初三數(shù)學動點問題

.z.數(shù)學因運動而充滿活力，數(shù)學因變化而精彩紛呈。動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點問題，以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的"變〞與"不變〞性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸對稱〔翻折〕、平移、旋轉(zhuǎn)〔中心對稱、滾動〕等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要"以靜制動〞，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。動態(tài)幾何形成的面積問題是動態(tài)幾何中的根本類型，包括單動點形成的面積問題，雙〔多〕動點形成的面積問題，線動形成的面積問題，面動形成的面積問題。本專題原創(chuàng)編寫單動點形成的面積問題模擬題。在中考壓軸題中，單動點形成的面積問題的重點和難點在于應用數(shù)形結(jié)合的思想準確地進展分類。原創(chuàng)模擬預測題1.*數(shù)學興趣小組對線段上的動點問題進展探究，AB=8.問題思考：如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC與正方形PBFE.〔1〕在點P運動時，這兩個正方形面積之和是定值嗎？如果時求出；假設不是，求出這兩個正方形面積之和的最小值.〔2〕分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點A，當點P運動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由.問題拓展：〔3〕如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8.假設點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向D點運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長。(4)如圖〔3〕，在"問題思考〞中，假設點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BM=1，點G、H分別是邊CD、EF的中點.請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值.【答案】〔1〕當*=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32；〔2〕存在兩個面積始終相等的三角形，圖形見解析；〔3〕PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長為6π；〔4〕點O所經(jīng)過的路徑長為3，OM+OB的最小值為．【解析】試題解析：〔1〕當點P運動時，這兩個正方形的面積之和不是定值．設AP=*，則PB=8-*，根據(jù)題意得這兩個正方形面積之和=*2+〔8-*〕2=2*2-16*+64=2〔*-4〕2+32，所以當*=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32；〔2〕存在兩個面積始終相等的三角形，它們是△APK與△DFK．依題意畫出圖形，如下列圖．設AP=a，則PB=BF=8-a．∵PE∥BF，∴，即，∴PK=，∴DK=PD-PK=a-=，∴S△APK=PK?PA=??a=，S△DFK=DK?EF=??〔8-a〕=，∴S△APK=S△DFK；所以PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長為：×2π×4=6π；〔4〕點O所經(jīng)過的路徑長為3，OM+OB的最小值為．如圖，分別過點G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點R、S、T，則四邊形GRTH為梯形．如圖，作點M關(guān)于直線*Y的對稱點M′，連接BM′，與*Y交于點O．由軸對稱性質(zhì)可知，此時OM+OB=BM′最?。赗t△BMM′中，由勾股定理得：BM′=．∴OM+OB的最小值為．考點：四邊形綜合題．原創(chuàng)模擬預測題2.如圖，點P是以O為圓心，AB為直徑的半圓上的動點，AB=2，設弦AP的長為*，△APO的面積為y，則當y=時，*的取值是【】A.1B.C.1或D.【答案】C?！究键c】動點問題，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)，分類思想的應用。應選C。原創(chuàng)模擬預測題3.如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A=，動點P從點B出發(fā)，沿B-C-D的路線向點D運動。設△ABP的面積為y(B、P兩點重合時，△ABP的面積可以看做0)，點P運動的路程為*，則y與*之間函數(shù)關(guān)系的圖像大致為【】A.B.C.D.【答案】C?！究键c】動點問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，分類思想的應用。【分析】當點P在BC上運動時，如圖1，∵△ABP的高，∴△ABP的面積。當點P在BC上運動時，如圖2，應選C。原創(chuàng)模擬預測題4.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動點P從點A出發(fā)沿AC向終點C運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BA向點A運動，到達A點后立刻以原來的速度沿AB返回．點P、Q運動速度均為每秒1個單位長度，當點P到達點C時停頓運動，點Q也同時停頓．連接PQ，設運動時間為t〔t>0〕秒．〔1〕求線段AC的長度；〔2〕當點Q從點B向點A運動時〔未到達A點〕，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；〔3〕伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為l：①當l經(jīng)過點A時，射線QP交AD于點E，求AE的長；②當l經(jīng)過點B時，t的值．【答案】〔1〕5〔2〕，〔3〕3、t＝2.5，【解析】試題分析：〔1〕在矩形ABCD中，圖圖②由△APE∽△OPQ，得．②〔ⅰ〕如圖③，當點Q從B向A運動時l經(jīng)過點B，BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°∴∠PBC＝∠PCBCP＝BP＝AP＝t∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5∴t＝2.5．〔ⅱ〕如圖④，當點Q從A向B運動時l經(jīng)過點B，考點：矩形、相似三角形點評：此題考察矩形，相似三角形，要求考生掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定方法，會判定兩個三角形相似原創(chuàng)模擬預測題5.如圖，動點A在函數(shù)(*>o)的圖象上，AB⊥*軸于點B，AC⊥y軸于點C，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點Ｅ，使AE=AC。直線DE分別交*軸，y軸于點P，Q。當QE：DP=4:9時，圖中的陰影局部的面積等于▲_?！敬鸢浮俊！究键c】反比例函數(shù)綜合題，曲線上坐標與方程的關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥窟^點D作DG⊥*軸于點G，過點E作EF⊥y軸于點F。∴圖中陰影局部的面積=。原創(chuàng)模擬預測題6.如圖，在平面坐標系中，直線y=﹣*+2與*軸，y軸分別交于點A，點B，動點P〔a，b〕在第一象限內(nèi)，由點P向*軸，y軸所作的垂線PM，PN〔垂足為M，N〕分別與直線AB相交于點E，點F，當點P〔a，b〕運動時，矩形PMON的面積為定值2．當點E，F(xiàn)都在線段AB上時，由三條線段AE，EF，BF組成一個三角形，記此三角形的外接圓面積為S1，△OEF的面積為S2。試探究：是否存在最大值？假設存在，請求出該最大值；假設不存在，請說明理由?！敬鸢浮看嬖??！咚倪呅蜲APN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，∴△AME、△BNF、△PEF為等腰直角三角形。∵E點的橫坐標為a，E〔a，2﹣a〕，∴AM=EM=2﹣a。∴AE2=2〔2﹣a〕2=2a2﹣8a+8?！逨的縱坐標為b，F(xiàn)〔2﹣b，b〕，∴BN=FN=2﹣b。∴BF2=2〔2﹣b〕2=2b2﹣8b+8?！逷F=PE=a+b﹣2，∴EF2=2〔a+b﹣2〕2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8?！遖b=2，∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16?！郋F2=AE2+BF2?！嗑€段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊?！啻巳切蔚耐饨訄A的面積為?！撸郤2=S梯形OMPF﹣S△PEF﹣S△OME，=〔PF+ON