2024屆湖南長沙市高三數(shù)學第一學期期末教學質量檢測試題含解析

2024屆湖南長沙市高三數(shù)學第一學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．雙曲線的右焦點為，過點且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點，與雙曲線的其中一個交點為，若，且，則該雙曲線的離心率為()A． B． C． D．3．若為虛數(shù)單位，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知α，β是兩平面，l，m，n是三條不同的直線，則不正確命題是（）A．若m⊥α，n//α，則m⊥n B．若m//α，n//α，則m//nC．若l⊥α，l//β，則α⊥β D．若α//β，lβ，且l//α，則l//β5．射線測厚技術原理公式為，其中分別為射線穿過被測物前后的強度，是自然對數(shù)的底數(shù)，為被測物厚度，為被測物的密度，是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（）（注：半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質厚度，，結果精確到0.001）A．0.110 B．0.112 C． D．6．給定下列四個命題：①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④7．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則其共軛復數(shù)（）A． B． C． D．8．如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱中，點是平面內一點，則三棱錐的正視圖與側視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．59．復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i10．關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)一個遞增區(qū)間為C．函數(shù)的圖像關于直線對稱D．將函數(shù)圖像向左平移個單位可得函數(shù)的圖像11．函數(shù)f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象關于直線x＝對稱，則函數(shù)f(x)的解析式為（）A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－)12．已知是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內角所對的邊分別是，若，，則__________.14．已知x，y＞0，且，則x+y的最小值為_____．15．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線與拋物線交于點，以線段為直徑的圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，則實數(shù)的取值范圍為________．16．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于點、.則內切圓面積的最大值是_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知六面體如圖所示，平面，，，，，，是棱上的點，且滿足.（1）求證：直線平面；（2）求二面角的正弦值.18．（12分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，在銳角中，E是邊PD上一點，且.（1）求證：平面ACE；（2）當PA的長為何值時，AC與平面PCD所成的角為？19．（12分）已知數(shù)列，，數(shù)列滿足，n．（1）若，，求數(shù)列的前2n項和；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且對任意n，恒成立．①當數(shù)列為等差數(shù)列時，求證：數(shù)列，的公差相等；②數(shù)列能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列；若不能，請說明理由．20．（12分）已知都是大于零的實數(shù)．（1）證明；（2）若，證明．21．（12分）如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面，.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）橢圓的左、右焦點分別為，橢圓上兩動點使得四邊形為平行四邊形，且平行四邊形的周長和最大面積分別為8和.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓的另一交點為，當點在以線段為直徑的圓上時，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

轉化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調性，求函數(shù)最值，即得解.【題目詳解】由，可知．設，則，所以函數(shù)在上單調遞增，所以．所以．故的取值范圍是．故選：B【題目點撥】本題考查了導數(shù)在恒成立問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.2、D【解題分析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點，再利用，求出點，因為點在雙曲線上，及，代入整理及得，又已知，即可求出離心率．【題目詳解】由題意可知，代入得：，代入雙曲線方程整理得：，又因為，即可得到，故選：D．【題目點撥】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質和向量的坐標運算，離心率問題關鍵尋求關于，，的方程或不等式，由此計算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題．3、B【解題分析】

由共軛復數(shù)的定義得到，通過三角函數(shù)值的正負，以及復數(shù)的幾何意義即得解【題目詳解】由題意得，因為，，所以在復平面內對應的點位于第二象限．故選：B【題目點撥】本題考查了共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的幾何意義，考查了學生概念理解，數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.4、B【解題分析】

根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識，判斷A選項的正確性.由線面平行有關知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理，判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質判斷D選項的正確性.【題目詳解】A．若，則在中存在一條直線，使得，則，又，那么，故正確；B．若，則或相交或異面，故不正確；C．若，則存在，使，又，則，故正確．D．若，且，則或，又由，故正確．故選：B【題目點撥】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.5、C【解題分析】

根據(jù)題意知,，代入公式,求出即可.【題目詳解】由題意可得,因為,所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【題目點撥】本題主要考查知識的遷移能力,把數(shù)學知識與物理知識相融合;重點考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關性質來研究指數(shù)型函數(shù)的性質,以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.6、D【解題分析】

利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質和判定定理對四個命題分別分析進行選擇．【題目詳解】當兩個平面相交時，一個平面內的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確．綜上，真命題是②④.故選：D【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，是中檔題．7、B【解題分析】

先根據(jù)復數(shù)的乘法計算出，然后再根據(jù)共軛復數(shù)的概念直接寫出即可.【題目詳解】由，所以其共軛復數(shù).故選：B.【題目點撥】本題考查復數(shù)的乘法運算以及共軛復數(shù)的概念，難度較易.8、A【解題分析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側視圖的形狀，結合題干中的數(shù)據(jù)可計算出結果.【題目詳解】由三視圖的性質和定義知，三棱錐的正視圖與側視圖都是底邊長為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側視圖的面積之和為，故選：A.【題目點撥】本題考查幾何體正視圖和側視圖的面積和，解答的關鍵就是分析出正視圖和側視圖的形狀，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎題.9、B【解題分析】分析：化簡已知復數(shù)z，由共軛復數(shù)的定義可得．詳解：化簡可得z=∴z的共軛復數(shù)為1﹣i.故選B．點睛：本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的運算，涉及共軛復數(shù)，屬基礎題．10、B【解題分析】

化簡到，根據(jù)定義域排除，計算單調性知正確，得到答案.【題目詳解】，故函數(shù)的定義域為，故錯誤；當時，，函數(shù)單調遞增，故正確；當，關于的對稱的直線為不在定義域內，故錯誤.平移得到的函數(shù)定義域為，故不可能為，錯誤.故選：.【題目點撥】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調性，定義域，對稱，三角函數(shù)平移，意在考查學生的綜合應用能力.11、D【解題分析】

由函數(shù)的周期求得，再由平移后的函數(shù)圖像關于直線對稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.【題目詳解】分析：由函數(shù)的周期求得，再由平移后的函數(shù)圖像關于直線對稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.詳解：因為函數(shù)的最小正周期是，所以，解得，所以，將該函數(shù)的圖像向右平移個單位后，得到圖像所對應的函數(shù)解析式為，由此函數(shù)圖像關于直線對稱，得：，即，取，得，滿足，所以函數(shù)的解析式為，故選D.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及函數(shù)的解析式的求解，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，再根據(jù)三角函數(shù)的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.12、B【解題分析】

方法一：令，則，，當，時，，單調遞減，∴時，，，且，∴，即在上單調遞增，時，，，且，∴，即在上單調遞減，∴是函數(shù)的極大值點，∴滿足題意；當時，存在使得，即，又在上單調遞減，∴時，，所以，這與是函數(shù)的極大值點矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據(jù)極值的定義，要使是函數(shù)的極大值點，須在的左側附近，，即；在的右側附近，，即．易知，時，與相切于原點，所以根據(jù)與的圖象關系，可得，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.【題目詳解】由于，所以，所以.由正弦定理得.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內角和定理，屬于中檔題.14、1【解題分析】

處理變形x+y＝x（）+y結合均值不等式求解最值.【題目詳解】x，y＞0，且，則x+y＝x（）+y1，當且僅當時取等號，此時x＝4，y＝2，取得最小值1．故答案為：1【題目點撥】此題考查利用均值不等式求解最值，關鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件，注意考慮等號成立的條件.15、【解題分析】

由題意求出以線段AB為直徑的圓E的方程，且點D恒在圓E外，即圓E上存在點，使得，則當與圓E相切時，此時，由此列出不等式，即可求解?！绢}目詳解】由題意可得，直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，設，則，，設，則，，又，所以圓是以為圓心，4為半徑的圓，所以點恒在圓外．圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，即圓上存在點，使得，設過點的兩直線分別切圓于點，要滿足題意，則，所以，整理得，解得，故實數(shù)的取值范圍為【題目點撥】本題主要考查了直線與拋物線位置關系的應用，以及直線與圓的位置關系的應用，其中解答中準確求得圓E的方程，把圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，轉化為圓上存在點，使得是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題。16、【解題分析】令直線：，與橢圓方程聯(lián)立消去得，可設，則，．可知，又，故．三角形周長與三角形內切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，則內切圓半徑，其面積最大值為．故本題應填．點睛：圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種：(１)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法．(２)代數(shù)法：若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法，判別式法，重要不等式及函數(shù)的單調性法等．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）連接，設，連接.通過證明，證得直線平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的正弦值.【題目詳解】（1）連接，設，連接，因為，所以，所以，在中，因為，所以，且平面，故平面.（2）因為，，，，，所以，因為，平面，所以平面，所以，，取所在直線為軸，取所在直線為軸，取所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知可得，，，，所以，因為，所以，所以點的坐標為，所以，，設為平面的法向量，則，令，解得，，所以，即為平面的一個法向量.，同理可求得平面的一個法向量為所以所以二面角的正弦值為【題目點撥】本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析；（2）當時，AC與平面PCD所成的角為.【解題分析】

（1）連接交于，由相似三角形可得，結合得出，故而平面；（2）過作，可證平面，根據(jù)計算，得出的大小，再計算的長．【題目詳解】（1）證明：連接BD交AC于點O，連接OE，，，又平面ACE，平面ACE，平面ACE.（2），，平面PAD作，F(xiàn)為垂足，連接CF平面PAD，平面PAD.，有，，平面就是AC與平面PCD所成的角，，，，，，時，AC與平面PCD所成的角為.【題目點撥】本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與線面角的計算，屬于中檔題．19、（1）（2）①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列，見解析【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，奇數(shù)項為等差數(shù)列，偶數(shù)項為等比數(shù)列，選用分組求和的方法進行求解；（2）①設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，當n為奇數(shù)時，得出；當n為偶數(shù)時，得出，從而可證數(shù)列，的公差相等；②利用反證法，先假設可以為等比數(shù)列，結合題意得出矛盾，進而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列．【題目詳解】（1）因為，，所以，且，由題意可知，數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是首項和公比均為4的等比數(shù)列，所以；（2）①證明：設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，當n為奇數(shù)時，，若，則當時，，即，與題意不符，所以，當n為偶數(shù)時，，，若，則當時，，即，與題意不符，所以，綜上，，原命題得證；②假設可以為等比數(shù)列，設公比為q，因為，所以，所以，，因為當時，，所以當n為偶數(shù)，且時，，即當n為偶數(shù)，且時，不成立，與題意矛盾，所以數(shù)列不能為等比數(shù)列．【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合，數(shù)列求和時一般是結合通項公式的特征選取合適的求和方法，數(shù)列綜合題要回歸基本量，充分挖掘題目已知信息，細思細算，本題綜合性較強，難度較大，側重考查邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).20、（1）答案見解析．（2）答案見解析【解題分析】

（1）利用基本不等式可得，兩式相加即可求解.（2）由（1）知，代入不等式，利用基本不等