北師大版七年級數學下冊學案（含解析）：第五章生活中的軸對稱3簡單的軸對稱圖形

3簡單的軸對稱圖形第1課時 等腰三角形的性質自主學習 知識梳理 快樂學習等腰三角形的性質（）等腰三角形是__________對稱圖形．（）等腰三角形__________、__________、__________重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線都是等腰三角形的__________．（）等腰三角形的兩個底角__________．（）夷陵長江大橋為三塔斜拉橋．如圖，中塔左右兩邊所掛的最長鋼索，塔柱底端與點間的距離是米，則的長是__________米．【答案】（）軸（）頂角的平分線；底邊上的中線；底邊上的高；對稱軸（）相等（）【解析】當堂達標 活學巧練 鞏固基礎考點一：等腰三角形的軸對稱性、“三線合一”1．如圖，在中，，點是邊的中點，點在上，那么下列結論不一定正確的是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】2．如圖，在中，，于點，于點，于點，下列結論：①；②上任意一點到，的距離相等；③；④若點在直線上，則．其中正確的是（）． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【解析】考點二：等腰三角形的邊、角性質3．（一題多辨）（）若等腰三角形的頂角為，則它的底角度數為（）． A． B． C． D．（）（膠南市王臺中學質檢）等腰三角形的一個角是，則它的底角是__________．（數學思想鏈接：分類討論思想）【答案】（）D；（）或【解析】4．一個等腰三角形的兩邊長分別是和，則它的周長為（）．A． B． C． D．或【答案】A【解析】5．中，，于點，若的周長為，的周長為，則__________．（數學思想鏈接：整體思想）【答案】【解析】6．如圖，，，試說明：平分．【答案】見解析【解析】解；因為，所以．因為，所以，，所以，所以平分．考點三：等邊三角形的性質7．如圖，，等邊三角形的頂點在直線上，，則的度數為（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】8．如圖，是等邊三角形，是角平分線，是等邊三角形，下列結論：①；②；③．其中正確結論的個數為（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】9．如圖，在等邊三角形中，，是上一點，且，繞點旋轉后得到，則的長為__________．【答案】【解析】強化訓練 綜合演練 強化能力1．（分）如圖，中，，，則的度數是（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】2．（分）如圖，中，，平分，則下列結論中：①；②；③；④．其中正確的有（）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【解析】3．（分）（育才中學期末）如圖，在中，，平分交于點，交的延長線于點，若，則的度數為（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】4．（分）（即墨28中期末）如圖，中，，，是內一點，且，則的度數等于（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】5．（分）如圖，，，則__________．【答案】【解析】6．（分）如圖，，點在上，且，，則的度數為__________．【答案】【解析】7．（分）如圖，在等腰三角形紙片中，，，折疊該紙片，使點落在點處，折痕為，則__________．（方法鏈接：對稱法）【答案】【解析】8．（分）（河北）如圖，，點在上，且，按下列要求畫圖：以為圓心，為半徑向右畫弧交于點，得第條線段；再以為圓心，為半徑向右畫弧交于點，得第條線段；再以為圓心，為半徑向右畫弧交于點，得第條線段；這樣畫下去，直到得第條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則__________．【答案】【解析】9．（分）如圖，已知，，，是的中點．與有什么位置關系？說明理由．【答案】見解析【解析】解：．理由：連接，．在和中，因為，，，所以≌．所以（全等三角形的對應邊相等）．因為是的中點，所以（等腰三角形“三線合一”）．10．（分）（拓展提升題）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為，求該三角形的一個底角．（數學思想鏈接：分類討論思想）【答案】見解析【解析】解：（）如圖①，當腰上的高在三角形的內部時，是腰上的高，由題意得，所以，于是底角為．（）如圖②，當腰上的高在三角形的外部時，是腰上的高，則，因為，所以．所以三角形的一個底角為或．第2課時 線段的垂直平分線自主學習 知識梳理 快樂學習1．線段的軸對稱性線段是軸對稱圖形，垂直并且__________線段的直線是它的一條對稱軸．【答案】平分【解析】2．線段的垂直平分線（）定義：__________于一條線段，并且__________這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（簡稱中垂線）．（）性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離__________．（）利用尺規(guī)，作線段的垂直平分線．已知：線段，如圖①， 求作：的垂直平分線． 作法：①分別以點__________和__________為圓心，以大于__________的長為半徑作弧，兩弧相交于點和．②作__________．直線就是線段的垂直平分線，如圖②．因為直線與線段的交點就是線段的中點，所以我們也用這種方法作線段的中點．【答案】（）垂直，平分（）相等（）①，，；②直線【解析】當堂達標 活學巧練 鞏固基礎考點一：線段的軸對稱性及其垂直平分線的定義1．如圖，在中，，．的垂直平分線交于點，交于點，則下列結論不正確的是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】2．如圖，在四邊形中，垂直平分，垂足為，下列結論不一定成立的是（）． A． B．平分 C． D．≌【答案】C【解析】3．如圖，已知是線段的垂直平分線，垂足為，下列結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（）． A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【解析】考點二：線段垂直平分線的性質4．（荊州）如圖，在中，，的垂直平分線交邊于點，交邊于點，若與的周長分別是，，則__________．【答案】【解析】5．如圖，在直角中，，的平分線交于點，若垂直平分，則的度數是__________．【答案】【解析】6．如圖，在中，，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，則的周長等于__________．【答案】【解析】7．如圖，中，，垂直平分交于點，試說明：．【答案】見解析【解析】解：因為垂直平分，所以．所以．因為，所以．所以．所以．所以．強化訓練 綜合演練 強化能力1．（分）（畢節(jié)）到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的（）．A．三條高的交點 B．三條角平分線的交點 C．三條中線的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點【答案】D【解析】2．（分）（濱州）如圖，中，為上一點，為上一點，且，，則的度數為（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】3．（分）（德州）如圖，在中，，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線，交于點，連接，則的度數為（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】4．（分）如圖，直線外不重合的兩點，，在直線上求作一點，使得的長度最短，作法為：①作點關于直線的對稱點；②連接與直線相交于點，則點為所求作的點，在解決這個問題時沒有運用到的知識或思想方法是（）（方法鏈接：最短路徑問題）A．轉化思想 B．三角形的兩邊之和大于第三邊 C．兩點之間，線段最短 D．等腰三角形的兩個底角相等【答案】D【解析】5．（分）如圖，點在直線上，按如下步驟作圖：①以點為圓心，任意長為半徑作圓弧，交于點，；②分別以點，為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點；③作直線，連接，．若，則的大小為__________度．【答案】【解析】6．（分）（市南區(qū)期宋）如圖，中，的垂直平分線交于點，若，，，則的周長為__________．【答案】【解析】7．（分）（膠州市期末）如圖，在中，，分別是，的垂直平分線，連接，，已知，請運用所學知識，確定的度數．【答案】見解析【解析】解：在中，，所以．因為是的垂直平分線，所以，所以，同理可得，所以．8．（分）如圖，在四邊形中，平分，且，．（）求的度數．（）若，，求四邊形的面積．【答案】見解析【解析】解：（）作交于點，則，因為，所以是的垂直平分線，所以．因為，所以．因為平分，所以．在和中，，，，所以≌，所以．（）因為是的垂直平分線，所以．因為≌，所以．因為，所以，，所以．【注意有文字】9．（分）（拓展提升題）（撫州校級期中）在中，邊的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點，與相交于點．的周長為．（）求的長．（）分別連接，，，若的周長為，求的長．【答案】見解析【解析】解：（）如圖所示，設與交于點，與交于點，因為，分別是線段，的垂直平分線，所以，，所以．因為的周長為，即，所以．（）因為邊的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點，所以．因為的周長為，即，所以，所以，所以．第3課時 角平分線自主學習 知識梳理 快樂學習1．角的軸對稱性角是軸對稱圖形，__________所在的直線是它的對稱軸．【答案】角平分線【解析】2．角平分線的性質角平分線上的點到這個角的兩邊的距離__________．【答案】相等【解析】3．利用尺規(guī)作一個角的平分線已知：，如圖①．求作：射線，使．作法：（）在和上分別截取，，使__________．（）分別以，為圓心，以__________的長為半徑作弧，兩弧在內交于點．（）作射線__________．就是的平分線，如圖②．【答案】（）（）大于（）【解析】當堂達標 活學巧練 鞏固基礎考點一：角平分線的性質1．如圖，平分，，，垂足分別為，．下列結論中不一定成立的是（）． A． B．平分 C． D．垂直平分【答案】D【解析】2．如圖，是的平分線，于點，，，，則的長是（）（數學思想鏈接：轉化思想） A． B． C． D．【答案】A【解析】3．如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交，于點和，再分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，則下列說法中正確的個數是（）．①是的平分線； ②；③點在的垂直平分線上； ④．A． B． C． D．【答案】D【解析】4．（一題多辨）（）（膠州市期末）如圖①，平分，于點，是射線上的一個動點，若，則的最小值為（）． A． B． C． D．（）（廈門校級模擬）如圖②，是的平分線，點到的距離為，點是上的任意一點，則線段的取值范圍為（）． A． B． C． D．（）如圖③，是的平分線，是上的一點，于點，，則點到邊的距離為__________．【答案】（）B（）C（）【解析】5．（南昌）如圖，平分，于點，于點，，則圖中有__________對全等三角形．【答案】【解析】6．（青島39中期末）如圖，的三邊，，的長分別為，，．其三條角平分線交于點，則__________．【答案】【解析】考點二：角平分線的作法7．如圖，在中，，點在的延長線上．（）利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應的字母．（保留作圖痕跡，不寫作法） ①作的平分線． ②作邊上的中線，并延長交于點．（）由（）得：與邊的位置關系是__________．【答案】見解析【解析】解；（）①如圖所示，即為所求．②如圖所示，即為所求．（）強化訓練 綜合演練 強化能力l．（分）（即墨28中期末）下列說法正確的是（）．①角平分線上任意一點到角的兩邊的線段長相等；②角是軸對稱圖形；③線段不是軸對稱圖形；④線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④【答案】D【解析】2．（分）用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明的依據是（）．A． B．C． D．角平分線上的點到角兩邊距離相等【答案】A【解析】3．（分）（市南區(qū)期末）如圖，在中，，平分，于點，則下列結論：①；②平分；③；④，其中正確的有（）．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【解析】4．（分）如圖，平分，，，，，則__________．【答案】【解析】5．（分）如圖，在中，，，，．那么與相等嗎？說明理由．【答案】見解析【解析】解：．理由：因為，，所以．因為，，所以．6．（分）如圖，是的平分線，于點，于點，，，，求的長．【答案】見解析【解析】解：因為平分，，，所以．因為，所以．7．（分）如圖所示，已知中，．（）作圖：在上有一點，連接并延長，并在的延長線上取點，使，連接，作的平分線，交于點（用尺規(guī)作