2023新教材高中數(shù)學(xué)課時分層作業(yè)2分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用新人教A版選擇性必修第三冊

課時分層作業(yè)(二)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用一、選擇題1．由數(shù)字0，1，2，3，4可組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是()A．25 B．20C．16 D．12C[分兩步：先選十位，再選個位，可組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為4×4＝16．]2．5名同學(xué)去聽同時進行的4個課外知識講座，每個同學(xué)可自由選擇，且必須選擇一個知識講座，則不同的選擇種數(shù)是()A．54 B．45C．5×4×3×2 D．5×4B[5名同學(xué)每人都選一個課外知識講座，則每人都有4種選擇，由分步乘法計數(shù)原理知共有4×4×4×4×4＝45(種)選擇．]3．用數(shù)字2，3組成四位數(shù)，且數(shù)字2，3至少出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)的個數(shù)是()A．20 B．16C．14 D．12C[因為四位數(shù)的每個位數(shù)上都有兩種可能性(取2或3)，其中四個數(shù)字全是2或3的不合題意，所以符合題意得有2×2×2×2－2＝14(個)．]4．從集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取1個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中能確定不同點的個數(shù)為()A．12 B．11C．24 D．23D[先在{1，2，3}中取出一個元素，共有3種取法，再在{1，4，5，6}中取出一個元素，共有4種取法，取出的兩個數(shù)作為點的坐標有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理知不同的點的個數(shù)為N＝3×4×2＝24．又點(1，1)被算了兩次，所以共有24－1＝23(個)．]5．同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有()A．12種 B．9種C．8種 D．6種B[法一：設(shè)四人分別為a，b，c，d，寫的卡片分別為A，B，C，D，由于每個人都要拿別人寫的，即不能拿自己寫的，故a有三種拿法，不妨設(shè)a拿了B，則b可以拿剩下三張中的任一張，也有三種拿法，c和d只能有一種拿法，所以共有3×3×1×1＝9(種)分配方式．法二：根據(jù)題意，列舉出所有的結(jié)果，1、甲乙互換，丙丁互換；2、甲丙互換，乙丁互換；3、甲丁互換，乙丙互換；4、甲要乙的，乙要丙的，丙要丁的，丁要甲的；5、甲要乙的，乙要丁的，丙要甲的，丁要丙的；6、甲要丙的，丙要乙的，乙要丁的，丁要甲的；7、甲要丙的，丙要丁的，乙要甲的，丁要乙的；8、甲要丁的，丁要乙的，乙要丙的，丙要甲的；9、甲要丁的，丁要丙的，乙要甲的，丙要乙的．通過列舉可以得到共有9種結(jié)果．]二、填空題6．3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同分法的種數(shù)是________．720[由題意知，本題是一個分步計數(shù)問題，因為3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，所以第一張有10種不同的分法，第二張有9種不同的分法，第三張有8種不同的分法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知有10×9×8＝720(種)不同的分法．]7．用0，1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字的比2000大的四位奇數(shù)________個．120[按末位是1，3，5分三類計數(shù)：第一類：末位是1，共有4×4×3＝48個；第二類：末位是3的共有3×4×3＝36(個)；第三類：末位是5的共有3×4×3＝36(個)，由分類加法計數(shù)原理知共有48＋36＋36＝120(個)．]8．將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，若只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)有________種．420[如圖，四棱錐S-ABCD，按S→A→B→C→D依次染色，當A，C同色時有5×4×3×1×3＝180種．當A，C不同色時，有5×4×3×2×2＝240種．因此共有180＋240＝420種．]三、解答題9．用0，1，2，3，…，9十個數(shù)字可以組成多少個不同的：(1)三位數(shù)；(2)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；(3)小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．[解](1)由于0不能在首位，所以首位數(shù)字有9種選法，十位與個位上的數(shù)字均有10種選法，所以不同的三位數(shù)共有9×10×10＝900(個)．(2)百位數(shù)字有9種選法，十位數(shù)字有除百位數(shù)字以外的9種選法，個位數(shù)字應(yīng)從剩余8個數(shù)字中選取，所以共有9×9×8＝648個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．(3)一位自然數(shù)有10個，二位自然數(shù)有9×9＝81(個)，三位自然數(shù)有4×9×8＝288(個)．所以共有10＋81＋288＝379個小于500且無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．10．用6種不同的顏色為如圖所示的廣告牌著色，要求在A，B，C，D四個區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色，求共有多少種不同的著色方法．[解]法一：分類：第一類，A，D同色，有6×5×4＝120(種)涂法，第二類，A，D異色，有6×5×4×3＝360(種)涂法，共有120＋360＝480(種)涂法．法二：分步：先涂B區(qū)，有6種涂法，再涂C區(qū)，有5種涂法，最后涂A，D區(qū)域，各有4種涂法，所以共有6×5×4×4＝480(種)涂法．法三：以四個區(qū)域涂n種顏色為標準分類，可知至少用三種顏色，最多用四種顏色．第一類：用三種顏色著色，A，D區(qū)域必須是同種顏色，有6×5×4＝120(種)涂法．第二類：用四種顏色著色，四個區(qū)域的顏色均不相同，有6×5×4×3＝360(種)涂法．所以共有120＋360＝480(種)不同涂法．11．(多選題)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀念品．已知6位同學(xué)之間共進行了13次交換，則收到4份紀念品的同學(xué)人數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4BD[設(shè)6位同學(xué)分別用a，b，c，d，e，f表示．若任意兩位同學(xué)之間都進行交換，共進行5＋4＋3＋2＋1＝15(次)交換，現(xiàn)共進行了13次交換，說明有2次交換沒有發(fā)生，此時可能有兩種情況：(1)由3人構(gòu)成的2次交換，如a—b和a—c之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀念品的有b，c兩人．選B．(2)由4人構(gòu)成的2次交換，如a—b和c—e之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀念品的有a，b，c，e四人，選D．故選BD．]12．將1，2，3，…，9這9個數(shù)字填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大．當3，4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法有()A．6種 B．12種C．18種 D．24種A[因為每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大，1，2，9只有一種填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后與之相鄰的空格可填6，7，8任一個；余下兩個數(shù)字按從小到大只有一種方法．共有2×3＝6種結(jié)果，故選A．]13．用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，然后由小到大排成一個數(shù)列，這個數(shù)列的項數(shù)為________，這個數(shù)列的第90項為________．120532[第一步確定百位數(shù)，有6種方法，第二步確定十位數(shù)有5種方法，第三步確定個位數(shù)有4種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有N＝6×5×4＝120(個)三位數(shù)．所以該數(shù)列的項數(shù)為120．百位是1，2，3，4的共有4×5×4＝80(個)，百位數(shù)是5的三位數(shù)中，十位是1或2的共有4＋4＝8(個)，故第88個為526、第89個為531、第90個為532．]14．從集合{1，2，3，…，11}中任選2個元素作為橢圓方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1中的m和n，則落在矩形區(qū)域B＝{(x，y)||x|＜11且|y|＜9}內(nèi)的橢圓個數(shù)為________．72[根據(jù)題意，知當m＝1時，n可以等于2，3，…，8，共對應(yīng)7個不同的橢圓；當m＝2時，n可以等于1，3，…，8，共對應(yīng)7個不同的橢圓．同理可得，當m＝3，4，5，6，7，8時，各分別對應(yīng)7個不同的橢圓；當m＝9時，n可以等于1，2，…，8，共對應(yīng)8個不同的橢圓；當m＝10時，共對應(yīng)8個不同的橢圓．綜上所述，對應(yīng)的橢圓共有7×8＋8×2＝72(個)．]15．設(shè)集合I＝{1，2，3，4，5}，選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有多少種？[解]以A中最大的數(shù)為標準，進行分類討論．A中最大的數(shù)可能為1，2，3，4，共四種情況．按分類加法計數(shù)原理做如下討論：①當A中最大的數(shù)為1時，B可以是{2，3，4，5}的非空子集，即有24－1＝15(種)方法．②當A中最大的數(shù)為2時，A可以是{2}或{1，2}，B可以是{3，4，5}的非空子集，即有2×(23－1)＝14(種)方法．③當A中最大的數(shù)為3時，A