2023新教材高中數(shù)學課時分層作業(yè)4排列的綜合應用新人教A版選擇性必修第三冊

課時分層作業(yè)(四)排列的綜合應用一、選擇題1．某天上午要排語文，數(shù)學，體育，計算機四節(jié)課，其中體育不排在第一節(jié)，那么這天上午課程表的不同排法共有()A．6種 B．9種C．18種 D．24種C[先排體育有Aeq\o\al(1,3)種，再排其他的三科有Aeq\o\al(3,3)種，共有3×6＝18(種)．]2．將6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24D[就座3人占據(jù)3張椅子，在其余3張椅子形成的四個空位中，任意選擇3個，插入3張椅子，共有Aeq\o\al(3,4)＝24種不同坐法．]3．生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩名工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩名工人中安排1人，則不同的安排方案共有()A．24種 B．36種C．48種 D．72種B[分類完成：第1類，若甲在第一道工序，則丙必在第四道工序，其余兩道工序無限制，有Aeq\o\al(2,4)種排法；第2類，若甲不在第一道工序(此時乙一定在第一道工序)，則第四道工序有2種排法，其余兩道工序有Aeq\o\al(2,4)種排法，有2Aeq\o\al(2,4)種排法．由分類加法計數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(2,4)＝36(種)不同的安排方案．]4．用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有()A．288個 B．240個C．144個 D．126個B[第1類，個位數(shù)字是2，首位可排3，4，5之一，有Aeq\o\al(1,3)種排法，排其余數(shù)字有Aeq\o\al(3,4)種排法，所以有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)個數(shù)；第2類，個位數(shù)字是4，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)個數(shù)；第3類，個位數(shù)字是0，首位可排2，3，4，5之一，有Aeq\o\al(1,4)種排法，排其余數(shù)字有Aeq\o\al(3,4)種排法，所以有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,4)個數(shù)．由分類加法計數(shù)原理，可得共有2Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,4)＝240(個)數(shù)．]5．某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為()A．42 B．30C．20 D．12A[法一：有兩種插法，一種是新節(jié)目相鄰，有Aeq\o\al(2,2)·6＝12(種)插法，另一種是新節(jié)目不相鄰，有Aeq\o\al(2,6)＝30(種)插法．∴共有12＋30＝42(種)．法二：增加兩個新節(jié)目，共有7個節(jié)目，先安排2個新節(jié)目，而原來的5個節(jié)目按原順序放入余下的5個位置即可，共有Aeq\o\al(2,7)＝42種方法．]二、填空題6．從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．36[分三步分別選出文娛委員、學習委員、體育委員，共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)＝36種選法．]7．在所有無重復數(shù)字的四位數(shù)中，千位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大2的數(shù)共有________個．448[千位數(shù)字比個位數(shù)字大2，有8種可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)，前一個數(shù)為千位數(shù)字，后一個數(shù)為個位數(shù)字，其余兩位無任何限制，共有8×Aeq\o\al(2,8)＝448(個)．]8．5個人排成一排，如果甲必須站在排頭或排尾，而乙不能站在排頭或排尾，那么不同站法總數(shù)為________．36[甲在排頭或排尾站法有Aeq\o\al(1,2)種，再讓乙在中間3個位置選一個，有Aeq\o\al(1,3)種站法，其余3人有Aeq\o\al(3,3)種站法，故共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)站法．]三、解答題9．用0，1，2，…，9十個數(shù)可組成多少個滿足以下條件的且沒有重復數(shù)字的排列：(1)五位奇數(shù)？(2)大于30000的五位偶數(shù)？[解](1)要得到五位奇數(shù)，末位應從1，3，5，7，9五個數(shù)字中取，有5種取法，取定末位數(shù)字后，首位就有除這個數(shù)字和0之外的8種不同取法．首末兩位取定后，十個數(shù)字還有八個數(shù)字可供中間的十位、百位與千位三個數(shù)位選取，共有Aeq\o\al(3,8)種不同的排列方法，因此由分步乘法計數(shù)原理知共有5×8×Aeq\o\al(3,8)＝13440(個)沒有重復數(shù)字的五位奇數(shù)．(2)要得偶數(shù)，末位應從0，2，4，6，8中選取，而要得比30000大的五位偶數(shù)，可分兩類：①末位數(shù)字從0，2中選取，則首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一個，共7種選取方法，其余三個數(shù)位就有除首尾兩個數(shù)位上的數(shù)字之外的八個數(shù)字可以選取，共Aeq\o\al(3,8)種取法．所以共有2×7×Aeq\o\al(3,8)種不同情況．②末位數(shù)字從4，6，8中選取，則首位應從3，4，5，6，7，8，9中除去末位數(shù)字的六位數(shù)字中選取，其余三個數(shù)位仍有Aeq\o\al(3,8)種選法，所以共有3×6×Aeq\o\al(3,8)種不同情況．由分類加法計數(shù)原理，比30000大的無重復數(shù)字的五位偶數(shù)共有2×7×Aeq\o\al(3,8)＋3×6×Aeq\o\al(3,8)＝10752(個)．10．7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學生4人，女學生2人，在下列情況下，各有多少種不同站法？(1)老師甲必須站在中間或兩端；(2)兩名女生必須相鄰而站；(3)4名男生互不相鄰；(4)若4名男生身高都不等，按從高到低的順序站．[解](1)先考慮甲有Aeq\o\al(1,3)種站法，再考慮其余6人全排，故不同站法共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(種)．(2)2名女生站在一起有站法Aeq\o\al(2,2)種，視為一種元素與其余5人全排，有Aeq\o\al(6,6)種排法，所以有不同站法Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440(種)．(3)先站老師和女生，有站法Aeq\o\al(3,3)種，再在老師和女生站位的間隔(含兩端)處插入男生，每空一人，則插入方法Aeq\o\al(4,4)種，所以共有不同站法Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(種)．(4)7人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有Aeq\o\al(4,4)種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同，所以共有不同站法2·eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝420(種)．11．(多選題)用0到9這10個數(shù)字，可組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為()A．Aeq\o\al(3,9)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,8)·Aeq\o\al(2,8)B．Aeq\o\al(3,9)＋Aeq\o\al(1,4)·(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))C．Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,8)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,8)D．Aeq\o\al(4,10)－Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(1,5)(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))ABCD[法一：先排個位，若個位是0，則前3個數(shù)位上可以用剩下的9個數(shù)字任意排，有Aeq\o\al(3,9)種，若個位不是0，則個位有4種選擇，再排千位，有8種方法，再排百位和十位有Aeq\o\al(2,8)種方法，所以沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)共有Aeq\o\al(3,9)＋Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(1,8)×Aeq\o\al(2,8)＝2296(個)．法二：個位是0的不同四位偶數(shù)共有Aeq\o\al(3,9)種，個位不是0的不同四位偶數(shù)有Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(3,9)個，其中包含個位是偶數(shù)且千位為0的有Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(2,8)種，故沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)共有Aeq\o\al(3,9)＋Aeq\o\al(1,4)(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))＝2296(個)．法三：若千位為奇數(shù)，則有Aeq\o\al(1,5)×Aeq\o\al(1,5)×Aeq\o\al(2,8)個，若千位是偶數(shù)，有Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(2,8)個，故共有Aeq\o\al(1,5)×Aeq\o\al(1,5)×Aeq\o\al(2,8)＋Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(2,8)＝2296個．法四：沒有重復數(shù)字的四位數(shù)有Aeq\o\al(4,10)－Aeq\o\al(3,9)個，沒有重復數(shù)字的四位奇數(shù)有Aeq\o\al(1,5)(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))個，故沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)有Aeq\o\al(4,10)－Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(1,5)(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))＝2296(個)．故選ABCD．]12．有紅色、黃色小球各兩個，藍色小球一個，所有小球彼此不同，現(xiàn)將五球排成一行，顏色相同者不相鄰，不同的排法種數(shù)共有()A．48 B．72C．78 D．84A[將五個球排成一行共有Aeq\o\al(5,5)種不同的排法，當兩個紅色球相鄰共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)種不同的排法，當兩個黃色球相鄰共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)種不同的排法，當兩個黃色球、兩個紅色球分別相鄰共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)種不同的排法，則將五球排成一行，顏色相同者不相鄰，不同的排法共有Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝120－48－48＋24＝48(種)．]13．市內(nèi)某公共汽車站有7個候車位(成一排)，現(xiàn)有甲，乙，丙，丁，戊5名同學隨機坐在某個座位上候車，則甲，乙相鄰且丙，丁不相鄰的不同的坐法種數(shù)為________．480[甲乙相鄰用捆綁法，有Aeq\o\al(2,2)種，然后從4個位置選2個安排甲，乙，戊，有Aeq\o\al(2,4)種，最后用插空法安排丙，丁2人，即從5個空中，插入2人，有Aeq\o\al(2,5)種，故共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,5)＝2×12×20＝480(種)．]14．高三年級有3名男生和3名女生共6名學生排成一排照相，要求男生互不相鄰，女生也互不相鄰，且男生甲和女生乙必須相鄰，則這樣的不同排法有________種(用數(shù)字作答)．40[根據(jù)題意，分2種情況討論：①6名學生按男女男女男女排列，若男生甲在最左邊的位置，女生乙只能在其右側(cè)，有1種情況，剩下的2名男生和女生都有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)情況，此時有1×2×2＝4(種)安排方法，若男生甲不在最左邊的位置，女生乙可以在其左側(cè)與右側(cè)，有2種情況，剩下的2名男生和女生都有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)情況，此時有2×2×2×2＝16(種)安排方法；則此時有4＋16＝20(種)安排方法；②6名學生按女男女男女男排列，同理①，也有20種安排方法，則符合條件的安排方法有20＋20＝40(種)．]15．7人站成一排．(1)甲、乙兩人之間只有1人的排法有多少種？(2)若排成兩排照相，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？[解](1)第一步：從其余5人中選1人放于甲、乙之間，有Aeq\o\al(1,5)種方法．第二步：將甲、乙及中間1人看作一個元素與其他四個人全排，有Aeq\o\al(5,5)