福建省福州市東閣華僑農(nóng)場中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

福建省福州市東閣華僑農(nóng)場中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.有四張卡片，每張卡片有兩個(gè)面，一個(gè)面寫有一個(gè)數(shù)字，另一個(gè)面寫有一個(gè)英文字母．現(xiàn)規(guī)定：當(dāng)卡片的一面為字母P時(shí)，它的另一面必須是數(shù)字2．如圖，下面的四張卡片的一個(gè)面分別寫有P，Q，2，3，為檢驗(yàn)此四張卡片是否有違反規(guī)定的寫法，則必須翻看的牌是（）A．第一張，第三張 B．第一張，第四張C．第二張，第四張 D．第二張，第三張參考答案：B【考點(diǎn)】進(jìn)行簡單的合情推理．【分析】由于題意知，一定要翻看P，而3后面不能是Q，要查3．【解答】解：由于當(dāng)牌的一面為字母P時(shí)，它的另一面必須寫數(shù)字2，則必須翻看P是否正確，這樣2就不用翻看了，3后面不能是Q，要查3．故為了檢驗(yàn)如圖的4張牌是否有違反規(guī)定的寫法，翻看第一張，第四張兩張牌就夠了．故選：B．2.設(shè)集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，，則A∩B=（）A．（2，3] B．（2，3） C．（﹣2，3] D．（﹣2，3）參考答案：A【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】分別解出關(guān)于A、B的不等式，求出A、B的范圍，取交集即可．【解答】解：A={x|（x+2）（x﹣3）≤0}={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣2或x＞2}，故A∩B=（2，3]，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了集合的運(yùn)算，考查解不等式問題，是一道基礎(chǔ)題．3.i是虛數(shù)單位，若實(shí)數(shù)x，y滿足（1+i）x+（1﹣i）y=2，z=，則復(fù)數(shù)z的虛部等于（）A．1 B．0 C．﹣i D．i參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：實(shí)數(shù)x，y滿足（1+i）x+（1﹣i）y=2，∴x+y﹣2+（x﹣y）i=0，∴x+y﹣2=x﹣y=0，解得x=y=1．∴z=====i，則復(fù)數(shù)z的虛部等于1．故選：A．4.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖像，則只需將的圖像A．向右平移個(gè)長度單位

B．向右平移個(gè)長度單位C．向左平移個(gè)長度單位

D．向左平移個(gè)長度單位

參考答案：5.已知函數(shù)f（x）=（a＞0，a≠1）的圖象上關(guān)于直線x=1對稱的點(diǎn)有且僅有一對，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[，]∪{} B．[，）∪{} C．[，]∪{} D．[，）∪{}參考答案：D【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】若函數(shù)f（x）=（a＞0，a≠1）的圖象上關(guān)于直線x=1對稱的點(diǎn)有且僅有一對，則函數(shù)y=logax與y=2|x﹣5|﹣2在[3，7]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=（a＞0，a≠1）的圖象上關(guān)于直線x=1對稱的點(diǎn)有且僅有一對，∴函數(shù)y=logax，與y=2|x﹣5|﹣2在[3，7]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)對數(shù)函數(shù)的圖象過（5，﹣2）點(diǎn)時(shí)，由loga5=﹣2，解得a=；當(dāng)對數(shù)函數(shù)的圖象過（3，2）點(diǎn)時(shí)，由loga3=2，解得a=；當(dāng)對數(shù)函數(shù)的圖象過（7，2）點(diǎn)時(shí)，由loga7=2，解得a=．故a∈[，）∪{}，故選：D．6.在中，若，則（

）A．

B．

C．

D．3

參考答案：C7.在平面直角坐標(biāo)系中，，將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得向量,則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A8.若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1

B．-1

C．

D．參考答案：9.如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖和左視圖都是邊長為1的正三角形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的內(nèi)切球表面積為（

）A．B．C．D．參考答案：D10.直線l與直線y=1和x﹣y﹣7=0分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），那么直線l的斜率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線的斜率；中點(diǎn)坐標(biāo)公式．【分析】設(shè)出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)重點(diǎn)公式求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)表示的斜率公式計(jì)算直線l的斜率．【解答】解：設(shè)P（a，1），Q（b，b﹣7），∵線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），∴1=，﹣1=解得，a=﹣2，b=4∴P（﹣2，1），Q（4，﹣3），直線l的斜率為：=﹣故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數(shù)列中，若,則

．參考答案：21；略12.若為銳角，且，則

.參考答案：13.如圖所示，已知正方形ABCD，以對角線AC為一邊作正△ACE，現(xiàn)向四邊形區(qū)域ABCE內(nèi)投一點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q落在陰影部分的概率為

．參考答案：設(shè)正方形的邊長為2，則.∵為正三角形∴∴陰影部分面積為∴向四邊形區(qū)域內(nèi)投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影部分的概率為

14.橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則_________；的小大為__________．參考答案：略15.若（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），則的值為

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】由（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），令x=0，可得1=a0．令x=，可得0=1+++…+，即可得出．【解答】解：由（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），令x=0，可得1=a0．令x=，可得0=1+++…+，∴++…+=﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知=（m，n﹣1），=（1，1）（m、n為正數(shù)），若⊥，則+的最小值是．參考答案：3+2【考點(diǎn)】7F：基本不等式；9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】利用向量垂直的充要條件列出方程得到m，n滿足的條件；將待求的式子+乘以m+n后展開；利用基本不等式求出最值．【解答】解：∵=（m，n﹣1），=（1，1），⊥∴?=m+n﹣1=0∴m+n=1又∵m、n為正數(shù)∴+=（+）?（m+n）=3+（+）≥3+2當(dāng)且僅當(dāng)2m2=n2時(shí)取等號故答案為：3+217.設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是

．參考答案：【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】設(shè)t=2x+y，將已知等式用t表示，整理成關(guān)于x的二次方程，二次方程有解，判別式大于等于0，求出t的范圍，求出2x+y的最大值．【解答】解：∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y則y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案為三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）2﹣2ln（x+1）．（1）如果關(guān)于的x不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若關(guān)于x的方程g（x）=p至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求導(dǎo)，由題意可知：函數(shù)y=f（x）在[0，e﹣1]上是遞增的，則原不等式等價(jià)于f（x）max≥m在[0，e﹣1]上成立，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求導(dǎo)，令g'（x）=0，求得函數(shù)的單調(diào)性，則g（x）min=g（0）=0，由題意可知p≥0，即可求得實(shí)數(shù)p的取值范圍．【解答】解：（1）在[0，e﹣1]上恒成立，∴函數(shù)y=f（x）在[0，e﹣1]上是遞增的，此時(shí)，，關(guān)于的x不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]上有實(shí)數(shù)解，等價(jià)于f（x）max≥m在[0，e﹣1]上成立，∴m≤e2﹣2．（2）g（x）=2x﹣2ln（x+1），求導(dǎo)，令g'（x）=0，得x=0，易知y=g（x）在（﹣1，0）上是遞減的，在（0，+∞）上是遞增的，∴g（x）min=g（0）=0，∴關(guān)于x的方程g（x）=p至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則p的取值范圍為：p≥0，實(shí)數(shù)p的取值范圍[0，+∞）．19.已知點(diǎn)P為y軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為x軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)F（1，0）為定點(diǎn)，且滿足=，=0．（Ⅰ）求動點(diǎn)N的軌跡E的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)F且斜率為k的直線l與曲線E交于兩點(diǎn)A，B，試判斷在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知條件可知P為MN的中點(diǎn)，由題意設(shè)出P和M的坐標(biāo)，求出和的坐標(biāo)，代入?可求動點(diǎn)N的軌跡E的方程；（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系寫出A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和與積，假設(shè)存在點(diǎn)C（m，0）滿足條件，則，由|CA|2+|CB|2=|AB|2成立得到，代入坐標(biāo)后得到關(guān)于m的一元二次方程，分析知方程有解，從而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)N（x，y），則由，得P為MN的中點(diǎn)．∴，M（﹣x，0）．∴，．∴，即y2=4x．∴動點(diǎn)N的軌跡E的方程y2=4x．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1），由，消去x得．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，y1y2=﹣4．假設(shè)存在點(diǎn)C（m，0）滿足條件，則，，∴===．∵，∴關(guān)于m的方程有解．∴假設(shè)成立，即在x軸上存在點(diǎn)C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立．【點(diǎn)評】本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系問題是考查的中點(diǎn)，常和弦長問題、存在性問題結(jié)合考查，解答時(shí)往往采用“設(shè)而不求”的解題方法，借助于一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，該種類型的問題計(jì)算量較大，要求學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，是難題．20.(本小題滿分分)已知函數(shù)在處取得極值.(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)證明:對任意的正整數(shù),不等式都成立.參考答案：解:(1)

……1分時(shí),取得極值,

…………2分故解得經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.…………3分（2）由知由,得

…………4分令則在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

…………5分

…………6分當(dāng)時(shí),,于是在上單調(diào)遞增;

…………7分當(dāng)時(shí),,于是在上單調(diào)遞減.…………8分依題意有,

…………9分解得,

…………10分(3)的定義域?yàn)?由(1)知,令得,或(舍去),

…………11分當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.為在上的最大值.

,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立)

…………12分對任意正整數(shù),取得,

…………13分.故.

…………14分21.如圖ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．求證：（Ⅰ）PA//平面BDE；

（Ⅱ）平面PAC平面BDE．參考答案：證：（Ⅰ）連接AC、OE，ACBD=O，