北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)學(xué)案（含解析）：第五章生活中的軸對(duì)稱3簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形

3簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形第1課時(shí) 等腰三角形的性質(zhì)自主學(xué)習(xí) 知識(shí)梳理 快樂(lè)學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)（）等腰三角形是__________對(duì)稱圖形．（）等腰三角形__________、__________、__________重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線都是等腰三角形的__________．（）等腰三角形的兩個(gè)底角__________．（）夷陵長(zhǎng)江大橋?yàn)槿崩瓨颍鐖D，中塔左右兩邊所掛的最長(zhǎng)鋼索，塔柱底端與點(diǎn)間的距離是米，則的長(zhǎng)是__________米．【答案】（）軸（）頂角的平分線；底邊上的中線；底邊上的高；對(duì)稱軸（）相等（）【解析】當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 活學(xué)巧練 鞏固基礎(chǔ)考點(diǎn)一：等腰三角形的軸對(duì)稱性、“三線合一”1．如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，那么下列結(jié)論不一定正確的是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】2．如圖，在中，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②上任意一點(diǎn)到，的距離相等；③；④若點(diǎn)在直線上，則．其中正確的是（）． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【解析】考點(diǎn)二：等腰三角形的邊、角性質(zhì)3．（一題多辨）（）若等腰三角形的頂角為，則它的底角度數(shù)為（）． A． B． C． D．（）（膠南市王臺(tái)中學(xué)質(zhì)檢）等腰三角形的一個(gè)角是，則它的底角是__________．（數(shù)學(xué)思想鏈接：分類討論思想）【答案】（）D；（）或【解析】4．一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是和，則它的周長(zhǎng)為（）．A． B． C． D．或【答案】A【解析】5．中，，于點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，則__________．（數(shù)學(xué)思想鏈接：整體思想）【答案】【解析】6．如圖，，，試說(shuō)明：平分．【答案】見(jiàn)解析【解析】解；因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，，所以，所以平分．考點(diǎn)三：等邊三角形的性質(zhì)7．如圖，，等邊三角形的頂點(diǎn)在直線上，，則的度數(shù)為（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】8．如圖，是等邊三角形，是角平分線，是等邊三角形，下列結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】9．如圖，在等邊三角形中，，是上一點(diǎn)，且，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【解析】強(qiáng)化訓(xùn)練 綜合演練 強(qiáng)化能力1．（分）如圖，中，，，則的度數(shù)是（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】2．（分）如圖，中，，平分，則下列結(jié)論中：①；②；③；④．其中正確的有（）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【解析】3．（分）（育才中學(xué)期末）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】4．（分）（即墨28中期末）如圖，中，，，是內(nèi)一點(diǎn)，且，則的度數(shù)等于（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】5．（分）如圖，，，則__________．【答案】【解析】6．（分）如圖，，點(diǎn)在上，且，，則的度數(shù)為_(kāi)_________．【答案】【解析】7．（分）如圖，在等腰三角形紙片中，，，折疊該紙片，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為，則__________．（方法鏈接：對(duì)稱法）【答案】【解析】8．（分）（河北）如圖，，點(diǎn)在上，且，按下列要求畫(huà)圖：以為圓心，為半徑向右畫(huà)弧交于點(diǎn)，得第條線段；再以為圓心，為半徑向右畫(huà)弧交于點(diǎn)，得第條線段；再以為圓心，為半徑向右畫(huà)弧交于點(diǎn)，得第條線段；這樣畫(huà)下去，直到得第條線段，之后就不能再畫(huà)出符合要求的線段了，則__________．【答案】【解析】9．（分）如圖，已知，，，是的中點(diǎn)．與有什么位置關(guān)系？說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：．理由：連接，．在和中，因?yàn)椋?，，所以≌．所以（全等三角形的?duì)應(yīng)邊相等）．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以（等腰三角形“三線合一”）．10．（分）（拓展提升題）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為，求該三角形的一個(gè)底角．（數(shù)學(xué)思想鏈接：分類討論思想）【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（）如圖①，當(dāng)腰上的高在三角形的內(nèi)部時(shí)，是腰上的高，由題意得，所以，于是底角為．（）如圖②，當(dāng)腰上的高在三角形的外部時(shí)，是腰上的高，則，因?yàn)?，所以．所以三角形的一個(gè)底角為或．第2課時(shí) 線段的垂直平分線自主學(xué)習(xí) 知識(shí)梳理 快樂(lè)學(xué)習(xí)1．線段的軸對(duì)稱性線段是軸對(duì)稱圖形，垂直并且__________線段的直線是它的一條對(duì)稱軸．【答案】平分【解析】2．線段的垂直平分線（）定義：__________于一條線段，并且__________這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（簡(jiǎn)稱中垂線）．（）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離__________．（）利用尺規(guī)，作線段的垂直平分線．已知：線段，如圖①， 求作：的垂直平分線． 作法：①分別以點(diǎn)__________和__________為圓心，以大于__________的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和．②作__________．直線就是線段的垂直平分線，如圖②．因?yàn)橹本€與線段的交點(diǎn)就是線段的中點(diǎn)，所以我們也用這種方法作線段的中點(diǎn)．【答案】（）垂直，平分（）相等（）①，，；②直線【解析】當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 活學(xué)巧練 鞏固基礎(chǔ)考點(diǎn)一：線段的軸對(duì)稱性及其垂直平分線的定義1．如圖，在中，，．的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】2．如圖，在四邊形中，垂直平分，垂足為，下列結(jié)論不一定成立的是（）． A． B．平分 C． D．≌【答案】C【解析】3．如圖，已知是線段的垂直平分線，垂足為，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（）． A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【解析】考點(diǎn)二：線段垂直平分線的性質(zhì)4．（荊州）如圖，在中，，的垂直平分線交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若與的周長(zhǎng)分別是，，則__________．【答案】【解析】5．如圖，在直角中，，的平分線交于點(diǎn)，若垂直平分，則的度數(shù)是__________．【答案】【解析】6．如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)等于__________．【答案】【解析】7．如圖，中，，垂直平分交于點(diǎn)，試說(shuō)明：．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：因?yàn)榇怪逼椒?，所以．所以．因?yàn)?，所以．所以．所以．所以．?qiáng)化訓(xùn)練 綜合演練 強(qiáng)化能力1．（分）（畢節(jié)）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（）．A．三條高的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【解析】2．（分）（濱州）如圖，中，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的度數(shù)為（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】3．（分）（德州）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線，交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】4．（分）如圖，直線外不重合的兩點(diǎn)，，在直線上求作一點(diǎn)，使得的長(zhǎng)度最短，作法為：①作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；②連接與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求作的點(diǎn)，在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)沒(méi)有運(yùn)用到的知識(shí)或思想方法是（）（方法鏈接：最短路徑問(wèn)題）A．轉(zhuǎn)化思想 B．三角形的兩邊之和大于第三邊 C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．等腰三角形的兩個(gè)底角相等【答案】D【解析】5．（分）如圖，點(diǎn)在直線上，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作圓弧，交于點(diǎn)，；②分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)；③作直線，連接，．若，則的大小為_(kāi)_________度．【答案】【解析】6．（分）（市南區(qū)期宋）如圖，中，的垂直平分線交于點(diǎn)，若，，，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【解析】7．（分）（膠州市期末）如圖，在中，，分別是，的垂直平分線，連接，，已知，請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，確定的度數(shù)．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：在中，，所以．因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以，所以，同理可得，所以．8．（分）如圖，在四邊形中，平分，且，．（）求的度數(shù)．（）若，，求四邊形的面積．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（）作交于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以是的垂直平分線，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)槠椒?，所以．在和中，，，，所以≌，所以．（）因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以．因?yàn)椤?，所以．因?yàn)?，所以，，所以．【注意有文字?．（分）（拓展提升題）（撫州校級(jí)期中）在中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．的周長(zhǎng)為．（）求的長(zhǎng)．（）分別連接，，，若的周長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（）如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，因?yàn)?，分別是線段，的垂直平分線，所以，，所以．因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，即，所以．（）因?yàn)檫叺拇怪逼椒志€交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，所以．因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，即，所以，所以，所以．第3課時(shí) 角平分線自主學(xué)習(xí) 知識(shí)梳理 快樂(lè)學(xué)習(xí)1．角的軸對(duì)稱性角是軸對(duì)稱圖形，__________所在的直線是它的對(duì)稱軸．【答案】角平分線【解析】2．角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離__________．【答案】相等【解析】3．利用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線已知：，如圖①．求作：射線，使．作法：（）在和上分別截取，，使__________．（）分別以，為圓心，以__________的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)．（）作射線__________．就是的平分線，如圖②．【答案】（）（）大于（）【解析】當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 活學(xué)巧練 鞏固基礎(chǔ)考點(diǎn)一：角平分線的性質(zhì)1．如圖，平分，，，垂足分別為，．下列結(jié)論中不一定成立的是（）． A． B．平分 C． D．垂直平分【答案】D【解析】2．如圖，是的平分線，于點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)是（）（數(shù)學(xué)思想鏈接：轉(zhuǎn)化思想） A． B． C． D．【答案】A【解析】3．如圖，在中，，，以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交，于點(diǎn)和，再分別以，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）．①是的平分線； ②；③點(diǎn)在的垂直平分線上； ④．A． B． C． D．【答案】D【解析】4．（一題多辨）（）（膠州市期末）如圖①，平分，于點(diǎn)，是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（）． A． B． C． D．（）（廈門校級(jí)模擬）如圖②，是的平分線，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，則線段的取值范圍為（）． A． B． C． D．（）如圖③，是的平分線，是上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，，則點(diǎn)到邊的距離為_(kāi)_________．【答案】（）B（）C（）【解析】5．（南昌）如圖，平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，則圖中有__________對(duì)全等三角形．【答案】【解析】6．（青島39中期末）如圖，的三邊，，的長(zhǎng)分別為，，．其三條角平分線交于點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】考點(diǎn)二：角平分線的作法7．如圖，在中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上．（）利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母．（保留作圖痕跡，不寫作法） ①作的平分線． ②作邊上的中線，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（）由（）得：與邊的位置關(guān)系是__________．【答案】見(jiàn)解析【解析】解；（）①如圖所示，即為所求．②如圖所示，即為所求．（）強(qiáng)化訓(xùn)練 綜合演練 強(qiáng)化能力l．（分）（即墨28中期末）下列說(shuō)法正確的是（）．①角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的線段長(zhǎng)相等；②角是軸對(duì)稱圖形；③線段不是軸對(duì)稱圖形；④線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④【答案】D【解析】2．（分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明的依據(jù)是（）．A． B．C． D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等【答案】A【解析】3．（分）（市南區(qū)期末）如圖，在中，，平分，于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④，其中正確的有（）．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【解析】4．（分）如圖，平分，，，，，則__________．【答案】【解析】5．（分）如圖，在中，，，，．那么與相等嗎？說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：．理由：因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，，所以?．（分）如圖，是的平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：因?yàn)槠椒?，，，所以．因?yàn)?，所以?．（分）如圖所示，已知中，．（）作圖：在上有一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，并在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，連接，作的平分線，交于點(diǎn)（用尺規(guī)作