔn)形唯一.第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六1.定義：二、不變因子矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形稱為的不變因子.的主對(duì)角線上的非零元素第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六有相同的標(biāo)準(zhǔn)形，1)（定理5）矩陣、等價(jià)、有相同的不變因子.

證：必要性顯然.只證充分性.2.有關(guān)結(jié)論所以與等價(jià).若與

有相同的行列式因子，則與也有相同的不變因子，、有相同的行列因子.

從而與第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六則，為一非零常數(shù).的第n個(gè)行列式因子

證；若可逆，因子全部為1，的標(biāo)準(zhǔn)形為單位矩陣，即與等價(jià).2）若的矩陣可逆，則的不變又的n個(gè)行列式因子滿足:

第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六從而不變因子

所以，的標(biāo)準(zhǔn)形為矩陣的乘積.注：可逆與等價(jià).3)（定理6）可逆可表成一些初等第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六證：可逆與

等價(jià)存在初等矩陣使存在一個(gè)可逆矩陣與一個(gè)可逆推論：兩個(gè)的矩陣、等價(jià)

矩陣，使

第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六例、求矩陣的不變因子

第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六的非零二級(jí)子式為:

解：1）的非零1級(jí)子式為:

第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期六又

所以，的不變因子為：第十